1.解析力学

-解1-
原論文(https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsdd/4/1/4_1_142/_article/)の解説日本語版
本解説では原論文にはない多数の図、計算データやsimulation例を示しながら詳細な説明をする
予定です。数学的な厳密性よりも直感的に理解が得られるように、幾つかのアニメも組み入れま
した。これらは計算機のOSに無関係に開けるようにjavaというプログラム言語で、アプレットで
表現しています。これはこれまでの力学教科書が明示していない重要な事柄を完全に理解して頂け
るよう、オリジナルの労作です。82歳の小生にはシンドい仕事で、不完全です。いずれはどなた
かのご支援を頂いて改良をする予定です。
本解説で述べる近似式は、たった一本の定係数の２次微分方程式なので、その特性根または固
有値は関数電卓でも簡単に解けます。しかも、独楽の運動の特徴は十分に含んでいると筆者は考
えております。方程式は２次ですが、複素係数なので実質は４次方程式なのです。
冒頭の原論文の理解に必要な最小限の基礎知識.
1.解析力学の知識は全く不要.
2.ニュートン力学における剛体の運動の初歩のみ.
とくに慣性モーメント(能率), 慣性主軸等の概要で十分。殆ど軸対称体だけを取り扱う。
3.数学の知識は常微分方程式の初歩的知識.
複素座標上における複素ベクトルの表示法(これだけは必須)として下線文字を用いる.
iΩt
4.オイラーの公式 : e (≡ Exp[iΩt]) = cos[ Ωt] + isin[Ω t ] の理解 ( i は虚数単位,tは時間).
これは複素座標の原点を中心とする単位半径の角速度 Ω (オメガ:大文字のギリシャ文字)の円運
動である,との理解(第７節で詳述).
これを理解できる方は独楽の線形近似方程式の導出も容易に理解できます。
5.微分方程式の解法としてのラプラス変換/逆変換の利用法の知識は無くても良い.
原論文第８章で水平ゴマの解析解の導出する際に詳細に解説します。これはサイクロイドを含むトロコイ
ドになりますが、これらは摩擦のない独楽の運動の基本をなすもので、アニメでも多数取り扱います。
この程度なので意欲のある高校生でも理解できると思われるが、一応、数学と力学が教科に
なっている大学の学科の学生なら誰でも理解可能なはずである、と小生は考えております。
参考論文
[1] Thomson, W.T. Introduction to Space Dynamics. (Dover: 1986 reprinting of Wiley 1963).
独楽の運動に関する理解は筆者と同じ．ただしオイラー角を使った解析法なので複雑であることは他の教
科書と同じ．しかし珍しく「スピン軸が角運動量ベクトルを中心に円運動をしながら追っかける」ことを明
記している小生の知る限りでは唯一の本．複素ベクトル表現まで持って行けば，と惜しまれる．机上での摩
擦トルクは含まれない．paper-backは800円でamazon等から入手できるのも有り難い．これに目を通され
た方なら、以下の小生の解説が「なんだ、こんなに簡単なことなのか！」と,実感されるはず！
[2] [Klein-Sommerfeld] F.Klein, A.Sommerfeld: Ueber die Theorie des Kreisels, Teubner 1910, Johnson Reprint 1965.
筆者はこれを読んでいない．恐らく殆どの力学教科書はこれの要約であろうと思われるから．
-解2-
原論文は，軸対称性と角運動量ベクトルHが微小傾きであることと，Ωがほぼ一定または短時間という条件
下で，オイラーのモーメント式を使った通常の解法も示したが，本補講では3次元問題を2次元の平面運動に
近似したことで4.オイラーの公式を出発点とする簡単な解法のみを取り扱うことにする．当然ながら両解法
は同一の結果となり，運動方程式が一本の定係数の2次式となり，驚異の簡略化が実現されたのである．
独楽の運動で著者の解釈に最も近いのが本解説文献[1]であるが，折角の近似を複素変数まで持って行か
ない点が惜しまれる．著者の解釈に疑問をお持ちの方は文献[1]の併読を勧める(paper backの復刻版あり）.
6.使用する座標系とスピン速度 (原論文の下図Fig.1参照)
剛体としての独楽の物体座標系は慣性主軸系で対称軸をｚ軸(極軸とも称する)，これと直角な2軸をｘ，ｙ軸とし，ラジア
ル軸とも称する．原点は重心Gで，Gを中心とする単位球を想定し，天頂方向をZ軸，水平2軸をX, Y軸とし，これを慣性座
標系とする．対称軸=ｚ軸をスピン軸と称することにし，Sと略記する．その単位長(z=1)をスピンベクトルとし，Sで表現す
る．角運動量ベクトルHはSと同様にきわめて重要な姿勢関連の3次元ベクトルで，それらの方向が単位球面を貫通する位置
を地図における正距方位図の表現法を利用する．ただしHとSの傾きが微少なら両者の単位球面上での位置は天頂に近いの
で，それらの軌跡は微少球面を平面とみなせばよい．この平面も正距方位図の平面のどちらも原点は天頂のOである．スピ
ン速度はスピン体の角速度ω (オメガ:小文字のギリシャ文字) の対称軸成分で記号: nを用いるが，これは後述する自由円錐運
動の章動角速度Ω とは別物であることに留意されたい．
デスピン座標系とはスピン軸の傾きだけを問題とする場合に便利な座標系で，物体座標系においてn=0とおいたもので，
座標軸を x d , y d ,z d とする． x d , y d 軸はスピン軸 z d = z の傾き角が微少なら，それぞれ常にほぼX-Z面内,Y-Z面内にあるこ
とを原論文のFig.1をよくご覧になって必ず理解して頂きたい．
7.オイラーの公式による等速円運動の複素平面座標面上での表現
4節の式を使った等速平面円運動の表現式の関連知識を述べる．次の図：AFig.1の左図は自由円錐運動=
章動を立体的に表現し，右図は今後多用する慣性座標系XYZ-GのZ=1平面の複素平面図で，実軸(Re)はX軸
に平行，虚軸(Im)はY軸に平行である．複素数を一つの記号で表現する場合には，下線記号を用いる．時間
変数の場合の下添字"0"は初期(t=0)値を，また図のRは実軸に平行な実数で，この平面での円運動の回転半
径とする．
複素座標原点からC の位置を中心とする動径R(t)の角速度 Ω の円運動は円周上の位置を S(t) とすると：
R(t) = R0 Exp[iΩ t] = R Exp[iϕ 0 ]⋅ Exp[iΩ t] = R Exp[i(ϕ 0 + Ω t)]
S(t) ≡ S = C + R(t) = C + R0 Exp[iΩ t] = C + R Exp[ i(ϕ 0 + Ω t)] ……これが円運動の基本式
S 0 ≡ S(t = 0) = C + R 0 = C + R Exp[iϕ 0 ]
ただしϕ (ファイ：小文字のギリシャ文字)は回転位相角でϕ 0 はその初期値である．これらの関係は次の図を見
れば明瞭であろう：
Z
H
S
Im
S
O
R Ωt
H
C
S0
ϕ R0
R=ν
慣性座標系のZ=1平面 Im
0
S
Re
R
ν
C
G
Ωt
ϕ0
Y
S0
X
O
AFig.1円錐運動説明図
R0
R
Re
-解3-
「SがHを周回する」という，回転運動の基本原理を示す左図の場合には回転中心のCがHに相当し，Rが
円錐半頂角νに相当する．従って前述の式は記号だけが少し変わって：
S = H + ν = H + ν 0 Exp[ iΩ t ] = H + ν Exp[ i(ϕ 0 + Ωt)] AEq.(7.1)
となる．これらの式と図をじっくりご覧になって完全に理解されることを望む．
★フォントに関するお願い：筆者が使うソフトによって同じ文字でもフォントが異なり，例えばギリシャ
文字のニューは ν (Symbol),ν(ヒラギノ明朝）となり，Symbolは「v:ヴィー」のように見える．数式は数式
ソフトの関係上Symbolを使うしかないが，文章ではなるべく後者を使うが前者が混じることもあるのでご
注意願いたい．さらに，時間微分はドット記号を使うが，数式のカラー化ができないので文や図ではプライ
ム記号を使うこともある．例えば傾き角θ(シータ：小文字のギリシャ文字)を使って：
˙
˙
˙˙
θ' ≡ θ ，θ" ≡ θ˙˙ , S' ≡ −iθ ，S" ≡ −iθ 等．（これらの式の内容はこの直後最大の難所で説明）
˙
˙
回転体の角速度ωのほぼ水平の成分：ω x とω y はそれぞれ θ x と θ y に全く等しく，
ω ≡ ω x + iω y = θ˙ x + iθ˙ y ≡ θ˙
であるが，これらは時間の次元を有するので，章動角速度Ωで割って無次元化と正規化をし，それの逆符号
をνとして章動円錐の半頂角に関連づけている。(原論文のFig.2の右側の図が直感的で分かり易い):
Eqs.(3.7),(3.9)
なお，虚数単位 i は次式のように表現される：
i = cos[π/2]+isin[π/2] = Exp[i(π/2)]， 1/i = Exp[-i(π/2]]
従ってある複素ベクトルに i を乗ずることはそのベクトルの位相角を90度進ませる：つまり反時計方向に
90度回転させることであり，逆に i で割ることはそのベクトルの位相角を90度遅らせる：つまり時計方向
に90度回転させることでる．
ついでに３軸の慣性モーメント：A,A,Cの慣性モーメント比：
σ(シグマ、ギリシャ小文字)＝C/A＝軸方向慣性モーメント/ラジアル慣性モーメント
は姿勢運動における重要なパラメータである。とくにかなり後で予定している応用課程で議論する「茄子ゴ
マ」では、Ωがωよりもはるかに小さくなり、それを補うかのように逆にnsがωの大半を占める形となる。
nsは回転体に搭乗した観測者から見たH方向に対する相対的角速度である。
最大の難所 S=-iθ 等の理解原論文のFig.1でも理解できるが、Sは座標位置そのものであり、θの大
きさは天頂軸からの傾き角であって、ベクトルとしての方向はその角度を作るための回転軸方向である！
原論文のFig.2の左下図はZ=1ではなくZ=-hという長さの次元を有する複素座標系となっているので、この
座標位置にはhが乗じられて正しいが、接点Pの速度ベクトルVの長さは無意味で単に方向だけを意味する。
次のAFig.2でこれらの関係を理解されたい。
■
２
2
□
■
2013, 10, 06修正
-解4-
8.主要姿勢関連ベクトル間の相互関係
ベクトル成分を表す行列表示では，使用座標をD(デスピン)，I(慣性)の下添字を用いている．また，本来
ベクトルは列ベクトルであるが，紙面節約のため，行ベクトルを用いる際には上添字のTを付けてこの行ベ
クトルは列ベクトルに変換(Transpose)しなさい，を意味している（下図の右: 原論文Eq.(2.1)で説明）．
まずωの定義式である原論文のEq.(2.1)を説明する．ここではωの軸方向成分 ω p をスピン速度=nとし，
ラジアル成分 ω r を複素数として原論文のEq.(2.9)で表現している．
また，Eq(3.5)∼Eq(3.7)からνが H r , ω r またはθ˙ を代弁していることがわかる．つまりνを解けばこれらの
挙動が分かるのだ！そのためには原論文の2および3Sectionだけは本論の基礎として理解して欲しい．そ
の際，AFig.3は理解の助けになると思われる．要するにFig.2の左下の接点Ｐの滑り速度Vの導出が理解で
きれば全体の70％進んだことになる．
前述のAEq.(7.1)式は円錐運動の基本式で極めて重要なものである．本解説ではこの式から運動方程式を
導出するが，そのためには原論文のFig.2の右側の図の理解が重要となる．後述するAFig.3は見やすくする
ためにHを鉛直にし，章動円錐の半頂角νを大きく描いている．Hとωの,対称軸であるz軸方向成分を下添
字pを付け(polarの意味)，それと直交するラジアル方向成分には下添字rを付けている．同図においてνが微
少なら H ≈ H p = Cn となる．一方， H r , ω r は殆ど水平成分であり，複素ベクトルとしても表現できるので原
論文Eq(3.5)では H r , ω r のように下線表示も用いた．ただしこれらは有次元ベクトルであることに注意され
たい．また，原論文のFig.2の左下の複素平面は必ずしも重心を中心とする単位球面の下方部分に接してお
らず，コマの重心の高さ=hを半径とする球面の下側接平面：Z=-h平面上の複素平面で，位置ベクトルには-h
が乗じられた有次元複素ベクトルとなっている．当然回転半径ρと接点速度Vも有次元である．
下図の左図は、接点Pで発生する摩擦力を計算するために不可欠なPの滑り速度Vを求めるためのものであ
る。そのためにはωが各瞬間ごとの回転軸であることを銘記し、回転半径ρを算出し、Vの方向はρの方向
に対して位相が90度遅れるために-iを乗じている。このように複素平面座標を採用したことによって、Vが
極めて簡潔に求められたことが線形近似方程式の導出に重大な貢献をしている。
-解5-
9.章動とは？
殆どすべての力学教科書は短時間に消滅するスピン軸の小さな円(錐)運動を章動と称しているが，これは
ほぼ正しい．しかし，無重力での鉛直軸を軸心とする円(錐)運動を一律にフリープリセッション(自由歳差
運動)と称しているが，これは合理性を欠く．これこそ章動と称すべきである．原論文では二つのモード，
つまり2種類の運動の存在を実証し，それぞれ高速モード(章動モード)，低速モード(歳差モード)と分類して
いるが，後者は重力トルクなどのような外部からのトルクの作用を受けないと発生しない．
原論文でも本解説でも章動角速度はΩの記号を一貫して使用する．これは慣性空間(座標系ではG-XYZ)か
ら見た角速度で，慣性モーメント比σ=C/Aに無関係にスピン速度と同方向である．もう一つはスピン体に
搭乗した人から見た章動角速度nsがある．これも本解析では重要な役割を演ずるので図で説明する．
10．角速度ベクトルωの特殊な成分分解
AFig.3 角速度ベクトルωの平行四辺形成分分解とνの説明図
フリーの円錐運動つまり章動をしているときの角速度ベクトルωを分解したのが前頁図である．もちろん
H,S,ωの3主要姿勢ベクトルは回転体が軸対称のため常に一つの平面に含まれ，フリーなのでこの平面(Hの
直交成分 H p と H r が作る矩形とする)はHを回転軸として角速度Wの等速回転運動をする．つまり，ここでω
を通常行う直交成分に分解すると，n(スピン速度)とwr(ラジアル角速度)となり，両者は同図の黒い細線の矩
形を構成するが，これとは違った一般的に直交しないHとS方向に平行四辺形に分解する．その結果，H方向
成分がWで，慣性空間から見た章動角速度である．両者が直交する場合とは，例えば逆立ちごまのつまみ軸
が水平になった時とか，円盤やコインの横立ち回転である．この場合は n = 0, W = w = w r となる．
一方， n s と記したS方向成分はスピン体に搭乗した者から見た，前述の慣性空間に対するではなくΩで回
転する平面に対する章動角速度で，慣性モーメント比：σ=C/Aが1より小か大かで方向が前回りか後ろ回り
かに逆転することに注意しよう．σ=1ならns=0で，ωの方向は常にH方向と一致する：つまり，慣性楕円体
は球であって，どの方向も慣性主軸となる．逆立ちゴマはほぼこれに近い．ただし上図は分かり易くするた
めに円錐半頂角νを，原論文の図：Fig.2の右図よりもはるかに大きくとってある． n が微少なら
n ª w r / W であるが，方向を含む複素変数とすると： n ª -w r / W = -q˙ / W [Eq(3.7)]となって角速度成分とは
逆符号になることに注意されたい．また，スピン速度nは w r に対応して w p とでもすべきであったが，文献で
の使用例が多いことからnとした．
nsを考慮しないとどのような矛盾が起こるか？
AFig.3において n ª 0の場合を想定すると，灰色の平面は細長い短冊に近づき H r , w r はほぼ水平で短小にな
りゼロに近づく．同時にωとHの方向はほぼ一致して鉛直方向成分だけとなり W ± n s = w = n という単純なス
カラー関係となる． W をスピン速度と勘違いしてはいけない！ W と nとの間には ± n s といういわば補正のよ
うな役割が必要なのである．
ここでEq(3.1)：H=AΩを示す：AFig.3においてΩベクトルとωrベクトルが形成する直角三角形に注目す
る．これはHとHrが形成するそれと相似である．同三角形の底辺の大きい方が小さい方のA倍になっている
から，νの大小に関係なく直ちにH=AΩ（Eq.3.1)が得られる．
-解6-
11．章動運動（フリーの円錐運動）の定式化
νが微少なら，AFig.3を使って前述したように：
n ª -H r / H = -Aw r / AW = -q˙ / W Eq(3.7)
この式は極めて重要で以下の式で活用する．すなわちフリーのスピン状態である前述7節AEq.(7.1)を時間微
分する．フリーなのでH=一定であり，微分するとゼロになるからフリーの場合の n˙ が得られる：
( S = H + n = H + n 0 Exp[i W t ] = H + n Exp[i(j 0 + W t)] AEq.(7.1) )
d
n˙ = n 0 Exp[i W t ] = i Wn 0 Exp[i W t ] = i Wn または Dn = i WD t ◊ n Eq(5,2) (★)
dt
同様に最初のEq(3.7)に-Hを乗ずると角運動量の次元を有する H r となり，時間微分して上式を代入する：
H˙ = -H n˙ = -H i Wn = i W H または D H = i WD t H AEq.(11.1)
(■)
r
r
r
r
これらは元のベクトル方向を WD t だけ半時計方向に回転せよ，ということを表している．その際に注意しな
ければならないことは，ベクトルを矢印とすると，ベクトル変化を表現するのに普通は矢頭を動かすが，フ
リーなので n または H r の矢頭先端であるHベクトルの位置は動かない．結局は H r の矢尻を動かして方向を
変えるしかない．これが矢尻の円運動なのである．上式(■)つまりラジアル角運動量の時間変化率は，ラジ
アルトルクに相当する．従ってこの式の右辺は形式的には外部ラジアルトルクに相当するが，実際には外部
トルクは存在しないので，これは回転運動に内在する「内部トルク」と解釈することが出来る．
AFig.4 章動における内部トルク説明図
AFig.5 外部トルクに対するHrと章動の説明図
AEq.(7.1)の Sを微分した S˙ はEq.(2.6): S = - iq を使って： S˙ = - iq˙ となるが，この両辺を W で割って
Eq.(3.7){ n ª -q˙ / W }を利用する：
S˙ / W = - iq˙ / W = i n AEq.(11.2)
フリー状態であるからAEq.(7.1)より：
S˙ = n˙ = - iq˙ = i nW AEq.(11.3)
となってここからもEq(5,2)or(★)が得られ，さらに q の式での表現が可能となる．以上の式はAFig.3からも
容易に導けるものである.
AEq.(11.3)をもう一度微分して： n˙˙ - i n˙W = 0 AEq.(11.4)
上式を q の式で表現するためにAEq.(11.3)を利用する：
第1項はAEq.(11.3)を微分して n˙˙ = - iq˙˙ ，第2項はAEq.(11.3)から - in˙W = - i(- iq˙)W = -q˙W となるから
- iq˙˙ - q˙W = 0 iを乗じて q˙˙ - iq˙W = 0 Eq(5.7)
これにラジアル慣性モーメントAを乗ずるとトルクの次元を有する式Eq(4.4)の外部トルク無しの式となる：
Aq˙˙ - i AWq˙ = Q = 0 Eq(4.4) → q˙˙ - i Wq˙ = Q / A ∫ q
この簡潔な式は原論文のEq(4.2)という連立方程式の上2式，つまりラジアル成分を複素変数で表現したこと
によって，ジャイロカップリング項が - iを乗じた一つの項に簡略表現されている．
ここまでくればあとは外部トルク Q を q または q˙ の単純な関数として与えるだけである．摩擦トルクは接
点Pがωを回転軸として机上面を滑る速度に比例するとする粘性摩擦にしたことと，複素変数の採用で極め
て簡略に表現できたことが線形近似方程式導出の成功の基となった．その詳細は原論文第3章でFig.2を用い
-解7-
て詳細に述べているのでここでは要点だけにする．重力トルクはPに対する腕長h-rの水平トルクで最簡単．
H,S,ωの3主要姿勢ベクトルは軸対称体なので同一平面に含まれるから，Fig.2の左下の複素平面では高さ
-hを乗じた形で一直線に並ぶ．同様にS,P,Zも一直線に並ぶ．接点hPが-hωを中心として円運動をするが，そ
の半径σは同図の赤矢印であるが，Pは最初から下方を正にとってあるからσ=hP-(-hω)となる．これは有
次元複素数で，これに回転速度 w ª n を乗ずると回転の接線速度つまり接点の滑り速度 V となり，その方向
は半径σより位相が90度すすむのでiが乗じられ原論文のEq(3.12)が得られる．摩擦力 F はこれに摩擦係数
μを乗じた大きさで方向が逆となるからEq(3.13)が得られる．
重心周りの摩擦トルクは接点Pが重心の真下にあると近似して水平成分のみとすれば Q ∫ Qr = -h ¥ F で定
義される F より90度位相が遅れた水平ベクトルとなる．つまり： Qr = - i hF →Eq(3.14)が得られる．
12. 外部トルクが存在する場合のラジアル角運動量Hrの挙動
ここでこれまでの教科書にはない「Hr が外部トルクでどのような動きをするのか」をここで述べる．
AFig.4∼5を利用して，Hr は外部トルクがあろうがなかろうが，そのベクトル矢頭は常にH の矢頭に接し
ている．スピン体が打撃のようなラジアルトルクまたはδ関数のようなラジアル角力積を受けたとする．H
ベクトルの矢頭は瞬時に角力積ΔH方向に移動し，Hr の矢頭もH の矢頭に接したまま瞬時に移動する．た
だしHrの矢尾はその瞬間には全く移動しない！従ってHr は矢尾を動かすことなく矢頭だけが瞬時に移動
するのでHr はその大きさまたは方向を，あるいは両者を同時に変化させ，その新しいHrの章動が開始され
る．つまり新Hを中心とし，新Hrを動径とする新章動に移行する．AFig.5においては黒の点線円から打撃の
瞬間後に緑の点線円に切り替わる．この切り替わり点では打撃のために円弧の滑らかさが無い．H の方向
と同時に，大きさも変えられたらその瞬間後から周回速度Ωも変化するがここでは取扱わない．
以上を単位球面に接する複素平面上で表現するとする．前述のAEq.(7.1)がそのまま利用できる：
外部トルクが加えられる瞬間の前では；
S(t) = H 0 + n 0 Exp[i W t ] = H 0 - (H r0 / H ) Exp[i W t]
外部トルク方向がH に対して直角に，つまり水平成分のみのΔH が加えらた瞬間以降では周回速度Ωの大
きさは不変で；図を要検討！
S(t) = H 0 + D H - (H r0 / H) Exp[i Wt ] = H 0 + D H - (H r 0 + D H ) Exp[i Wt ]
= H 0 + D H + (n 0 - D H ) Exp[i W t ]
ただし H , H 0 , D H 等の下線のあるHはHで規格化した無次元複素ベクトルであることに注意されたい：
D H ∫ DH / H , H r ∫ H r / H , H r0 ∫ H r0 / H
重要：
AFig.5が理解できれば読者は次のことに気づくはずである：「ΔH の方向をS の方向にすればHr が短くなる，つまり章動が小さくなる．逆に反対方向にすればHr が
長くなって章動が大きくなる！」…これはスピン衛星や回転体の運動/制御，とくにスピン軸の安定性に
とって極めて重要な知見である．これはAFig.5も含めて古典的な力学教科書には示されていない．
これらを理解するために作ったのが次のアニメである．
13. 角運動量を動かすことによってスピン軸を制御するアニメーションソフト
表題のソフトは次のURLから開いて頂きたい: http://equationspin-top.main.jp/ExplaJP3.pdf
マウスの位置がH の位置で，クリックすることによってH の位置が決まると同時に時間Δt が経過し，Sは
章動である周回を1/12周回する直線近似の赤円弧を描くので各自トライしてほしい（ここではS,H をとも
に単位長として慣性平面座標:G-XY面への矢頭を投影するので実質的に複素平面上のS,H に等しい）．
このソフトを使った幾つかの結果を原論文のFig.4, 5との類似箇所を指摘しつつ以下に述べる．ただし章
動だけの周回は円弧で正しいが，以下に述べるサイクロイドやトロコイドのような曲線はトルクが連続値で
はなく，多数のインパルス近似なので「幾つかの円弧で接続した近似曲線」であることに注意されたい．
最初はスピン衛星のガスジェットによる2-インパルス法を例示する．
-解8-
最初はスピン衛星のガスジェットによる2-インパルス法を例示する．
最初の例題はS(start)をGへ章動が消滅した状態で移動する問題：
まずS(start)とGの中間位置H1をHの移動位置に選ぶ．
次にH1の位置で5回マウスクリックするとSはGの位置に来る．その瞬
間にジェットトルクがG方向になるものと仮定して噴射し，HをH1か
らGへ移動する．これでSとHはG位置で一致し，以後, 何度クリックし
ても,つまり時間が経過しても両者は動かない．
次はGから図のH3位置への移動を試そう：
前同様に中間位置H2へHを移動し，SがH3に到着した瞬間に2発目の
AFig.6 2-インパルス法
ジェット噴射でHをSの位置へ移動させる．両者が一致するので以後は
章動が無い．
後述するように，スピン衛星のガスジェットノズルは数が少なく方向も固定されているので，いつでもどの方向
にでもジェットトルクが発生出来るわけではないが，2回のジェットでつまり2-インパルスで残留章動のない制御法
が理論的に可能であることを示すためにこの例題を出した．
水平ゴマの簡単な説明：
Im
最初に原論文では示さなかった水平支持ゴマの説明を：
水平に回転しているコマを摩擦のないヒモで重心から少し
それた軸位置で支持した場合の右図を参照されたい．重心
吊り紐
位置だと重力トルクQg(=Aqg)は発生しない．重心以外を
Gravity Torque
支持しているので重心は上下動をする．解析では並進運動
重力トルク
を無視して専ら重心周りの姿勢運動のみを対象とする. また,
図のHとSの位置は重心から単位長の位置にあるとする．
O
従ってHとS は重心を中心とする単位球の赤道面近傍に軌跡
を描く．その細い赤道面を平面に展開表示して議論する．
H の軌跡
重力
Re
S
赤道面
AFig.7 紐(ﾋﾓ)でぶら下げられた水平ゴマ
(a) サイクロイド S(start)から補助点線上をH が等間隔
(b) トロコイド-1 H がSに不一致初期位置から等間隔動.
にｘ軸上を移動．原論文Fig.5の緑色の曲線に相当．
原論文Fig.5の赤曲線に相当,S はフランジ上に.
H はSの2目盛下
(c) トロコイド-2
H はSの3目盛下
(d) トロコイド-3
H はSの3目盛下
(a),(b),(c)の3例はH が1目盛りづつ右方移動, (b),(c),(d)は原論文Fig.5のフランジ拡大. (d)は1目盛りを10回
クリックして移動.これは正確な10等分ではないがH の移動量が1/10に減少したことであり，原論文Fig.5で
は摩擦トルク減少かΩの増大,または転がり円の半径の縮小を意味する．
-解9-
(e) 平行線原論文Fig.5の水色直線に相当．原論文Fig.4のNモード消滅後の単純な近似平行曲線に相当
右図はSの真上から出発,左図は右にずらして出発, 刻みの荒っぽさからの誤差低減のため．
(f) トロコイド原論文Fig.5の転がり円が極端に小さいか，またはフランジが大きい場合に相当．
つまりトルクqgが弱い場合かまたはΩが極端に大きい場合に相当．図では灰色の1目盛りを正確ではない
が十等分してクリックしている．最初のクリックでフランジの半径が決まり, 次の隣接した近いクリック
は転がり円(半径=qg/Ω2)の接点の移動を示し，同円の半径が小さく，遅い移動を示している．H の初期
位置は原点Gの左1目盛に選んだ．
(g) エピサイクロイド（左,転がり円が固定円に接しながら転がる場合の転がり円周上の点の軌跡）と
エピトロコイド(中,フランジ付き転がり円が固定円に接しながら転がる場合のフランジ上の点の軌跡),
右端は(e)の平行線に相当するもので，Sは転がり円の中心にあるので同心円となる．
(h) H をS に近づけるN制御(下左図)と，それにさらに H を天頂Gに近づけた制御の場合(下右図) -解10-
(g) 本解説p.1の参考文献[1]Thomson, p.161で例示されている「水平支持されたコマがゆっくり水平移動
中に軸頂を下に叩く，つまり水平の角力積=水平ΔHを与えた場合の軌跡」
Y
最初の部分は(e)平行線と同じ．ただし小さい．高さはX軸の1/4目盛上なので(e)の場合の1/8．従って
1目盛を8回クリックしている．残念ながらこの部分のSの軌跡は綺麗な直線にならなかった．クリック
が不正確だったから．同じ理由から赤い大円もあまり正確ではない．しかしこんな簡単な方法で結果が
得られることは驚きでもある．
14 ガスジェットによるスピン衛星のスピン軸方向制御
(reorientation maneuver)
1
1
2
3
4
2
5
3
6
5 6
4
7
8
aFig.13 スピン衛星のガスジェット噴射によるスピン軸方向の変更 (Reorientation Maneuver)
aFig.13の左図はスピン衛星のガスジェットによるトルク方向関係を示したものである．図のタイミング
にδ関数のようなインパルスジェットを1発噴射したとする．その際，ジェットによる衛星への力Fは図の
ように下向きで，トルクQjはジェットノズルに対して直角方向となる．1スピンごとに同じ方向のトルク発
生のタイミングが得られる．上の中図は13Sectionで述べたアニメによる練習ソフトでのスピン軸方向制御
の例で，スピン軸を慣性座標のX軸方向に(図の右側)H を1,2,3,4…と，このタイミングで噴射し，移動させ
た．赤の数字は青の数字に対応した章動円上でのスピン軸Sの位置を示している．その右の薄茶色の図は地
上での模擬衛星を使った実験データである．以下，噴射タイミング，つまり章動円周上でのスピン軸Sと n s
との関連をも含めて略述する：
図の例では1章動周回よりも水色の放射線(章動円を時計のように30度づつ12等分)で示したように，60度
遅らせた位置で噴射している．これはアニメを利用する人が自由に変えてもよい．例えば30度遅らせると
か，90度遅らせる等，30度の整数倍なら全く自由である．その自由とは結局慣性モーメント比σを自由に
選んでいることを示そう．筆者が選んだ上の図の場合では， nの1周に対して W の章動周回角は1周+60度
-解11=(1+2/12)周=420度である．Eq(3.3): W ª snの関係からσ=1+2/12=1.166…に相当する．または W の一周
では n s による遅れのためにノズル位置が元の位置に復帰していないことを示している．これは下図:aFig.14
からも分かる：
この図は章動周回角が1周+60度までのスピン軸Sとノズル位置
を示したものである．1章動周回まではノズル位置を白抜きの赤丸
(0,1,…,11)で示し，それ以降の3つのS位置(12,13,14)では白抜き
青丸で示した．14になって慣性座標に対して正確に1スピンした
状態を示し，X軸方向に対するノズル位置がやっと直角に(Sの軌跡
円の接線に対しては60°に)なっている．
W の1周に要する時間つまり周期 TW は TW =360度/ W である．
一方， nの周期つまりスピン周期 T n は
T n =360度/ n=360度 s / W = s TW つまり T n = s TW である．
従って筆者が選んだ s では
n s = n - W = -(1- 1 / s )W ª -0.143W 左図の1分割通過時間は
TW /12に相当するからこれを n s に乗ずると
n s ¥ TW /12 ª -0.143 ¥ 60 deg = -8.57 deg,これを14分割相当に14倍
すると：-120degとなり図と合致する.
aFig.14 スピン衛星の章動周回と
ジェットノズルの位置
15. 独楽の線形近似方程式と実係数の2次mck-系との関係
mck-系とは質量=m, 摩擦係数=c, 復元バネ係数=k とし，外力 Fe x t が加えられたとして：
m ˙x˙ + c x˙ + kx = Fe x t
で表現される系でこれをmで割って外力が無い場合には
˙x˙ + 2 zwn x˙ + w n 2 x = 0 ただし wn 2 ∫ k / m ， z = c /(2mwn ) = c /(2 mk) …減衰比またはラプラス変換した形で：
s 2 + 2 zwn s + wn 2 = 0 ③
この式の形は振動を扱う教科書には必ず出ているので詳細は省く．
wn は無減衰またはフリーの角周波数と言われ，これと独楽の式における W とは類似した関係にある．前
者にはバネ係数が不可欠ではあるが，後者(独楽)ではバネに相当する復元トルクは不要で，章動の式である
原論文のEq(5.3)が出発点となる．つまり外部トルクがゼロの場合である．
独楽の場合の固有値は i W とゼロであり，バネが無くても振動するのに対し，前者のそれは ± iw n であり，
バネが無ければ±ゼロで振動しない．バネが無くても振動：スピン衛星では章動を伴う．その原因は外部か
らのトルクが作用しなくても「内部トルク」による，とはChap.11で述べた筆者独自の考え方である．
ここで外部トルクの作用を略述する．重力による静的には不安定剛性は角運動量を天頂軸回りに回転させ
るだけで, 高速スピンでは姿勢の安定性には直接には関係しない. 摩擦による係数KNはζに近い働きをするが，
KPは角運動量を天頂方向に近づける作用をするので，磁気軸受けの設計者には不可欠な係数である．
Aq˙˙ - iAWq˙ = Q f + Q g = -K N q˙ + (i W K P + K g )q … 原論文Eq(4.4)
Q = -K q˙ - WK S ,
Q = K q =iK S
f
N
P
g
g
Im
②
Z
g
① ② ③
①はHをSに近づけ，②はHにではなくSに対して逆方向，つまり天頂
方向，③も同様にHにではなくSに対して直角方向に，すべてHにベ
クトル加算される．以上のことを右図から完全に把握されたい．
q と S との関係は，本解説のP.2のChap.7に含まれる：
P.3(最大の難所)にもあり，AFig.3を見ればナーンダ簡単だ！ Re
③
②
H
③
S
①
aFig.15 外部トルク項の実際の
作用方向とH への加算
-解12-
16. コインの横立ち安定の理由
コインに類似した形状のものとして円盤投げの円盤を想定する．簡単のために円盤を二つの球面を接合し
たものと考える．その際，球面半径は極めて大で，円盤中心の厚さは非常に薄く，例えばその厚さは円盤半
径の1/10程度として両凸レンズをコイン形状とする．円盤を水平に置くと重心の高さｈは円盤球面半径ｒ
の数十分の一程度，つまり h << r となり，重力トルク係数：原論文Eq.(3.19) K g ∫ Mg(h - r )から静的には極
めて安定となる．水平付近では回転体の接地点がテーブルで滑る際の滑る速度に比例する粘性摩擦が重心に
及ぼす摩擦トルクは小さい．このトルクが回転体の姿勢安定に及ぼす影響を示す重要な係数が原論文
Eq.(3.15∼3.16)の K N と K P である．これらは前述のhとｒの関数として表記されている．
円盤を水平に置いて比較的に高速の回転が与えられたとすれば(手で行うのは困難),水平付近における姿勢
の安定性は原論文の第7章で固有値から慣性モーメント比σとr/hの不等式Eq.(6.4)として与えられている．
aFig.12 コインの摩擦トルク説明図
上図はAFig.3にコインを追加し，コインのp軸がが約40度傾いた場合の摩擦トルク発生を示したものである．
この場合には原論文のFig.2と同様に，コインの接点Pが瞬間回転軸ωを軸として回転し，机上を滑ると考える．
同図ではPが紙面の手前に移動するので摩擦力は紙面の向こう側である．従って重心Ｇに対する摩擦トルク Q f
は図示のような下向きで，コインの厚さのために-z軸より少し右向きとなる．これをラジアル方向とＨ方向に
分解して同図の左側に示した．これによりＨが小さくなり，つまり減速し，同時に H r 成分が増大またはνが
増大するのがわかる．従ってコインは横立ちに近づく．コイン外周が図示のように少し出っ張りがあるとＰは
外周の角から出っ張りに移動し，摩擦トルクも減少し，安定な横立ちとなる．この出っ張りがない円筒面だと
安定性が悪いことは容易に想像できる．同図の右図は出っ張りがあってほぼ横立ちに近い，またはν≒90度の
場合である．重心Gがコイン角のほぼ真上にあるとする．この場合にはスピン速度n≒0となるのでωはΩのほん
の少し右側に傾く．出っ張りの曲率半径がGと角までの距離より短ければ横立ちに近づくにつれ，Pは角よりも
左側に移動し， Q f がほぼ水平で短小となり完全な横立ちに近づく．出っ張りがなくて横立ちにさらに近づくと
Pは角の位置のままでωはPの左側となり，摩擦方向が逆になり，完全な，完全な横立ちにはならないことが理
解出来るだろう．数式での証明は省略する．要するに摩擦トルクによってスピン軸がＨから離れることつまり
νの増大することを理解されたい．
出っ張りのないコインでは摩擦トルクだけに限っていえば角が安定位置となる．重心が角の真上になると重力
の影響がなくなるので，この少し傾いた状態が安定姿勢になると考えられる．
以後，回転コイン平伏時の高周波振動，逆立ちゴマ，ゆで卵の回転起立，セルトの石等々の
「直感的解説」を予定，乞うご期待…… 平成25年正月2日記す

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