数学Ⅲは役に立つのか

“υ緩
inupri.web.fc2.com)
赤阪正純 (httpンフ
数学 Ⅲ は役に立つのか
s教エ
教エソ
メロの対メ r/
数学 Ⅲ は役に立つのかな ?
′′
次の問題は数学 Ⅱ の問題です.いわゆる 3次方程式の解の個数に関する問題で,このタイプの問題は定
数を分離してグラフで考えるのが基本なのですが,数学 Ⅱ では分数関数のグラフは習っていなかったので
,
極大値と極小値の符号を考えるという非常にメンドウな解答をしました
さて,数学 Ⅲ を用いれば分数関数のグラフは簡単に (?)書けるので定数を分離して解けそうです
この問題を数学 Ⅱ の手法と数学 Ⅲ の手法で解き比べてみましょう
1
171題
方程式 ″3_3α ″+α
どっちに軍配が挙がるかな ?
=0が異なる 3個の実数解をもつとき,定数 αの値の範囲を求めよ
0数
学 Ⅱ的解答
3_3α ″+α とおくと,′ (″ )=3″ 2_3α =3(″ 2_α )
/(″ )=″
(i)α ≦0のとき
/′ (″ )≧
0なので,υ =/(“ )のグラフは単調増加である
.
よって,υ =/(″ )のグラフは″軸とただ 1回だけ交わるから /(″ )=0の実数解の個数は1個である
,
(ii)α
/′ (″
)=3(″ 2_α )=3(″ 十√⊃(″ ―v7)
5+3α vτ +α =α +2α vワ
/(― v7)=― αマ
/OZ)=α v7-3α vτ tt α=α -2α vτ
よって増減表は以下のようになる
―Vτ
″
υ
＼
増減表よりこのとき/(″ )は極値をもつので,実
数解の個数はグラフより以下のように分類される
π
0
+
極大
/
ｎυ
′
υ
極小
＼
実数解 2個
実数解 1個
実数解 3個
エ
′
Ψ
″
″
極大値と極小値が同符号
極大値と極小値のどちらかが 0
極大値と極小値が異符号
ノ(― v7)ノ (v7)>0
/(― V7)ノ (V7)=0
/(― v7)/(vZ)<0
,
り,/(r)=0の実数解の個数は
α<:のとき 1イ固,
ヽん前にtた
う
"t
■ けじか,3ソ
え、
,
α=:のとき2個
り lX≦ 。nt2ヽ ,4口ち卜aざ
「
く
oく。
ヒし・
z 。
+ヒ 4ふせ
`オ
't■
,
α>:のとき 3個
日
α>
個
1-4α <O
３
⇔
α2(1_4α )<0
/(― v7)/(v7)<0
個
α=
２
1-4α =O
⇔
α2(1_4α )=0
と
/(一 √⊃/(v7)=0
0<
き
1-4α >0
と
⇔
α2(1_4α )>0
のきき
/(一 √⊃/(v7)>0
１一
４と
`＼
バ抄抄
2_4α 3=α 2(1_4α ) よって
プ(一 √⊃/(V7)=(α +2α v7)(α -2α v7)=α
(i)よ
︶ｏ
嶋
(i)(ii)よ
`フ
7^フ
>0のとき
,
メク
リ
)ド
111:li「
ム
赤阪正純 (htt● グ nupri web fc2 com)
0数
数学 Ⅲ
Iま
役に立つのか
学 Ⅲ的解答
Ⅲ
¨
ハω
■
a ll⇔ に
胤ギい・μ々
出堀t認イ
″3_3α ″―
卜α=0より,(3″ -1)α
したがって,3次方程式が -3α ″+α
=″ 3
″ =:の
とき, 式は成立しないので, ″キ
=0の解は,2つのグラフ y=α
よって
:
,
とυ=]ザ豊
Tの交点の ″座標
である
_
グ=
=邸
=愕
風詰 =風義 =喰
″3Tの
y=
7-
増減表は以下の通り
0
Iミ
″
場合
史ミ32
一
２
′
υ
一
３
0
ヾキ
ク与
7:びえ
孝げまつよ´?
tつ
tの
１
１
″
鳳善 =鳳義 =∞
t,ち 3-ん
)
＼
0
×
＼
１一
４
υ
×
0
＼
:=α
+
/
わ
わ
ど=α
r
1個
l
。
こ＾
”．
3イ固
す簿う
お∼ グラフが宅イ
女魚_のイロ鬱文バ
ハ揚な
、
ユ
宍魚ヽ
。
① 数狐肪ヤ
2イ回
れ，
わ
ょききき
フととと
の
っ＜一
一＞
，
よ一
レｃ α α α
る
り,y=α との交点の個数を数え
,一
か
ン
ン
は
わ
カ
タ
タ
3■
リー
1111ワ
ー
スケ…
∼
割り算を実行するとυ=:ザ牲可 =:ノ +:″ 十井十,7扇卜rDなので,このグラフは漸近線
十
ではなく漸近曲線 υ=:″ 2+:″ +夕をもっていますつまり,2次関数のグラフ υ=:ノ十
蒻
:″
に近づくのですグラフを見ると確かにそんな感じがしますね直線ではなく曲線に近づくとは
2つの ①
分
!
を比べてどうでしょうた僕としては数学 Ⅲ的解答の方がスッキリとして明解だと
思います .分数関数のグラフを書くのがちよっとメンドウかもしれませんが
,
算に比べればはるかに楽です
さそうですねでも
,
数学 Ⅱ 的解答
の計
数学 Ⅲ が不要な人も ,分数関数の書き方はマスターしておいた方が良
数学 Ⅱ 的解答
の極値の符号を考えるという手法も重要なので,これはこれ
で理解しておきましょつ
例題 2.次の方程式の実数解の個数を調べよ
(1)″ 3_α α +2α
(2)2″
考え方
=0
フ利用しかなすすべがありません
①
-1=α ο ″
(1)は数学 Ⅱ 的解答
(2)は完全に数学 Ⅱ の範囲を超えるので
(1)(″
キ 2を確認した上で )α
と
し
を
考える
,υ =デビの
ちグラフ
でも解けます
が,やっばり分数関数のグラフに持ち込むべき
=
,
グラ
3
″
″ -2
(2)α =(22-1)ο ″とし,y=(2″ -1)ar
のグラフを考える
(以下 ,略 )

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