年番号氏名 1 平面上で，半径 r1 の円 C1 と半径 r2 の

年番号
1
平面上で，半径 r1 の円 C1 と半径 r2 の円 C2 が，異なる 2 点 P，Q で交わっているとす
5
る．線分 PQ の垂直二等分線を ` として，円 C1 と ` の交点のうち円 C2 の内部にある点
すべての自然数 n について，33n+1 + 72n¡1 は 11 の倍数である．このことを，数学的帰
納法を用いて示せ．
を R，円 C2 と ` の交点のうち円 C1 の外部にある点を S とする．
r2
¼
を求めよ．
のとき，
6
r1
r2
¼
を求めよ．
のとき，
4
r1
r2
を µ1 と µ2 を用いて表せ．
(3) ÎPRQ = µ1 ; ÎPSQ = µ2 とするとき，
r1
¼
; ÎPSQ =
2
¼
; ÎPSQ =
(2) ÎPRQ =
3
氏名
（愛知教育大学 2016 ）
(1) ÎPRQ =
6
(1) 複素数平面において，方程式 z + 1 = z ¡ 1 を満たす点 z 全体はどのような図形
か答えよ．
（愛知教育大学 2016 ）
2
すべての自然数 n について，3n ¡ 2n + 3 は 4 の倍数である．このことを，数学的帰納
法を用いて示せ．
(2) 複素数 z (z Ë ¡1) に対し，w =
i(1 ¡ z)
とする．このとき，どんな z に対しても
1+z
w = ¡i とはならないことを示せ．
(3) 点 z が (1) で求めた図形の上を動くとき，(2) の点 w はどのような図形を描くか答
（愛知教育大学 2016 ）
3
次の問いに答えよ．
えよ．
a を 0 < a < 1 を満たす定数とし，x; y が xy2 = a3 を満たすとする．x > 0，y > 0
（愛知教育大学 2016 ）
とするとき，次の問いに答えよ．
(1) X = loga x，Y = loga y とおくとき，X と Y の関係式を求めよ．
(2) x; y が loga x ¢ loga y = 1 を満たすとき，y のとり得る値の範囲を求めよ．
（愛知教育大学 2016 ）
4
7
点 O を中心とする半径 1 の円に内接する鋭角三角形 ABC において，辺 BC と直線 AO
¡!
¡!
¡!
¡
!
との交点を M とする．5OA + 4OB + 3OC = 0 が成り立っているとき，次の問いに
答えよ．
xy 平面において，点 (0; 2) を中心とする半径 2 の円を C とする．また，放物線 y = ax2
¡! ¡!
(1) 内積 OB ¢ OC を求めよ．
を P とする．ただし，a は正の実数とする．
(2) BC の長さを求めよ．
(1) 円 C と放物線 P との共有点が円 C の円周の長さを 3 等分するとき，a の値を求めよ．
(3) BM の長さを求めよ．
(2) a の値を (1) で求めたものとする．このとき，円 C と放物線 P により囲まれてできる
3
3
; を内部に含む図形の面積を求めよ．
図形のうち，点 # ;
2
2
(4) cos ÎBOM を求めよ．
（愛知教育大学 2016 ）
（愛知教育大学 2016 ）
8
関数
y = xx (1 ¡ x)1¡x
(0 < x < 1)
について，次の問いに答えよ．
(1) y の導関数を求めよ．
(2) y のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，必要があれば， lim tt = 1 であることを証
t!+0
明なしに用いてよい．
（愛知教育大学 2016 ）
9
次の問いに答えよ．
Z
Z
Z
2
(1) 不定積分
sin t dt， sin t cos t dt， cos2 t dt をそれぞれ求めよ．
(2) 等式
f(x) = cos x +
1
¼
Z
¼
0
f(t) cos(t ¡ x) dt
を満たす f(x) を求めよ．
（愛知教育大学 2016 ）

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