201 5 年度数学基礎考究2 (落合) 課題 (10/8)

２０１ 5 年度数学基礎考究２ (落合) 課題 (10/8)
学籍番号氏名
以下は, 大阪大学理学研究科数学専攻の 2010 年大学院入試問題数学 A
の問題 [2] を一部抜粋して少し修正したものである1. 教科書やノートを
参照にしてもよいので試験形式で解答を作成すること. 尚, 数学的な文
章を正しく書ける訓練でもあるので読みやすい文字と文章で記すこと.
問 M (2, R) を 2 次実正方行列全体のなす R 線型空間とし, 部分空間
V = {X ∈ M (2, R)|t X = X} を考える. ただし,t X は X の転置行列を
表す. このとき以下の問に答えよ.
(1) V は
(
E1 =
)
1 0
, E2 =
0 0
(
)
0 1
, E3 =
1 0
(
)
0 0
0 1
2
を基底とする R (
ベクトル空間であることを示せ
.
)
1 a
(2) a を実数, A =
∈ M (2, R) とする. X ∈ V に対して
a 1
fA (X) = t AXA と定めるとき, fA は V から V への R 線型写像
である3. 上述の基底 E1 , E2 , E3 に関する R 線型写像 fA の表現
行列を求めよ.
(3) ImfA の基底を一組もとめよ.
(補足: 教科書の 2.3 節や p.57 の例題とその後の余談を読んで, やるべ
きことや注意するべきことを把握してください)
1
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/inshi/kakomon.html で入手できます
2解答は基底のどの定義を用いているか「読み手」にわかりやすいように書くこと.
3今日の課題は基底の取り扱いなので,
今日はこれは認めて示さなくてもよい

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