補足資料2(PDF 17.9KB)

ファイナンス A 講義資料
赤壁弘康
2013 年度春学期
トラッキング・エラー
個別株式（あるいはポートフォリオ）i の収益率を Ri 、市場収益率を RM とするとき、個別証券（ポー
トフォリオ）の収益率と市場収益率の差 X = Ri − RM をトラッキング・エラーということがある。ト
ラッキングエラーの期待値は
E(X) = E(Ri − RM )] = E(Ri ) − E(RM ) = µi − µM
であり、分散は
V (X) = V (Ri − RM ) = E[(Ri − RM − (µi − µM ))2 ]
= E[{(Ri − µi ) − (RM − µM )}2 ]
= E[(Ri − µi )2 ] + E[(RM − µM )2 ] − 2E[(Ri − µi )(RM − µM )]
2
= σi2 + σM
− 2σiM
2 − 2σ
となる。したがって、Ri , RM が正規分布に従うとき、X は平均 µi − µM 、分散 σi2 + σM
iM の正
2
2
規分布 N (µi − µM , σi + σM − 2σiM ) に従うことになる。資本市場の均衡においては、i のベータ係数
βi を用いて
E(X) = (βi − 1)(µM − r),
2
2
2
V (X) = σi2 + σM
− 2βi σM
= σi2 + σM
(1 − 2β)
となる。各証券の収益率が正規分布に従うとすれば、トラッキング・エラー X は平均 (βi − 1)(µM − r)、
2 (1 − 2β) の正規分布に従う（X ∼ N ((β − 1)(µ − r), σ 2 + σ 2 (1 − 2β))）ことになる。
分散 σi2 + σM
i
M
i
M
この関係と標準化の手法を利用すれば、トラッキング・エラーがある値 α 以上になる確率 P(|X| ≥ α)
を計算することが可能になる。また、ポートフォリオ i が市場ポートフォリオをうまく模倣していると
き、µi ≃ µM , σi ≃ σM , βi ≃ 1 であるから、X は定数ゼロに近似的に等しくなることがわかる。この
ように、ポートフォリオ（あるいはファンド）が市場をどの程度うまく模倣できているを示す尺度とし
て、トラッキング・エラー X を利用することができる。
1

Download Report