System des natürlichen Schließens – Aufgaben 3
1)
Formulieren Sie alle gültigen abgeleiteten Schlussregeln, die sich aufgrund folgender
Theoreme gewinnen lassen:
a)
(p ⊃ q) ⊃ (p ∨ r ⊃ q ∨ r)
b)
¬p ∨ r ⊃ ((q ⊃ r) ⊃ (p ∨ r ⊃ r))
c)
(p ⊃ r) ∧ (q ⊃ r) ⊃ (¬r ⊃ ¬p ∧ ¬q)
2)
Überprüfen Sie die folgenden Argumentationen mittels SNS!
a)
Im Schlossgarten ist ein Mord geschehen, leider gibt es keine Zeugen. Der am Tatort
gefundene Schal könnte eine Rolle spielen, da der Tote aber schon einige Zeit im
Garten liegt, ist das nicht sicher. Immerhin ist klar, dass nur der Gärtner, der Butler
und der Fahrer überhaupt manchmal einen Schal tragen. Allerdings sind der Gärtner
und der Butler letzte Woche nur am Dienstag im Garten gewesen und am Dienstag
war schönes Wetter. Zeigen Sie, dass der Fahrer der Mörder war, wenn der Mörder
einen Schal trug!
b)
Wenn der Mörder einen Schal trug, war es also der Fahrer. Der hatte aber einen
sehr knappen Zeitplan und konnte nicht lange Zeit hintereinander unbeaufsichtigt
bleiben. Wenn er nur einmal im Schlossgarten war, konnte er die Spuren nicht verwischen, dazu musste er zweimal in den Schlossgarten kommen. Er ist aber als schlau
bekannt und würde ganz sicher versuchen, nicht erwischt zu werden. Die Spurensicherung konnte Spuren feststellen und es ist nachweisbar, dass der Fahrer zweimal
im Schlossgarten war. Trug der Mörder einen Schal?
c)
Wenn der Butler der Mörder war, dann hätte er den Fahrer am Betreten des Schlossgartens gehindert. Der war aber – wie bekannt – zweimal da. Außerdem stellt sich
heraus, dass der Butler und der Gärtner Brüder sind und nur gemeinsam am Mord
beteiligt oder unbeteiligt sind. Einer muss es aber gewesen sein: der Gärtner, der
Butler, der Fahrer oder die scheinheilige Erbtante. Ist es die Erbtante gewesen?
3)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
Im System des natürlichen Schließens . . .
a)
. . . kann jeder Beweis direkt geführt werden.
b)
. . . kann jeder Beweis indirekt geführt werden.
c)
. . . sind alle Tautologien der klassischen zweiwertigen Aussagenlogik beweisbar.
d)
. . . lässt sich p ∧ ¬p indirekt beweisen, weil der Beweis zum Widerspruch führt.
Metatheoreme – Aufgaben
1. Funktionale Vollständigkeit
1.1
Wir nennen ein System mit den Operatoren Φ1 . . . Φn ({Φ1 . . . Φn }) funktional
abhängig gdw mindestens einer der Operatoren Φi mit 1 ≤ i ≤ n unter alleiniger Verwendung der restlichen Operatoren ausgedrückt (definiert) werden kann.
Andernfalls heißt das System funktional unabhängig.
Wir betrachten nun das System mit den Operatoren Negation, Konjunktion und
Bisubjunktion ({¬, ∧, ∨}).
Das System ist . . .
a)
. . . funktional abhängig, weil die Bisubjunktion durch Negation und Konjunktion
definiert werden kann.
b)
. . . funktional unabhängig, weil die Konjunktion nicht durch Negation und Bisubjunktion definiert werden kann.
c)
. . . funktional abhängig, weil die Konjunktion durch Negation und Bisubjunktion
definiert werden kann.
d)
. . . funktional vollständig, weil jede aussagenlogische Funktion durch Negation und
Konjunktion definiert werden kann.
e)
. . . funktional unvollständig, weil nicht jede aussagenlogische Funktion durch Negation und Bisubjunktion definiert werden kann.
f)
. . . funktional vollständig, weil die Bisubjunktion durch Negation und Konjunktion
definiert werden kann.
1.2
Definieren Sie unter alleiniger Verwendung des Funktors ¬ (Φ13 ) bzw. der durch ihn
repräsentierten Wahrheitsfunktion und des Funktors ⊃ (Φ25 ) bzw. der durch ihn
repräsentierten Wahrheitsfunktion alle fehlenden (drei) einstelligen bzw. alle fehlenden (fünfzehn) zweistelligen Funktoren bzw. der durch sie repräsentierten Wahrheitsfunktionen. Dabei müssen also Definiens und Definiendum immer semantisch
äquivalent sein.
Bsp. A ≡ B =df ¬((A ⊃ B) ⊃ ¬(B ⊃ A)) bzw. AΦ27 B =df Φ13 ((AΦ25 B)Φ25 Φ13 (BΦ25 A))
1.3
Gegeben sei folgender Funktor | (Φ29 ) (Negatadjunktion bzw. Konjunktionsnegat)
mit folgender Wahrheitstafel
p|q
0
1
1
1
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0.
Weisen Sie unter der Voraussetzung, dass das System beruhend auf den Grundoperatoren {¬, ⊃} funktional vollständig ist, nach, dass auch das System beruhend auf
den Grundoperator {|} funktional vollständig ist.
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