8. Folgen und Stetigkeit

Abbildungen und Funktionen
Graphen:
cot
Folgen und Stetigkeit
Beispiele:
tan
an := 1, eine konstante Folge,
an := n, die Folge der natürlichen Zahlen,
an := ( 1)n , eine alternierende Folge,
an := n1 ,
(i n )n2N0 , eine komplexe Folge,
(bn ) mit bn+1 := 12 (bn + b2n ) und b1 := 1. (rekursiv definierte Folge),
Für d 2 R heißt (an ) := (nd) arithmetische Folge.
Notierbar als rekursive Folge: an+1 := an + d und a1 := d.
Für q 2 R heißt (an ) := (q n ) geometrische Folge.
Notierbar als rekursive Folge: an+1 := an · q und a1 := q.
Erscha↵e neue Folge (bn ) aus Summation der Glieder einer Folge (an ):
bn :=
n
X
ai
i=1
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Hat große Bedeutung ! Reihenbegri↵.
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Folgen und Stetigkeit
8. Folgen und Stetigkeit
Beschreibung von schrittweise voranschreitenden Grenzprozessen durch
den Begri↵ . . .
Definition 8.1 (Folge)
Zu untersuchen: Verhalten der Folgenglieder an für n ! 1. Daher
Aussehen der ersten an uninteressant.
Sei M eine Menge. Eine Folge (in M) ist eine Funktion
Beispiel: Halbiere auf dem Taschenrechner startend mit dem Wert 1 das
Ergebnis der Anzeige. Folge lautet o↵enbar an = 2 n .
a : N ! M.
Schreibe dabei an statt a(n) (Indexschreibweise).
Symbol für die Folge als Ganzes: (an )n2N , abkürzend auch (an ), manchmal
sogar nur an .
Für ein n 2 N heißt an Folgenglied oder Folgenelement (zum Index n).
Folgen auch definierbar auf N0 oder sogar für alle j 2 Z mit j
j0 .
Ist M = R, so spricht man von reellen Zahlenfolgen, ist M = C, so heißen
sie komplexe Zahlenfolgen.
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Ab jetzt nur reelle Zahlenfolgen im Fokus. Die meisten Definitionen bzw.
Ergebnisse sind aber ohne Abänderung auch für Folgen in C oder in
euklidischen VRen (eigentlich reichen VRe mit einer Norm) verwendbar.
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Die positiven Werte werden immer kleiner, bis der Taschenrechner
aufgrund seiner beschränkten Stellenanzahl den Wert 0 ausgibt.
Tatsächlich erreicht“ diese Folge nicht einmal den Wert 0. Sie kommt der
”
0 für hinreichend große Indizes n nur beliebig nahe.
Bezeichne daher 0 als Grenzwert von (an ).
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Folgen und Stetigkeit
Folgen und Stetigkeit
Definition 8.2 (Konvergenz)
Die reelle Folge (an ) heißt konvergent, wenn es ein a 2 R gibt, so dass gilt:
Zu jedem " > 0 findet man n0 2 N, so dass für alle n 2 N mit n
|an
a| < ".
(", n0 )-Test
a heißt dann Grenzwert der Folge (an )
an ! a
oder
n0 gilt:
Visualisierung
Beispiele:
Für die konstante Folge (an ) mit an := c gilt: an ! c.
(an ) mit an := ( 1)n ist divergent.
Denn: an springt von 1 zu 1 und wieder zurück. Bei Konvergenz
sollte sich an für hinreichend große n um weniger als beispielsweise
0.5 vom Grenzwert a unterscheiden. Der math. Beweis: Nehme an,
dass (an ) gegen ein a konvergiert. Für " = 1/2 müsste also ein n0 2 N
existieren, so dass für alle n n0 gilt:
. Schreibe
lim an = a.
n!1
Sprechweise: an geht (strebt, konvergiert, ist konvergent) gegen a.
2 = |an+1
Ist der Grenzwert a = 0, so heißt (an ) Nullfolge.
 |an+1
Existiert kein Grenzwert, so heißt (an ) divergent.
an | = |an+1
a| + |an
a + a an |
1 1
a|  +
=1
2 2
Widerspruch!
Aufgabe: Wie drückt man die Divergenz mathematisch aus?
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Sinn oder Deutung des (", n0 )-Tests:
Sehe " > 0 als Fehlerschranke: Bei beliebig vorgegebenem " kann der
Abstand der Folgenwerte (an ) von a für hinreichend große Indizes n kleiner
gemacht werden als diese Fehlerschranke ".
Hinreichend groß“ bedeutet: von einem gewissen n0 ab für alle danach
”
folgenden n.
n0 meist von " abhängig. Schreibe daher auch n0 (").
Betrachtung nur für kleine“ " ausreichend: Kann man ein n0 zu einem "
”
finden, so taugt dieses n0 auch für alle "˜ > ".
2 Dinge sind bei einer Konvergenzbetrachtung zu tun:
1
2
0| =
1
"2
Das ist äquivalent zu
< n. Wähle ein n0 >
alle n n0 :
n n0 > "12 , was gleichbedeutend ist mit | p1n
1
"2
p1
n
< " für n
n0 .
und schon gilt für
0| < ".
Zum Konvergenznachweis sind i.d.R. Ungleichungen zu betrachten und
Abschätzungen durchzuführen. In der Praxis wichtige Abschätzung:
Für n 2 N und a >
Zweiteres passiert oft mit dem (", n0 )-Test ( Epsilontik“). Bessere
”
Werkzeuge, insb. die noch folgenden Grenzwertsätze, ersparen oft
Epsilontik.
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Sei " > 0 vorgegeben. Suche n0 mit | p1n
Satz 8.3 (Bernoullische Ungleichung)
(Idee für) Grenzwert a finden,
Nachweis der Konvergenz gegen ihn erbringen.
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an := p1n ist eine Nullfolge. Beweis: Dass 0 ein Grenzwertkandidat ist,
kann man durch Einsetzen großer n sehen. Wir zeigen also an ! 0.
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1 gilt
(1 + a)n
1 + na.
Beweis: o.D. (simpel per vollst. Ind.). In Vorl. Bew. zumindest für a
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