Mögliche Lösung - Rivius Gymnasium Attendorn

Bereich
Schwierigkeit
Thema
Matrizen
XXX
Übergangsprozesse
Rinderzucht II (aus Abi 2010)
Bei der Aufzucht von Rindern unterscheidet man zwischen Neugeborenen (N), ein-‐
jährigen Kälbern (K) und geschlechtsreifen erwachsenen Tieren (E). Um eine Rinder-‐
herde wirtschaftlich erfolgreich zu betreiben, muss man Kenntnisse über die Anzahl der Geburten, der Todesfälle, Entnahmen durch Schlachtung oder Verkauf und über die Verteilung der Herde in den drei Altersstufen (N, K, E) haben. In der hier betrachteten Rinderher-‐
de werden die Übergänge zwischen den Altersstu-‐
fen innerhalb eines Jahres durch die folgende Mat-‐
rix A angegeben: a) Zurzeit befinden sich 40 Neugeborene, 150 Kälber und 100 Erwachsene in der Herde. Be-‐
stimmen Sie die Verteilung auf die drei Altersstufen für das vergangene Jahr. b) Durch eine Krankheit überleben in einem Jahr nur 50% der Neuge-‐
borenen. Dadurch verändert sich in diesem Jahr die Übergangsmatrix zu B. Bestimmen Sie die Matrix C = A ⋅ B und interpretieren Sie die Kom-‐
ponenten von C im Sachzusammenhang. Begründen Sie rechnerisch, dass es relevant ist, ob die Krankheit im ersten oder im zweiten Jahr auftritt. Mögliche Lösung
a)
b)
Die Reihenfolge hat einen Einfluss auf die Anzahl der einjährigen Kälber und der erwachsenen Rinder.
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Schwierigkeit
Thema
Matrizen
XXX
Austauschprozesse
Vier Kaffeeröstereien (aus Abi 2011)
Vier Kaffeeröstereien konkurrieren mit ihren Kaffeesorten
A, B, C und D um die Gunst der Käufer, wobei das monatliche Wechselverhalten der Käufer durch die Matrix Q
beschrieben wird.
a) Zeigen Sie, dass keine Käufer innerhalb von zwei Monaten von Sorte A zu
B wechseln.
b) Bestimmen Sie für die Übergangsmatrix Q die prozentuale Verteilung der
Käufer, die sich im Folgemonat nicht ändert.
c) Mögliche Lösung
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Schwierigkeit
Thema
Matrizen
XXX
Austauschprozesse
Personalentwicklung III (aus Abi 2009)
Ein Unternehmen der Automobil-Zulieferindustrie produziert an einem Standort A
elektronische Bauteile für Personenkraftwagen. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen, möchte das Unternehmen einen Teil der insgesamt 1200 Mitarbeiter, die in
der Produktion arbeiten, langfristig in zwei andere Standorte B und C verlegen. Einige der nach Standort B und C versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit
zurück zum Standort A kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten.
Im Sinne einer langfristigen Personalentwicklungsplanung legt die Firma Quoten in der
Übergangsmatrix M für den Wechsel der
Standorte fest, die über mehrere Jahre stabil
bleiben.
Untersuchen Sie, ob eine Verteilung von jeweils 400 Mitarbeitern an den Standorten A, B und C aus der Verteilung des Vorjahres entstanden sein kann. Falls ja,
bestimmen Sie diese.
Mögliche Lösung
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Schwierigkeit
Thema
Matrizen
XX
Übergangsprozesse
Rinderzucht I (aus Abi 2010)
Bei der Aufzucht von Rindern unterscheidet man zwischen Neugeborenen (N), ein-‐
jährigen Kälbern (K) und geschlechtsreifen erwachsenen Tieren (E). Um eine Rinder-‐
herde wirtschaftlich erfolgreich zu betreiben, muss man Kenntnisse über die Anzahl der Geburten, der Todesfälle, Entnahmen durch Schlachtung oder Verkauf und über die Verteilung der Herde in den drei Altersstufen (N, K, E) haben. In der hier betrachteten Rinderher-‐
de werden die Übergänge zwischen den Altersstu-‐
fen innerhalb eines Jahres durch die folgende Mat-‐
rix A angegeben: c) Stellen Sie die Entwicklung der Rinderherde durch einen Übergangsgraphen dar. Beschreiben Sie die biologische Bedeutung des Matrixelementes a13 = 0,4 und bestimmen Sie den Anteil der erwachsenen Tiere (E), die nach einem Jahr in der Rinderherde verblieben sind, sowie den Anteil der Neugeborenen, die das Erwachsenenstadium erreichen. d) Untersuchen Sie, ob es bei den in der Matrix A gegebenen Übergangsverhältnissen eine Ver-‐
teilung auf die Altersstufen in der Rinderherde gibt, die sich im Folgejahr wiederholt. Mögliche Lösung
a)
b)
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Matrizen
XX
Austauschprozesse
Personalentwicklung II (aus Abi 2009)
Ein Unternehmen der Automobil-Zulieferindustrie produziert an einem Standort A
elektronische Bauteile für Personenkraftwagen. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen, möchte das Unternehmen einige Mitarbeiter, die in der Produktion arbeiten, langfristig in zwei andere Standorte B und C verlegen. Einige der nach Standort B und C versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit zurück zum Standort
A kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten.
Im Sinne einer langfristigen Personalentwicklungsplanung legt die Firma Quoten in der
Übergangsmatrix M für den Wechsel der
Standorte fest, die über mehrere Jahre stabil
bleiben.
a) Zu Beginn arbeiten sämtliche 1200 Mitarbeiter am Standort A. Berechnen
Sie die Verteilung auf die Standorte A, B und C nach einem und nach zwei
Jahren.
b) Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung mit insgesamt 1200 Mitarbeitern
gibt, die im nächsten Jahr gleich bleibt. Falls ja, geben Sie diese Verteilung
an.
a)
b)
Mögliche Lösung
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Matrizen
X
Austauschprozesse
Personalentwicklung I (aus Abi 2009)
Ein Unternehmen der Automobil-Zulieferindustrie produziert an einem Standort A
elektronische Bauteile für Personenkraftwagen. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen, möchte das Unternehmen einige Mitarbeiter, die in der Produktion arbeiten,
langfristig in zwei andere Standorte B und C verlegen. Einige der nach Standort B
und C versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit zurück zum Standort A
kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten.
Im Sinne einer langfristigen Personalentwicklungsplanung legt die Firma Quoten in der
Übergangsmatrix M für den Wechsel der
Standorte fest, die über mehrere Jahre stabil
bleiben.
a) Erklären Sie am Beispiel einer Zeile und einer Spalte von M, wie sich die
Mitarbeiterzahlen innerhalb eines Jahres entwickeln werden.
b) Stellen Sie die Entwicklung der Mitarbeiterzahlen in einem Übergangsdiagramm dar.
c) Berechnen Sie M2 und interpretieren Sie die Koeffizienten dieser Matrix im
Anwendungszusammenhang.
Mögliche Lösung
a) Beispielsweise bedeutet die 1. Spalte der Matrix M, dass 70 % an ihrem Standort A bleiben, 20 %
von A zu Standort B und 10 % von A zu Standort C wechseln. Die 2. Zeile der Matrix M bedeutet,
dass 20 % von A zu Standort B wechseln, 85 % an ihrem Standort B bleiben und keiner von C zu
Standort B wechselt.
b)
c) Diese Matrix gibt an, welcher
Prozentsatz der Mitarbeiter eines
jeden Standortes nach jeweils 2
Jahren zu den jeweiligen anderen
Standorten übergeht.
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Schwierigkeit
Thema
Matrizen
XX
Austauschprozesse
Krankheit
Beobachtungen zum Verlauf einer bestimmten Krankheit ergeben: 8% de Erkrankten sterben an der Krankheit. Die wieder Ge-‐
nesenen haben aufgrund erhöhter Abwehrkräfte eine ge-‐
ringere Wahrscheinlichkeit erneut zu erkranken als diejeni-‐
gen, die noch nicht erkrankt waren. Das Diagramm gibt die vollständige Beschreibung der Über-‐
gänge für eine Zeiteinheit von einer Woche wieder. a) Erklären Sie, wie man die Übergangsmatrix für einen Zeitraum von 5 Wochen (nebenstehend) erhält. b) Wie viel Prozent der anfangs Gesunden sind auch noch nach 5 Wochen gesund? Wie viel Prozent der anfangs Gesunden sterben innerhalb von 5 Wochen? c) In einer Siedlung von 1500 Personen bricht die Krankheit aus. Beschreiben Sie die Situation nach einer Woche. Mögliche Lösung
a) Die Übergangsmatrix wird mit 5 potenziert (A5).
Dabei wird jeweils das Skalarprodukt von jeder Zeile
mit jeder Spalte gebildet.
b) 16,8% der anfangs Gesunden sind auch noch nach 5 Wochen gesund. 7,83% der anfangs
Gesunden sterben innerhalb von 5 Wochen.
c) 450 sind krank, 1050 sind gesund.
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Thema
Matrizen
X
Austauschprozesse
Kinobesuch
Die Kunden zweier Kinos A und B wechseln wie folgt von Besuch zu Besuch: 70% der Besucher A kommen beim nächsten Mal wieder, die übrigen gehen ins Kino B. 60% der Besucher von B kommen beim nächsten Mal wieder, die übrigen gehen in Kino A. a)
Stellen Sie die Übergangsmatrix U für diesen Prozess auf. b) Im Kino A sind gerade 50 Besucher, in B 60 Besucher. Wie verteilen sich diese Besucher beim nächsten Mal auf beide Kinos? c)
Bestimmen Sie eine Gleichgewichtsverteilung von 350 Besuchern. Mögliche Lösung
a)
c) b)
0,7x + 0,4y= x 0,3x+0,6y= y
In Kino B befinden sich 51 Besucher.
In Kino A befinden sich 59 Besucher.
Zusatzbedingung:
Lösung: x= 200 y=150
In Kino A befinden sich in der
Gleichgewichtsverteilung 200 und in
Kino B 150 Besucher.
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Schwierigkeit
Thema
Matrizen
XX
Austauschprozesse
Drei Kaffeeröstereien (aus Abi 2011)
Drei Kaffeeröstereien konkurrieren mit ihren Kaffeesorten A, B und C um die Gunst
der Käufer, wobei folgendes monatliche Wechselverhalten der Käufer zu beobachten ist:
20 % der Käufer der Sorte A wechseln zu Sorte C, 10 % der Käufer der Sorte B wechseln zu Sorte A,
10 % der Käufer der Sorte B wechseln zu Sorte C, 10 % der Käufer der Sorte C wechseln zu Sorte A,
20 % der Käufer der Sorte C wechseln zu Sorte B.
Gehen Sie davon aus, dass die übrigen Käufer bei der gewählten Kaffeesorte bleiben und sich das Wechselverhalten über längere Zeit nicht ändert.
a) Skizzieren Sie das monatliche Wechselverhalten der Käufer in einem Übergangsdiagramm. b) Geben Sie eine Übergangsmatrix an und berechnen Sie die Verteilung nach einem Monat, wenn vorher 150000 Sorte A, 300000 Sorte B und 450000 Sorte C gekauft haben. c) Die Übergangsmatrix ist eine stochastische Matrix. Interpretieren Sie diese Eigenschaft im Sachzusammenhang und beurteilen Sie die An-‐
gemessenheit. Mögliche Lösung
a)
b)
c)
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Schwierigkeit
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Matrizen
X
Übergangsprozesse / Populationswachstum
Käferpopulation
Bei der Entwicklung einer Käferpopulation werden die Entwicklungsstadien Eier (E), Larven (L) und Käfer (K) be-‐
rücksichtigt. Es wird angenommen, dass jedes der Ent-‐
wicklungsstadien einen Monat dauert. Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven, aus den Larven entwickeln sich in einem Monat Käfer, die Käfer legen im folgenden Monat Eier und sterben dann. Die Käfer legen im Durchschnitt 8 Eier. Für die Überlebensraten in den einzelnen Stadien gilt: 25% der Eier werden Larven und aus 50% der Larven entwickeln sich Käfer. a) Stellen Sie die Entwicklung in einem Übergangsgraph und einer Über-‐
gangsmatrix dar. b) Berechnen Sie für den Anfangszustand 40 Eier, 20 Larven und 12 Käfer die Folgezustände nach einem, zwei und drei Monaten. Mögliche Lösung
0 8⎞
⎛ 0
⎜
⎟
A= ⎜ 0,25 0 0 ⎟
⎜ 0
0,5 0 ⎟⎠
⎝
d)
e)
0 8 ⎞ ⎛ 40 ⎞ ⎛ 96 ⎞
⎛ 0
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0,25 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 20 ⎟ = ⎜ 10 ⎟
⎜ 0
0,5 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 ⎟⎠ ⎜⎝ 10 ⎟⎠
⎝
0 8 ⎞ ⎛ 96 ⎞ ⎛ 80 ⎞
⎛ 0
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0,25 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 10 ⎟ = ⎜ 24 ⎟
⎜ 0
0,5 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠
⎝
0 8 ⎞ ⎛ 80 ⎞ ⎛ 40 ⎞
⎛ 0
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0,25 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 24 ⎟ = ⎜ 20 ⎟
⎜ 0
0,5 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 ⎟⎠
⎝
Nach einem Monat sind es 96 Eier, 10 Larven und 10 Käfer. Nach zwei Monaten sind es 80 Eier, 24
Larven und 5 Käfer. Nach drei Monaten wird wieder der Anfangszustand erreicht.
Die Population entwickelt sich demnach periodisch mit einer Zyklenlänge von 3 Monaten.
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Schwierigkeit
Thema
Matrizen
X
Austauschprozesse
Fliegenpopulation
Eine Population von Fliegen enthält verschiedene Indivi-‐
duen, die sich in dem Merkmal Augenfarbe (rot oder weiß) unterschieden. Beobachtungen über längere Zeit zeigen: Insekten mit roten Augen haben zu 70% Nach-‐
kommen mit roten Augen und zu 30% Nachkommen mit weißen Augen. Insekten mit weißen Augen haben zu 80% Nachkommen mit weißen Augen und zu 20% Nach-‐
kommen mit roten Augen. c) Stellen Sie die Entwicklung in einem Übergangsgraph und einer Über-‐
gangsmatrix dar. d) Bestimmen Sie, wenn möglich, eine stabile Verteilung dieses Prozesses. Mögliche Lösung
f)
g)
⎡0,7 0,2⎤
⎥
⎣0,3 0,8⎦
A= ⎢
⎛ 0,7 0,2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ 0,3 0,8 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠
Für eine stabile Verteilung gilt: ⎜⎜
Daraus ergibt sich das LGS
0,7 x + 0,2 y = x
0,3 x + 0,8 y = y
________________
− 0,3x + 0,2 y = 0
0,3x − 0,2 y = 0
Zusätzlich gilt x + y = 1 ⇔ y = 1 − x
Eingesetzt erhält man 0,3x − 0,2(1 − x) = 0 ⇒
x = 0,4 ⇒ y = 0,6
Als stabile Verteilung ergibt sich demnach: 40% rote Augen und 60% weiße Augen
Diese Verteilung ist dadurch gekennzeichnet, dass sie sich in den weiteren Generationen nicht ändert.
Bereich
Schwierigkeit
Thema
Matrizen
XX
Austauschprozesse
Diffusion
Zwei Kammern sind durch eine Membran getrennt, die Ionen in beiden Richtun-‐
gen durchlässt. Die Kammer 1 wird mit destilliertem Wasser gefüllt, in die 2. Kammer wird eine Salzlösung gegeben. Die Salzlösung enthält am Anfang 10.000 Ionen einer bestimmten Sorte. Für jedes Ion werden die minütlichen Aufenhalts-‐
wahrscheinlichkeiten in den Kammern (1) und (2) durch dieses Übergangsdia-‐
gramm dargestellt: a) Geben sie die Übergangsmatrix A an. b) Bestimmen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die Verteilung der Ionen nach 1,2 und 3 Minuten. c) Bestimmen sie die stabile Verteilung für diese Anfangsverteilung der Ionen. Mögliche Lösung
a) b) Aufenthaltswahrscheinlichkeit nach 1 Minute: 2 Minuten: Verteilung der Ionen für Anfangsverteilung 1 Minute: 2 Minuten: oder c) Stabile Verteilung bei 3 Minuten: nach oder nach 3 Minuten Bereich
Schwierigkeit
Thema
Matrizen
X
Austauschprozesse
Baumärkte
In einem großen Wohngebiet werden drei Baumärkte O, P und G eröffnet. Mögliche Lösung
Bereich
Schwierigkeit
Thema
Matrizen
X
Austauschprozesse
Arbeitsverhältnisse
Ein Land hat eine Bevölkerung von 50 Mio. Menschen im arbeitsfähigen Alter, davon sind zur Zeit rund 4 Mio. ohne Arbeit, 26 Mio. haben ein unbefristetes Arbeitsverhältnis, die übrigen ein befristetes. Statistische Untersuchungen ergebe, dass
von den Arbeitslosen 9ß% auch nach einem Jahr noch ohne Arbeit sind, 2% haben dann ein unbefristetes Beschäftigungsverhältnis, die Übrigen haben dann eine
befristete Stelle gefunden.
Von den Beschäftigten in befristeten Arbeitsverhältnissen werden binnen eines
Jahres 50% in unbefristete Arbeitsverhältnisse übernommen, 10% in die Arbeitslosigkeit entlassen und die Übrigen befristet weiter beschäftigt. Von den unbefristet
Beschäftigten verlassen jährlich 7% aus verschiedenen Gründen ihr Arbeitsverhältnis und sind dann arbeitslos.
d) Stellen Sie den Übergangsprozess „Arbeitsverhältnisse“ anschaulich in einem Pfeildiagramm/Übergangsgraph und einer Matrix dar. e) Berechnen Sie die Entwicklung unter der Annahme konstanter Über-‐
gangsraten für das nächste Jahr voraus. Mögliche Lösung
h) z.B.
i)
⎛ 0,9 0,1 0,07 ⎞
⎜
⎟
A= ⎜ 0,08 0,4
0 ⎟
⎜ 0,02 0,5 0,93 ⎟
⎝
⎠
⎛4⎞
! ⎜ ⎟
x = ⎜ 20 ⎟
⎜ 26 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 7,42 ⎞
⎟
! ⎜
A ⋅ x = ⎜ 8,32 ⎟
⎜ 34,26 ⎟
⎝
⎠
D.h. 7,42 Mio. Menschen sind im nächsten Jahr ohne Arbeit, 8,32 Mio. Menschen stehen in einem befristeten Arbeitsverhältnis und 34,26 Mio. Menschen in einem unbefristeten.

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