3. Streuungsmaße (Skalenparameter)

3. Streuungsmaße (Skalenparameter)
Situation:
Aktie
Nov.
Dez.
Jan.
Feb.
Mrz.
Apr.
A
1,5
0,2
0,0
- 0,4
1,3
1,3
B
3,8
0,6
- 1,9
- 1,2
0,2
2,4
Renditen zweier Aktien A und B des letzten halben Jahres in %
( „stetige“ Rendite: Rt = ln( Kt/Kt-1 ) , Kt = Kurs in t )
Spannweite
x ( n ) x (1)
r
Aktie
Nov.
Dez.
Jan.
Feb.
Mrz.
Apr.
A
1,5
0,2
0,0
- 0,4
1,3
1,3
B
3,8
0,6
- 1,9
- 1,2
0,2
2,4
Die Spannweite ist das einfachste Maß für die Streuung und berücksichtigt nur zwei Werte der Daten: Den Größten und den Kleinsten.
( Mehr Daten → Mehr Information )
Die durchschnittlichen Renditen
Mittlere absolute Abweichung
¾ Arithmetisches Mittel: Beide 0,65 %
¾ Median: Beide 0,2 %
d
helfen nicht unbedingt bei der Entscheidung.
Aber:
Die Rendite der Aktie B weicht stärker vom Durchschnitt ab;
hat eine größere Streuung;
eine größere Volatilität
( risikoavers →
Aktie A )
Wie wird die Volatilität gemessen?
Gesucht:
Geeignetes Maß für die Streuung.
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rA 1,5 (0,4) 1,9 %
rB 3,8 (1,9) 5,7 %
Aktie A:
Aktie B:
Welche Aktie würden Sie kaufen?
Frage:
( r = range )
- 30 -
1
n
n
¦ xi xMed
( d = deviation )
i 1
Aktie A:
dA
0,71 6 %
Aktie B:
dB
1,61 6 %
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Empirische Varianz
s *2
Aktie A:
Aktie B:
s *A2
s *B2
1
n
Empirische Standardabweichung
s*
n
¦ ( xi x )2
i 1
0,5490 %
2
3,8525 %
2
s*2
*
Aktie A: s A
0,5490
0,741 %
s*B
3,8525
1,963 %
Aktie B:
Die Volatilität einer Aktie berechnet sich aus der
Standardabweichung der Renditen,
z.B. im Handelsblatt:
Volatilität = Standardabweichung der letzten n
täglichen Renditen
( mögliche n: 30, 100, 200, 250 )
Streuungsmaße ergeben immer einen Wert größer oder
gleich Null!!!
Streuungsmaße sind nur dann gleich Null, wenn alle
Beobachtungen in der Stichprobe den gleichen Wert
haben!
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Beispiel:
Empirische Schiefe
1 n
¦ ( xi x ) 3
ni1
Körpergröße von 5 Kindern
¾ in cm:
120 130 125 130 135
x i:
→ Standardabweichung: s *X
5,1
¾ in Zoll ( 1 Zoll = 2,5 cm ):
48 52 50 52 54
yi:
*
→ Standardabweichung: sY
1
2,5
g1
5,1
§1 n
·
¨¨ ¦ ( xi x ) 2 ¸¸
©n i 1
¹
3
Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung
(kein Streuungsmaß!).
2,04
Standardabweichung ist dimensionsabhängig!
Gesucht:
Ein Maß für die relative Streuung.
→ Variationskoeffizient:
vX
s *X
x
rechtsschiefe Verteilung: g1 > 0
linksschiefe Verteilung: g1 < 0
Der Variationskoeffizient ist maßstabsunabhängig und
quantifiziert die „Variabilität“ der Daten.
Er wird häufig in Prozent angegeben.
Im Beispiel:
vX = 5,1/128 = 0,0398 ( = 3,98 % )
vY = 2,04/51,2 = 0,0398 ( = 3,98 % )
symmetrische Verteilung: g1 = 0
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Berechnung von Kennzahlen bei
klassierten Daten
Platz für Notizen
Ausgangssituation:
Klassierte Häufigkeitsverteilung
Nur gegeben:
¾ Klasseneinteilung in Klassen Kj , Anzahl der Klassen: K
¾ Klassenhäufigkeiten
Gesucht:
Lagemaß und Streuungsmaß
Problem:
Die Beobachtungen xi sind nicht bekannt
Lösung:
Über die Klassenmitten mj und die absoluten
Häufigkeiten Hj bzw. relativen Häufigkeiten hj
Lagemaß (Beispiel arithmetisches Mittel):
K
1
n
xM
¦ mj H j
j 1
K
¦m
j
hj
j 1
Streuungsmaß (Beispiel empirische Varianz):
sM*2
K
1
n
¦ ( m j xM ) 2 H j
j 1
K
¦ (m
j
xM ) 2 h j
j 1
Literatur für weitere Lage- und Streuungsmaße siehe z.B.:
¾ Fahrmeir, Künstler, Pigeot, Tutz: Seite 56 ff.
¾ Pflaumer, Hartung, Heine: Seite 43 ff und Seite 58 ff.
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