Kapitel 3
Endliche Gruppen
Bei der Einführung der Gruppentafeln haben wir gesehen, dass die Links-Multiplikation aller Elemente
{e = g1 , g2 , . . . , gn } einer endlichen Gruppe mit einem festen Element g diese Elemente nur permutiert,
{gg1 , . . . , ggn } = {πg (g1 ), . . . , πg (gn )}.
Da zwei Zeilen der Gruppentafel nie gleich sind, sind die n Permutationen πg1 , . . . , πgn verschieden. Die
Abbildung
G −→ Sn ,
g −→ πg
ist ein Gruppenhomomorphismus, wie man leicht nachprüft:
(πg πg0 )(g 00 ) = (πg )(g 0 g 00 ) = gg 0 g 00 = πgg0 (g 00 ) =⇒ πg πg0 = πgg0 .
(3.1)
Die Menge {πg } ist abgeschlossen und die zu e ∈ G gehörende Permutation πe ist das Einselement in Sn
Wegen
πg−1 = πg−1
definiert die Teilmenge {πg |g ∈ G} eine Untergruppe der Permutationsgruppe Sn . Die Gruppe G ist damit
isomorph zu einer Untergruppe von Sn . Es folgt deshalb der
Satz 18 (Cayley) Jede endliche Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe Sn von n Elementen.
Die n verschiedenen Permutationen {πg | g ∈ G}, werden im Allgemeinen nur eine kleine Untergruppe
der n! Permutationen in Sn definieren.
3.1
Symmetrische Gruppen
Nach dem Satz von Cayley sind unter den endlichen Gruppen die Permutationsgruppen Sn , oft auch
symmetrische Gruppen genannt, ausgezeichnet. Die Gruppe Sn hat die Ordnung n!.
Wie soll man die einzelnen Elemente darstellen? Eine Möglichkeit ist, einfach die neue Anordnung der n
Elemente anzugeben.
35
3. Endliche Gruppen
3.1. Symmetrische Gruppen
36
Die symmetrische Gruppe S3
Man kann die Ausgangsordnung (1, 2, 3) und die neue Anordnung (2, 3, 1) gleichzeitig angeben,
!
1 2 3
,
2 3 1
entsprechend der Permutation (1, 2, 3) → (2, 3, 1). Führt man die Permutation zweimal hintereinander aus, so wird die Anordnung (1, 2, 3) nach dem zweiten Schritt die Form (3, 1, 2) haben. Die 6
Elemente der Permutationsgruppe S3 sind
!
!
!
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
e=
,
a=
,
b=a =
,
1 2 3
2 3 1
3 1 2
!
!
!
1 2 3
1 2 3
1 2 3
c=
, d = ca =
f = cb =
.
(3.2)
1 3 2
3 2 1
2 1 3
Dabei bedeutet ca zuerst a und dann c ausführen. Die Gruppenmultiplikation ist nicht kommutativ.
?
Überzeugen Sie sich davon, dass S3 dieselbe Gruppentafel wie D3 hat. Damit ist S3 ∼
= D3 .
Eine Permutation kann man auch darstellen, indem man nur diejenigen Positionen angibt, die sich ändern,
mit der Angabe, wie sie sich ändern. Man notiert dann nur die in sich abgeschlossenen Unterzyklen.
Zyklendarstellung von Elementen aus S4
Die Permutation (1, 2, 3, 4) → (1, 3, 4, 2) wird mit (1)(2, 3, 4) bezeichnet, im Sinne von: 1 bleibt 1, 2
wird zu 3, 3 wird zu 4 und 4 wird zu 2. Wenn es mehrere Zyklen gibt, so trennt man diese durch
Klammern. Das Element (1, 2, 3, 4) → (2, 1, 4, 3) wird dann durch (1, 2)(3, 4) wiedergegeben. Auf
diese Art kann man die Gruppenmultiplikation, d.h. aufeinander folgende Permutationen, einfach
berechnen. So ist etwa (2, 3, 4) ◦ (2, 3, 4) = (2, 4, 3) oder (2, 3, 4) ◦ (1, 2, 3) = (1, 3)(2, 4) (erst rechts,
dann links!).
Die einfachste Permutation ist die Vertauschung zweier Elemente, eine sogenannte Transposition. Jede
Permutation ist ein Produkt von Transpositionen. Wenn es sich um eine gerade Anzahl von Transpositionen handelt, nennt man die Permutation gerade, sonst ungerade. Sn enthält gleich viele gerade wie
ungerade Permutationen. Das Produkt zweier gerader Permutationen ist gerade und die inverse Permutation einer geraden Permutation ist ebenfalls gerade. Weil auch das Einselement eine gerade Permutation
ist, folgern wir:
Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe An , auch alternierende Gruppe genannt.
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Permutation ist ungerade, das Produkt zweier ungeraden
Permutationen ist gerade und das Inverse einer ungeraden Permutation ist ebenfalls ungerade. Wir folgern
gAn g −1 ⊂ An
————————————
A. Wipf, Symmetrien in der Physik
3. Endliche Gruppen
3.1. Symmetrische Gruppen
37
für alle g ∈ Sn . Da zudem die konjugierte Untergruppe gAn g −1 genauso viele Elemente wie An enthält,
folgern wir
Die alternierende Gruppe An ist ein Normalteiler der Permutationsgruppe Sn , d.h. gAn g −1 = An .
Es ist der größte eigentliche Normalteiler in Sn und der einzige Normalteiler für n = 3 und n ≥ 5. Dagegen
hat S4 zwei Normalteiler: die alternierende Gruppe A4 und die Kleinsche Vierergruppe Z2 × Z2 . An ist
gleichzeitig die Kommutator-Untergruppe von Sn . Die Abelsche Faktorgruppe ist
Sn /An ∼
= Z/2Z = Z2 .
(3.3)
Als erzeugende Elemente von Sn können wir zum Beispiel die Zyklen (1, 2, . . . , n) und (1, 2) wählen.
In GAP kann man eine symmetrische Gruppe über ihre Erzeugenden definieren:
GAP
s5 := Group ((1 ,2 ,3 ,4 ,5) ,(1 ,2));
oder auch mit
s5 := SymmetricGroup (5);
Die Erzeugenden können dann wie folgt gefunden werden:
Gene ratorsOf Group ( s5 )
Wir berechnen die Normalisatoren (Stabilisatoren) der Gruppenelemente von S3 , d.h. der Zyklen
e,
a = (1, 2, 3),
b = (1, 3, 2),
c = (2, 3) d = (1, 3) und f = (1, 2) .
Die ersten drei definieren die Untergruppe A3 . In GAP geschieht dies wie folgt (S3 sei bereits definiert):
GAP
na := Stabilizer ( s3 ,(1 ,2 ,3));
mit der Antwort Group([(1,2,3)]. Damit ist der Normalisator (Stabilisator) Na die von a erzeugte
zyklische Gruppe C3 . Analog erhält man auf
nc := Stabilizer ( s3 ,(2 ,3)); Order ( nb );
die Antwort 2 und entsprechend ist Nc die von c erzeugt zyklische Gruppe C2 . Ähnliches findet man für
die restlichen Gruppenelemente:
Ne = S3 ,
N a = Nb = C 3 ,
Nc = {e, c},
Nd = {e, d} und Nf = {e, f }.
(3.4)
Man sieht hier explizit, dass die Ordnungen der Normalisatoren die Ordnung 6 der Gruppe teilen. Die
Indizes der Stabilisatoruntergruppen sind
j(Ne ) = 1,
j(Na ) = j(Nb ) = 2 und j(Nc ) = j(Nd ) = j(Nf ) = 3.
Die Konjugationklassen sind
Ke = e,
————————————
A. Wipf, Symmetrien in der Physik
Ka = Kb = {a, b},
Kc = Kd = Kf = {c, d, f }.
(3.5)
3. Endliche Gruppen
3.1. Symmetrische Gruppen
38
Wir sehen, dass in die Anzahl Elemente der Konjugationsklasse Kg gleich dem Index der Stabilisatorgruppe Ng in G ist für jedes Gruppenelement g.
Die Permutationsgruppe S5 hat 7 Konjugationsklassen. Auf die Frage
GAP
ConjugacyClasses ( s5 );
antwortet GAP [()G , (1, 2)G , (1, 2)(3, 4)G , (1, 2, 3)G , (1, 2, 3)(4, 5)G , (1, 2, 3, 4)G , (1, 2, 3, 4, 5)G ].
Die Anzahl Elemente in jedem Orbit kann wie folgt bestimmt werden:
OrbitLength ( s5 ,());
OrbitLength ( s5 ,(1 ,2));
OrbitLength ( s5 ,(1 ,2)(3 ,4));
OrbitLength ( s5 ,(1 ,2 ,3));
OrbitLength ( s5 ,(1 ,2 ,3)(4 ,5)));
OrbitLength ( s5 ,(1 ,2 ,3 ,4));
OrbitLength ( s5 ,(1 ,2 ,3 ,4 ,5));
Die Resultate sind 1, 10, 15, 20, 20, 30 und 24. In Einklang mit dem allgemeinen Resultat (2.22) gilt
1 + 10 + 15 + 20 + 20 + 30 + 24 = 120 = 5! = |S5 |.
3.1.1
Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppen
Beim Studium der Darstellungen einer Gruppe ist die Kenntnis ihrer Konjugationsklassen sehr hilfreich.
Wir werden die Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppen angeben. Bei der Zyklenschreibweise
für Permutationen wollen wir die Zyklen nach abnehmender Länge anordnen, zum Beispiel
!
1 2 3 4 5 6
S6 3 g =
∼ (1, 4, 6)(3, 5)(2) .
4 2 5 6 3 1
Jede Permutation ist ein Produkt von elementfremden Zyklen und die Zerlegung einer Permutation in
Zyklen ist, bis auf die Reihenfolge gleich langer Zyklen, eindeutig.
Zwei Permutationen sind vom gleichen Typus, wenn in beiden Permutationen Zyklen der Länge ` genau
gleich oft auftreten. Zum Beispiel sind die Permutationen
(1, 3, 8)(4, 5)(2, 6)(7) und (1, 4, 6)(3, 5)(7, 8)(2)
(3.6)
vom gleichen Typus. Für jede Permutation g sei nun ν` , ` = 1, 2, . . . , n die Anzahl Zyklen der Länge ` in
der Zerlegung von g. Da die totale Anzahl Elemente gleich n ist, gilt
ν1 + 2ν2 + · · · + nνn = n.
(3.7)
Für die Permutationen in (3.6) ist (ν1 , ν2 , ν3 , ν4 , . . . , ν8 ) = (1, 2, 1, 0, . . . , 0). Die Anzahl verschiedener
Typen ist gleich der Anzahl von Partitionen P (n) der Zahl n, also der Anzahl Möglichkeiten, die natürliche
Zahl n als Summe von positiven natürlichen Zahlen zu schreiben. Zum Beispiel,
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 =⇒ P (4) = 5.
————————————
A. Wipf, Symmetrien in der Physik
3. Endliche Gruppen
3.1. Symmetrische Gruppen
39
Von Euler stammt eine elegante Methode, die Zahlen P (n) zu berechnen. Dazu betrachtet man die
sogenannte q-Reihe
(q)∞ =
∞
Y
∞
X
(1 − q m ) =
(−1)n q n(3n+1)/2
n=−∞
m=1
2
5
= 1 − q − q + q + q 7 − q 12 − q 15 + q 22 + q 26 + . . . .
(3.8)
Die Exponenten 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35 . . . sind die sogenannte pentagonalen Zahlen, und das Vorzeichen des k-ten Terms ist (−)[(k+1)/2] . Dann ist die Anzahl Partitionen P (n) gegeben durch die erzeugende
Funktion
∞
X
1
=
P (n)q n = 1 + q + 2q 2 + 3q 3 + 5q 4 + 7q 5 + 11q 6 + 15q 7 + 22q 8 + . . . .
(q)∞
n=1
(3.9)
Eine andere erzeugende Funktion ist
2t1/8
√ 0
ϑ1 0, t
!1/3
=
∞
X
P (n)tn ,
(3.10)
n=0
wobei ϑ01 (0, x) die Ableitung der Jacobi-Thetafunktion der ersten Art ist. Hardy und Ramanujar
fanden 1918 die asymptotische Lösung
√
1
P (n) ∼ √ eπ 2n/3 .
(3.11)
4n 3
Die Anzahl Partitionen einer natürlichen Zahl kann mit GAP wie folgt bestimmt werden:
GAP
NrPartitions (5); NrPartitions (100);
Die Antworten sind 7 und 190 569 292. Die Partitionen im Einzelnen erhält man mit
Partititons (5);
Mit der Antwort [[1,1,1,1,1],[2,1,1,1],[2,2,1],[3,1,1],[3,2], [4,1],[5]].
Zwei Permutationen vom gleichen Typus sind zueinander konjugiert. Als illustratives Beispiel konjugieren
wir ein g ∈ S6 mit einer Transposition a:
g = (1, 2, 3)(4, 5)(6) und a = (2, 5) = a−1 .
Wir berechnen das zu g konjugierte Element,
aga−1 = a(1, 2, 4, 5, 3)(6) = (1, 5, 3)(2, 4)(6).
Das konjugierte Element ist identisch zu g, bis auf den Austausch der Elemente 2 und 5. Die Konjugation
mit a = (2, 5) vertauscht also nur die beiden Elemente 2 und 5 ohne den Typus zu ändern. Konjugiert man
mit a = (4, 5), dann bleibt g sogar fest, da ein Austausch dieser Elemente g nicht ändert, (4, 5) = (5, 4).
Man überzeugt sich davon, dass bei jeder Konjugation mit einer Transposition nur zwei Elemente von g
vertauscht werden. Der Typus ändert nicht. Da jede Permutation ein Produkt von Transpositionen ist,
ist der Typus invariant unter Konjugationen. Umgekehrt können zwei Permutationen vom selben Typus
durch das Vertauschen von Elementpaaren ineinander überführt werden. Damit gilt der
————————————
A. Wipf, Symmetrien in der Physik
3. Endliche Gruppen
3.2. Kleine Gruppen
40
Satz 19 Zwei Permutationen g und g 0 der symmetrischen Gruppe Sn sind genau dann zueinander konjugiert, g 0 = aga−1 , wenn sie vom gleichen Typus sind.
Damit bilden alle Permutationen vom selben Typus eine Konjugationsklasse. Die Anzahl Konjugationsklassen ist gleich der Anzahl der geordneten Partitionen P (n) von n.
Ohne Beweis notieren wir den
Satz 20 Die Anzahl Permutationen vom Typus (ν1 , ν2 , . . . , νn ) ist
!−1
n
X
Y
ν`
P (n, ν) = n!.
P (n, ν) = n!
=⇒
ν` ! · `
(3.12)
ν
`=1
P (n, ν) ist die Anzahl Elemente der durch ν1 , . . . , νn bestimmten Konjugationsklasse.
Die P (5) = 7 Konjugationsklassen von S5 sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppe S5
S5
Partition
1
5
2
ν5
ν4
ν3
ν2
ν1
P (n, ν)
(.....)
1
0
0
0
0
24
4+1
(....)(.)
0
1
0
0
1
30
3
3+2
(...)(..)
0
0
1
1
0
20
4
3+1+1
(...)(.)(.)
0
0
1
0
2
20
5
2+2+1
(..)(..)(.)
0
0
0
2
1
15
6
2+1+1+1
(..)(.)(.)(.)
0
0
0
1
3
10
1 + 1 + 1 + 1 + 1 (.)(.)(.)(.)(.)
0
0
0
0
5
1
7
Die Zahlen in der letzten Spalte addieren zu der Ordnung 5! = 120 der Gruppe.
Nach dem Satz von Cayley ist die zyklische Gruppe
Cn = {e, g, g 2 , . . . , g n−1 |g n = e}
eine Untergruppe der Permutationsgruppe Sn . Sie wird von der zyklische Vertauschung von n Elementen,
!
1 2 ... n
g = (1, 2, . . . , n) =
2 3 ··· 1
erzeugt. Damit kann Cn entweder als zyklische Vertauschungen von n Elementen oder äquivalent dazu
als Drehungen in der Ebene um Vielfache von 2π/n realisiert werden.
3.2
Kleine Gruppen
Viele endliche Gruppen von kleiner Ordnung haben wir eingeführt und diskutiert. Die folgende Liste
enthält alle Gruppen bis zur Ordnung 15 (natürlich nur bis auf Isomorphie) und wichtige Eigenschaften
————————————
A. Wipf, Symmetrien in der Physik
3. Endliche Gruppen
3.2. Kleine Gruppen
41
dieser Gruppen. Dabei steht a für Abelsch, na für nicht-Abelsch, z für zyklisch, aufl für auflösbar und ab
ist die Abkürzung für bab−1 .
|G|
Isomorphie
typ von G
2
3
4
5
6
Präsentation
Z2
Z3
Z2 × Z2
Z4
Z5
Z2 × Z3
8
Eigenschaften
a, Kleinsche Vierergr.
z
z
a3 = b2 = e, ab = a−1
Z6
z
D3 ∼
= Z3 >/ Z2
Diedergruppe
SL2 (2)
na, aufl
Z7
Z2 × Z2 × Z2
Z2 × Z4
Z8
Q8
10
Gruppen
z
z
a
a
z
4
D4
9
Wichtige
z
S3
7
isomorphe
2
b
−1
b
−1
a = b = e, a = a
4
2
2
a = e, b = a , a = a
Z3 × Z3
Z9 ,
Z2 × Z5
Z4 >/ Z2
H2
na, aufl, Diedergruppe
na, aufl, Quanterniongr.
a
z
5
D5
2
b
a = b = e, a = a
Z11
12 Z2 × Z2 × Z3
Z4 × Z3
−1
Z10
Z5 >/ Z2
z
na, aufl, Diedergruppe
z
11
Z2 × Z6
Z12
3
3
2
a = b = (ab) = e (Z2 × Z2 ) >/ Z3
A4
na, aufl, Diedergruppe
H3 a = e, b = a , a = a
Z13
Z2 × Z7
−1
Z3 >/ Z4 na, aufl, Dizyklische Gruppe
D7
15
na, aufl, alternierende Gr.
a = b = e, a = a
6
14
z
−1
6
D6
13
a
2
2
7
b
3
2
b
b
a = b = e, a = a
Z3 × Z5
z
−1
Z14
Z7 >/ Z2
Z15
z
na, aufl, Diedergruppe
Die Information in der Tabelle gewinnt man zum Bespiel mithilfe von GAP nach Eingabe von
GAP
S m a l l G r o u p sI nf o r m a ti on (6)
————————————
A. Wipf, Symmetrien in der Physik
z
3. Endliche Gruppen
3.2. Kleine Gruppen
und dem Resultat
There are 2 groups of order 6, 1 of type S3 , 2 of type
42
Z6 .
Folgende Bemerkungen helfen beim Verständnis der Liste:
• Für jede Primzahl p gibt es nur die Gruppe Cp ∼
= Zp .
• Für jede Primzahl p existieren zwei Gruppen der Ordnung p2 , nämlich
• Für teilerfremde p und q gilt: Zp × Zq ∼
= Zpq .
Zp × Zp und Zp2 .
• Zur Zeit existiert eine Liste von Gruppen der Ordnung ≤ 2000 und diese enthält 49 910 529 484
Gruppen1 .
In der Liste tritt die Gruppe der Quaternionen auf. Diese wird von den Matrizen
!
!
0 i
0 1
a=
und b =
i 0
−1 0
erzeugt. Es gelten die Relationen
a4 = 1,
a 2 = b2
und bab−1 = a−1 .
Die Gruppe hat die Ordnung 8 und besteht aus den Elementen
Q = {1, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b}.
Sie kann auch als Teilmenge {±1, ±i, ±j, ±k} der Quaternionen-Algebra beschrieben werden.
1 H.U.
Besche, B. Eick, E.A. O’Brien, Electon. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 7 (2001) 1-4.
————————————
A. Wipf, Symmetrien in der Physik
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