Zuverlässigkeitstheorie Übungen SS 2016 2.Übungsblatt Aufgaben für den 14.04.2016 1. Gegeben ist ein System, siehe Abbildung 1. Bestimmen Sie die Systemfunktion φ Abbildung 1: Schaltung des Systems sowie disjunktive Normalform φ(D) und Linearform φ(L) . Wie gross ist die Intaktwahrscheinlichkeit pS , falls p1 = · · · = p5 = p = 0.9. Stellen Sie die Intaktwahrscheinlichkeit pS als Funktion von p graphisch dar. 2. Gegeben sind drei Systemen S1 , S2 und S3 (Abbildungen 2,3 und 4), die jeweils aus n = 6 unabhängigen Komponenten K1 , . . . , Kn bestehen. Es wird angenommen, dass die Intaktwahrscheinlichkeiten pi = P[Ki intakt] = p für alle i = 1, . . . , n. Ermitteln Sie die Intaktwahrscheinlichkeiten pS1 , pS2 und pS3 . Stellen Sie diese Funktionen graphisch in Abhängigkeit von p ∈ [0, 1] dar. Vergleichen Sie die Zuverlässigkeit dieser Systemen. Abbildung 2: System S1 3. Bestimmen Sie die disjunktive Normalform φ(D) und die Linearform φ(L) von φ für das System S mit n = 4 Komponenten (Schaltung in Abbildung 5). Wie gross ist die Intaktwahrscheinlichkeit pS des Systems, falls p1 = · · · = p4 = p = 0.5. 4. Bestimmen Sie die disjunktive Normalform φ(D) und die Linearform φ(L) von φ für das Brückensystem S (Schaltung in Abbildung 6). Verwenden Sie Verfahren zur Berechnung der Koeﬃzienten für die Funktion φ(L) . Ermitteln Sie die Intaktwahrscheinlichkeit pS des Systems, falls p1 = · · · = p5 = p ∈ {0.9; 0.95; 0.99}. Abbildung 3: System S2 Abbildung 4: System S3 5. Bestimmen Sie die Intaktwahrscheinlichkeiten der Systemen aus den Beispielen 1– 3 des Übungsblatters 1. Nehmen Sie an, dass pi = p für i = 1, 2, . . . , n, wobei n Anzahl der Komponenten des Systems ist. Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten speziell für p = 0.5. Schätzen Sie diese Wahrscheinlichkeiten mittels minimalen Verbindungen und Trennungen. Stellen Sie die Intaktwahrscheinlichkeiten sowie die Schranken in Abhängigkeit von p graphisch dar. 6. Bestimmen Sie die Intaktwahrscheinlichkeit pS des Systems S, Abbildung 7, wenn p1 = 0.9, p2 = 0.8, p3 = p4 = 0.5. Ermitteln Sie für pS auch die Schranken mittels Serien- und Parallelsystem sowie mittels minimalen Verbindungen und Trennungen. Bestimmen Sie die Birnbaum-Importanz I(i), i = 1, . . . , n. Welche Komponente besitzt die größte Importanz. 7. Gegeben ist ein Computersystem mit vier unabhngigen Komponenten, siehe Abbildung 8. Bestimmen Sie die Intaktwahrscheinlichkeit pS des Systems und berechnen Sie die Birnbaum-Importanz der Komponente i (i = 1, . . . , 4), wenn p1 = 0.9, p2 = 0.8, p3 = p4 = 0.5. Hinweis: Verwenden Sie für die Ermittlung der Intaktwahrscheinlichkeit die Zerlegungsformel der Systemfunktion. 8. Die Intaktwahrscheinlichkeit p einer Komponente ist gleich 0.3. Wie groß muss die minimale Anzahl solcher Komponenten in der Parallelschaltung sein, um eine Verdreifachung der Intaktwahrscheinlichkeit des Systems zu erreichen. Abbildung 5: Schaltung des Systems S Abbildung 6: Schaltungen des Brückensystems S Abbildung 7: Schaltung des Systems S Abbildung 8: Schaltung des Systems S