光格子中のボース気体の超流動臨界速度 ―変分モンテカルロ法による解析― 栗原研究室 修士２年 八木庭涼平 冷却原子系 ・ボース・アインシュタイン凝縮（BEC）の実現 T 0 M. H. Anderson et al. (1995) 運動量０の状態に全粒子が凝縮する ・特徴 理論模型におけるパラメータを直接実験で制御し、比較ができる！ 冷却原子系 ・ボース・アインシュタイン凝縮（BEC）の実現 T 0 M. H. Anderson et al. (1995) 運動量０の状態に全粒子が凝縮する ・特徴 理論模型におけるパラメータを直接実験で制御し、比較ができる！ 今回はボース系に注目する 光格子中のボース気体 例：ボース・ハバード模型 サイト間のホッピング オンサイト斥力相互作用 光格子中のボース気体 例：ボース・ハバード模型 サイト間のホッピング オンサイト斥力相互作用 レーザー ・実験 光格子 は格子の深さにより調節 注目する現象1：超流動・モット絶縁体量子相転移 格子点あたりに整数個の粒子がいる場合、 相互作用を増やしていくと相転移を起こす 相互作用による損が大き いため粒子は局在化 超流動相 モット絶縁体相 注目する現象1：超流動・モット絶縁体量子相転移 ・実験 M. Greiner et al., Nature(2002) 格子点あたりに整数個の粒子がいる場合、 相互作用を増やしていくと相転移を起こす 相互作用による損が大き いため粒子は局在化 超流動相 モット絶縁体相 超流動相 浅い 格子ポテンシャル モット絶縁体相 深い 格子ポテンシャル 系が超流動状態の場合、運動量分布 に干渉パターンが現れる 超流動・モット絶縁体量子相転移の理論解析 ・グッツウィラー近似による解析 (2次元) condensate fraction 格子点あたりの粒子数：１ condensate fraction（凝縮している粒子の割合） がなくなりモット絶縁体相に転移する 超流動相 凝縮体成分あり モット絶縁体相 凝縮体成分なし 超流動・モット絶縁体量子相転移の理論解析 ・グッツウィラー近似による解析 (2次元) condensate fraction 格子点あたりの粒子数：１ condensate fraction（凝縮している粒子の割合） がなくなりモット絶縁体相に転移する 超流動相 凝縮体成分あり 次元 グッツウィラー近似による モット絶縁体相 凝縮体成分なし 数値的厳密解 誤差 １ 11.66 3.28（密度行列繰り込み群） 255％ ２ 23.31 16.74（量子モンテカルロ） 39％ ３ 34.97 29.34（量子モンテカルロ） 19％ 超流動・モット絶縁体量子相転移の理論解析 ・グッツウィラー近似による解析 (2次元) condensate fraction 格子点あたりの粒子数：１ condensate fraction（凝縮している粒子の割合） がなくなりモット絶縁体相に転移する 超流動相 凝縮体成分あり 次元 グッツウィラー近似による モット絶縁体相 凝縮体成分なし 数値的厳密解 誤差 １ 11.66 3.28（密度行列繰り込み群） 255％ ２ 23.31 16.74（量子モンテカルロ） 39％ ３ 34.97 29.34（量子モンテカルロ） 19％ グッツウィラー近似は低次元になるにつれ、誤差が大きくなる 注目する現象2：超流動流の崩壊 ・格子ポテンシャルの強弱に加え、速度を制御 格子の速度 粒子の運動量 注目する現象2：超流動流の崩壊 ・格子ポテンシャルの強弱に加え、速度を制御 格子の速度 粒子の運動量 超流動流が不安定化する運動量が存在！ 超流動臨界運動量 注目する現象2：超流動流の崩壊 格子の速度 粒子の運動量 超流動流が不安定化する運動量が存在！ 超流動臨界運動量 ・実験（３次元） condensate fraction ・格子ポテンシャルの強弱に加え、速度を制御 J. Mun et al., PRL (2007) 注目する現象2：超流動流の崩壊 ・実験（３次元） J. Mun et al., PRL (2007) condensate fraction ・格子ポテンシャルの強弱に加え、速度を制御 格子の速度 粒子の運動量 超流動流が不安定化する運動量が存在！ 超流動臨界運動量 相転移点で超流動臨界運動量は０ 注目する現象2：超流動流の崩壊 ・実験（３次元） J. Mun et al., PRL (2007) condensate fraction ・格子ポテンシャルの強弱に加え、速度を制御 格子の速度 粒子の運動量 超流動流が不安定化する運動量が存在！ 超流動臨界運動量 赤線はグッツウィラー近似の結果 ３次元系において非常によく一致 相転移点で超流動臨界運動量は０ 超流動流崩壊の理論解析 グッツウィラー近似の問題：低次元系において誤差が大きい！ しかもこの系では量子モンテカルロ法の適用が難しく、グッツウィラー近似を超えた 取り扱いはまだない 超流動流崩壊の理論解析 グッツウィラー近似の問題：低次元系において誤差が大きい！ しかもこの系では量子モンテカルロ法の適用が難しく、グッツウィラー近似を超えた 取り扱いはまだない 有望な解析手法：変分モンテカルロ法 本研究の目的 ２次元光格子中ボース気体において、変分モンテカルロ法 により超流動臨界運動量が解析できるかを確かめる 超流動流崩壊の理論解析 グッツウィラー近似の問題：低次元系において誤差が大きい！ しかもこの系では量子モンテカルロ法の適用が難しく、グッツウィラー近似を超えた 取り扱いはまだない 有望な解析手法：変分モンテカルロ法 本研究の目的 今回やったこと ２次元光格子中ボース気体において、変分モンテカルロ法 により超流動臨界運動量が解析できるかを確かめる 少数サイトの有限系で ①超流動・モット絶縁体転移点の他の手法との比較 ②超流動臨界運動量の解析 計算方法 ・有限サイズの格子系で近似 二次元正方格子 L×Lサイト （L=６，８，１０） 格子点あたりの粒子数（粒子数/サイト数）＝１ 計算方法 ・有限サイズの格子系で近似 二次元正方格子 L×Lサイト （L=６，８，１０） 格子点あたりの粒子数（粒子数/サイト数）＝１ 超流動・モット絶縁体量子相転移を見たい 計算方法 ・有限サイズの格子系で近似 二次元正方格子 L×Lサイト （L=６，８，１０） 格子点あたりの粒子数（粒子数/サイト数）＝１ 超流動・モット絶縁体量子相転移を見たい ・流れのあるボース・ハバード模型 ・流れ演算子 計算方法 ・有限サイズの格子系で近似 二次元正方格子 L×Lサイト （L=６，８，１０） 格子点あたりの粒子数（粒子数/サイト数）＝１ 超流動・モット絶縁体量子相転移を見たい ・流れのあるボース・ハバード模型 流れが無い場合はオンサイト斥力を持つボース・ハバード模型 ・流れ演算子 ・ジャストロウ型波動関数 ・凝縮体の割合：condensate fraction ・エネルギー サイト数 （行列 粒子数 の最大固有値）/（粒子数） ・エネルギーの微分 ・超流動臨界運動量 音速 が最大となる では音速が虚数となる 圧縮率 有効質量 ①モット絶縁体転移点の確認 流れがない場合 ①モット絶縁体転移点の確認 凝縮体成分が無くならない 流れがない場合 有限サイトで近似したため ： 有限サイズ効果 ①モット絶縁体転移点の確認 流れがない場合 ・相転移点 凝縮体成分が無くならない グッツウィラー近似 23.31 量子モンテカルロ 16.74 今回の結果 ～20 有限サイトで近似したため ： 有限サイズ効果 外挿により無限系の結果を得ることができる ②超流動臨界運動量 ②超流動臨界運動量 相転移点へと減少せず、異常な 上昇が現れる！ ②超流動臨界運動量 ②超流動臨界運動量 サイズを上げることで異常な振 サイズを上げることで異常な 振る舞いは抑えられ、モット絶 る舞いは抑えられ、相転移点 縁体転移点へ向かう へと減少する ②超流動臨界運動量 サイズを上げることで異常な振 る舞いは抑えられ、相転移点 へと減少する 有限サイトでは凝縮体は無くな らない！ ②超流動臨界運動量 サイズを上げることで異常な振 サイズを上げることで異常な 振る舞いは抑えられ、モット絶 る舞いは抑えられ、相転移点 縁体転移点へ向かう へと減少する 有限サイトでは凝縮体は無くな らない！ 外挿により問題を回避できる まとめ グッツウィラー近似の範囲を超えた超流動臨界速度の解析をするため、変分モンテ カルロ法を試した。 が大きい領域においては超流動臨界運動量が異常な上昇を示す。 これは有限サイズ効果によるもので、大きなサイズの解析により回避できると思われる。 この問題が回避できれば、変分モンテカルロ法はグッツウィラー近似の範囲を超えて、 超流動臨界速度を解析できるといえる。 ・今後の展望 大きなサイズの計算により、異常な振る舞いを回避できるか？ 別の系で、これまでグッツウィラー近似でしか解析できなかった問題に取り組む。 付録１：近似法の比較 ・グッツウィラー近似 １サイト近似 グッツウィラー波動関数を仮定 無限系での解析：有限サイズ効果はない 量子揺らぎに重要なサイト間の相関を考 慮できない ・変分モンテカルロ法 周期境界条件付きの有限サイトに近似 ジャストロウ型波動関数を仮定 サイト相関を考慮することができる 有限のサイトで計算するために、有限 サイズ効果がある 付録2：変分モンテカルロ法 サイト数が増えると状態数は膨大になる（指数関数的に増加） 期待値を対角化などで求めることは不可能 ただし は いものを選んでくる エネルギーが最小となるように変分パラメータを最適化 が大き 付録3：エラーバーの付け方 のerror bar 付録４：超流動流の不安定化 ・音速の定義 圧縮率 ・励起スペクトルからの音速の定義 有効質量 励起状態のエネルギー 音速が虚になる ⇔ 励起モードが虚数となる！ 微小な揺らぎが指数関数的に増大し、超流動流を破壊する
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