Aufgabe - Zentrum Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Thomas Wick
Dr. Dominik Meidner
Sommersemester 2015
3. Übung zur Vorlesung „Analysis 2 (EI)“
Zentralübung (04.05.15):
Aufgabe Z 3.1:
a) Berechnen Sie die Rotation von v(x) =
q
x
r(x)
für x ∈ R3 \ { (0, 0, 0)T } und r(x) =
x21 + x22 + x23 .
b) Zeigen Sie: Für ein zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld f : Ω ⊂ R3 → R3 gilt für alle
x∈Ω
div(rot f (x)) = 0.
Aufgabe Z 3.2: Leiten Sie unter Verwendung der Kettenregel folgende Darstellung des LaplaceOperators in Zylinderkoordinaten her:
g ϕ, z) =
∆u(r,
Aufgabe Z 3.3:
∂ 2 ũ
1 ∂ ũ
1 ∂ 2 ũ
∂ 2 ũ
(r,
ϕ,
z)
+
(r,
ϕ,
z)
+
(r,
ϕ,
z)
+
(r, ϕ, z)
∂r2
r ∂r
r2 ∂ϕ2
∂z 2
Gegeben sei das Skalarfeld f : R3 → R als f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )2 .
a) Stellen Sie f in Kugelkoordinaten dar
b) Berechnen Sie ∆f in kartesischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten.
c) Berechnen Sie ∇f in kartesischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten.
Aufgabe Z 3.4:
Es sei das Vektorfeld v : R3 \ { (x, y, z)T | x = y = 0 } → R3 gegeben durch


xz
1


p
v(x, y, z) =
 yz  .
2
2
x +y
x2 + y 2
a) Stellen Sie v in Zylinderkoordinaten dar
b) Berechnen Sie div v in kartesischen Koordinaten und in Zylinderkoordinaten.
c) Berechnen Sie rot v in kartesischen Koordinaten und in Zylinderkoordinaten.
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Tutorübungen (04.05.15 – 06.05.15):
Aufgabe T 3.1:
Zeigen Sie folgende Aussagen:
a) Für ein zweimal stetig differenzierbares Skalarfeld f : Ω ⊂ R3 → R gilt für alle x ∈ Ω
rot(∇f (x)) = 0.
b) Für stetig differenzierbare Funktionen u : Ω ⊂ R3 → R und v : Ω ⊂ R3 → R3 gilt für alle
x∈Ω
div(u(x)v(x)) = u(x) div v(x) + v(x)T ∇u(x).
Aufgabe T 3.2:
q
a) Es sei ũ : R → R zweimal partiell differenzierbar, r = x21 + x22 + x23 und die radialsymmetrische Funktion u : R3 → R sei gegeben durch u(x) = ũ(r). Zeigen Sie
∆u =
2 ∂ ũ ∂ 2 ũ
+ 2.
r ∂r
∂r
b) Zeigen Sie mit Hilfe von Teil a), dass für x 6= 0 die radialsymmetrische Funktion u : R×R3 →
R gegeben als u(t, x) = ũ(t, r) mit
ũ(t, r) =
1
sin(r − ct)
r
die dreidimensionale Wellengleichung ∂t2 u − c2 ∆u = 0 löst.
Aufgabe T 3.3:
Gegeben sei das Skalarfeld f : R3 → R als f (x, y, z) = x2 + y 3 + z 2 + xz.
a) Stellen Sie f in Zylinderkoordinaten dar.
b) Berechnen Sie ∆f in kartesischen Koordinaten und in Zylinderkoordinaten.
c) Berechnen Sie ∇f in kartesischen Koordinaten und in Zylinderkoordinaten.
Aufgabe T 3.4:
Gegeben sei das Vektorfeld v : R3 \ { (x, y, z)T | x = y = 0 } → R3 durch


−y
1
 
v(x, y, z) = 2
 x .
x + y2
z
a) Stellen Sie v in Kugelkoordinaten dar.
b) Berechnen Sie div v in kartesischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten.
c) Berechnen Sie rot v in kartesischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten.
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