Kontrolle leitf¨ahiger Fluide mit Methoden der mathematischen

SFB 609
Kontrolle leitfähiger Fluide mit Methoden der
mathematischen Optimierung
Kontrolle freier Ränder bei der Erstarrung von Kristallschmelzen
Teilprojekt A4
Michael Hinze, Stefan Ziegenbalg
Institut für Numerische Mathematik
Problemstellung
Gegeben ist ein geschlossener Zylinder Ω mit einer Schmelze, bestehend
aus einer festen Phase Ωs und einer
flüssigen Phase Ωl. Ziel ist es, den
freien Rand Γ (Interface zwischen fester und der flüssiger Phase) mit Hilfe
der Randtemperatur auf ∂Ω zu steuern.
Methode
Γ
∂Ω
Freier Rand wird als Graph dargestellt: Γ(t) = (x, f (t, x))T . Es
soll das Funktional
1
J(f, ubc) = g(ubc) :=
2
Ωl
Ωs
ZT Z
2
βubc
0 ∂Ω
unter den Nebenbedingungen (1) bis (5) minimiert werden, wobei
f die gewünschte Evolution des freien Randes bezeichnet. Mit
der Lagrange-Technik wird ein adjungiertes System hergeleitet,
0
mit dessen Lösung der Gradient g (ubc) charakterisiert und nach
geeigneter Diskretisierung numerisch günstig berechnet werden
kann. Der Algorithmus zur Steuerung des freien Randes lautet:
Wärmeleitungsgleichung innerhalb der Phasen Ωs und Ωl:
∂tu = Ds∆u in Ωs
∂tu = Dl∆u in Ωl
und
(1)
ubc = 0, berechnen von u(0), f (0) (Vorwärtssimulation)
Für alle 1 ≤ k ≤ kmax
Lösung des adjungierten GLS, benötigt u(k−1), f (k−1)
(u ist die normierte Temperatur; Dl, Ds sind Materialkonstanten).
◆ Erhaltungsgleichung für an Γ freiwerdende Schmelzwärme:
VΓ = k s ∂ µ u
−
k
∂
u
l
µ
Ωs
auf Γ,
Ωl
(k−1)
Berechnen des Gradienten g (ubc ) := v (k)
(k−1)
Strahlminimierung: g(ubc + sk v (k)) = min!
sk
(k)
(k−1)
ubc = ubc + sk v (k), berechnen von u(k), f (k)
0
(Stefan-Bedingung)
(2)
(VΓ ist die Geschwindigkeit des freien Randes in Richtung der Normalen
µ; kl ,ks sind Materialkonstanten).
◆ Gibbs-Thomson-Gesetz
beschreibt das thermodynamische
Gleichgewicht am freien Rand:
0 = u + εC (µ)CΓ + εV (µ)VΓ
auf Γ
(3)
Ziele
Langfristig: Steuerung der Kristallisation komplexer Systeme
(Strömung, Magnetfeldeinfluss, Strahlung, etc.)
(CΓ ist die mittlere Krümmung; εC ,εC sind materialabhängig).
◆ Startbedingungen zum Zeitpunkt t = 0:
u = u0
◆
λ
(f − f ) +
2
2
0 X
Modell
◆
ZT Z
in Ω
Γ = Γ0 .
Randbedingung:
1
α ∂η u
(4)
+ u = ub0 + βubc
auf ∂Ω
Mittelfristig: Steuerung des freien Randes mit komplexen
Kristallisationsmodellen (z.B. unter Berücksichtigung von
Strömung)
(5)
(Die Randtemperatur wird in einen festen Anteil ub0 (z.B. einen Erfahrungswert) und einen steuerbaren Anteil ubc zerlegt. Mit der Funktion β
kann der Einfluss der Steuergr öße ubc gewichtet werden, α → ∞ entspricht Dirichlet Kontrolle).
Gegenwärtig: Optimalsteuerung des freien Randes bei Erstarrungsprozessen für eine Modellkonfiguration
Ergebnisse
Es soll ein gerader freier Rand angesteuert werden, d.h. f (t, x) = f (t). Die Temperaturverteilung und der freie Rand werden f ür jeweils vier
verschiedene Zeitwerte dargestellt. Die Farben der Bilder geben die Temperatur an (blau: kalt, rot:warm). Der freie Rand wird durch eine
schwarze Linie gekennzeichnet.
u(0), f (0): Temperatur in Ω und freier Rand ohne Kontrolle (ubc = 0).
u(8), f (8): Temperatur in Ω und freier Rand mit Kontrolle nach 8 Iterationen.
0.05
0
−0.05
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
0.05
Free boundary
0
0
−0.15
0
0.5
1
1.5
2
0.1
(2)
βubc
(8)
βubc
0.05
Free boundary
0
0
−0.05
−0.05
−0.5
−0.1
−1
(8)
ub0 + βubc
0.5
−0.5
−0.1
−0.15
(2)
βubc
(8)
βubc
0.15
(2)
ub0 + βubc
0.1
−0.05
−0.5
−1
(8)
ub0 + βubc
0.5
Free boundary
0
(2)
ub0 + βubc
1
βubc
ub0 + βubc
0
βubc
ub0 + βubc
0.05
0.15
ub0 + βubc
0.1
(2)
βubc
(8)
βubc
0.5
Free boundary
0
(8)
ub0 + βubc
0.1
(2)
βubc
(8)
βubc
0.5
(2)
ub0 + βubc
(0)
ub0 + βubc
1
ub0 + βubc
(8)
ub0 + βubc
0.15
ub0 + βubc
(2)
ub0 + βubc
(0)
ub0 + βubc
1
βubc
(0)
0.15
βubc
(0)
ub0 + βubc
1
−0.1
−1
−0.15
0
0.5
1
1.5
2
−0.1
−1
−0.15
0
0.5
1
1.5
2
Randtemperatur auf der Mantelfl äche des Zylinders Ω für
k = 0, 2, 8 und Steuertemperatur
ubc für k = 2, 8.

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