Sandra Kliem / Beatrice Bucchia Präsenzübung zur Vorlesung Mathematik für Lehramtsstudierende I (Wintersemester 2015/2016) Dieses Übungsblatt ist als Präsenzübung für die Übungen in der Woche vom 26.10. bis 30.10.2015 gedacht. Die Lösungen werden in den Übungen besprochen und sollen nicht vorher abgegeben werden. Aufgabe 1. Die Mengen A und B seien Teilmengen der Menge M . Zeigen Sie folgende Aussagen oder finden Sie ein Gegenbeispiel (AC := M \ A). (a) (A ∪ B)C = AC ∪ B C . (b) (A ∪ B)C = AC ∩ B C . Aufgabe 2. Behauptung: Alle Pferde haben die gleiche Farbe. Beweis: Vollständige Induktion über n ∈ N. Induktionsanfang: In jeder Menge mit nur einem Pferd haben offensichtlich alle Pferde die gleiche Farbe. Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage gilt für Mengen mit n Pferden. Man betrachte eine Menge M von n + 1 Pferden. Um zu zeigen, dass alle Pferde in dieser Menge die gleiche Farbe haben, gehen wir wie folgt vor: Wir entfernen ein Pferd P1 aus M . Nach Induktionsannahme haben alle Pferde in der nun n-elementigen Menge M \ {P1 } die gleiche Farbe. Wir fügen nun P1 wieder hinzu und entfernen ein anderes Pferd P2 aus M . Wieder nach Induktionsannahme haben dann alle Pferde in der n-elementigen Menge M \ {P2 } die gleiche Farbe. Also müssen auch P1 und P2 die gleiche Farbe haben und somit haben alle Pferde in M die gleiche Farbe. Wo liegt der Trugschluss? √ 2∈ / Q. Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass Aufgabe 4. Es seien M, N, M 0 , N 0 Mengen. Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass die Menge (M × N ) \ (M 0 × N 0 ) im Allgemeinen verschieden ist von der Menge (M \ M 0 ) × (N \ N 0 ). Zeigen Sie andererseits, dass (M × N ) \ (M 0 × N 0 ) stets als Vereinigung zweier Mengen der Form A × B geschrieben werden kann. Hinweis: Zeichnen Sie eine Skizze (z.B. mit Teilmengen von R), die die Fragestellungen veranschaulicht.