3. 1次系の時間応答 | 制御系CAD

3. １次系の時間応答 ¦ 制御系CAD
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投稿日時: 2015/10/14
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3. １次系の時間応答
(PPT3) (resume3)
3.1 準備
●１次自由系を表す微分方程式
(1)
の解は
(2)
と表されます。これが解であることは元の微分方程式に代入すればすぐに確かめられ、また次のよう
にして導くことができます。
●元の微分方程式を
と書いて、左から積分因数と呼ばれる
(3)
をかけると
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(4)
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すなわち
(5)
したがって、を定数として
ここで、
(6)
とおくとは初期値
に等しいので
(7)
と表されます。
●それでは、１次系の状態方程式
(8)
の解を求めてみます。上と同様にして
(9)
までは問題ないと思います。これをからまで積分して
(10)
すなわち
(11)
したがって
(12)
ここで、をに、をと置き換えれば
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(13)
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が得られます。
3.2 １次系の漸近安定性
●１次系の状態方程式
(14)
を考えます。いま、平衡状態（
ださい。そうしますと
）にある場合は入力は零である（
）ことに注意してく
(15)
だけが残り、この解は
(16)
となります。これから
(17)
を得ます。１次系は
●実際、時刻
について
のとき漸近安定、
において平衡状態（
のとき不安定と言います。
）が乱され
を求めてみると次のグラフが得られます。
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になったとし、
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3.2 １次系の時間応答
●次の１入力１出力１次系の状態空間表現を考えます。
(18)
これから、１次系の時間応答の表現式
(19)
を得ます。ここで、インパルス応答
(20)
を定義しますと、上式は
(21)
すなわち、１次系の時間応答は、零入力応答（第１項）と零状態応答（第２項）の和でとなります。
●実際、
について
を求めてみると次のグラフが得られます。
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●以下では、特別な３種類の入力（ステップ入力、インパルス入力、正弦波入力）に対する零状態応
答（ステップ応答、インパルス応答、正弦波応答）を考え、これらの相互関係を調べます。
まず、零状態応答は次のように書けることに注意してください。
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(22)
これからステップ応答は
とおいて、次式のようにインパルス応答を積分して得られます。
(23)
逆に、ステップ応答を微分するとインパルス応答が得られます。
●次の図を見てください。
左図において
としたものがステップ入力です。すなわち
右図はを表していますが、
(24)
としたものがインパルス入力です。
１次系の状態方程式を微分すると
(25)
を得ます。これは、１次系に入力を与えた場合の応答は
であることを示しています。すなわち
ステップ応答を微分するとインパルス応答が得られることがわかります。
●一般に、「システムを知る」ということは「どんな入力を与えられても出力を推測できる」ことを
意味します。したがって、平衡状態（
）にある場合、インパルス応答さえ分かれば、畳み
込み積分を行って出力（零状態応答）が計算できます。この意味で、インパルス応答は重要なので
す。また、インパルス応答自体の計算は、
としたときの零入力応答を求めて行います。ス
テップ応答が分かれば、これを微分してインパルス応答が分かります。また、インパルス応答をラプ
ラス変換したものが、正弦波応答と密接に関係しています。このことはあとで詳しく述べます。
3.3 １次系の時定数
●漸近安定な１次自由系を次のようにパラメータライズします。
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(26)
この解は
(27)
ですから、
のときは
(28)
となります。また、
での接線は
(29)
ですから、
となります。この
は時定数と呼ばれ、平衡状態に復帰する時間は大体
で
あることを表します。これは初期値の36.7%まで復帰する時間、または初期速度で復帰した場合の時
間（初期時刻における接線が0と交わる時刻）として特徴付けられます。
●実際、時刻
いて
において平衡状態
が乱され
になったとし、
を求めてみると次のグラフが得られます。
●次のようにパラメータライズされた漸近安定な１次系を考えます。
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につ
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(30)
この解は次式で与えられます。
(31)
この１次系が表す制御対象は平衡状態（
）を与えたとします。このときの解
）にあるとして、初期時刻において単位入力（
をステップ応答と言います。
(32)
すなわちステップ応答は次式で表されます。
ここで、
(33)
のときは
(34)
となります。また、
での接線は
ですから、
(35)
となります。この時定数
を表します。これは、最終値
（初期時刻における接線が
●実際、
は最終値
に到達する時間は大体
であること
の63.2%まで到達する時間、または初期速度で到達した場合の時間
と交わる時刻）として特徴付けられます。
について、ステップ応答
を求めてみると次のグラフが得られます。
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3.4 周波数応答
●１次系の状態方程式
(36)
と正弦波入力
(37)
を考えます。このとき、公式
(38)
を用いて、周波数応答が次のように得られます。
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●次のようにパラメータライズされた漸近安定な１次系を考えます。
(39)
このとき周波数応答は
ここで、
(40)
とすると
(41)
これは、入力が正弦波のときは、時間が十分立てば、出力も正弦波となることを示しています。その
振幅と位相はそれぞれ
の絶対値と偏角となっています。
●いま、１次系の状態方程式をラプラス変換すると
この
(42)
を伝達関数、
をゲイン、
を位相と呼びます。このゲイン線図と位相線図
をペアにして片対数グラフにプロットしたものをボード線図と呼びます。ゲインはdb値(
)、位相はdeg値(
●実際、
)です。
について、ボード線図を描いてみると次のグラフが得られます
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●ちなみに
を満足する
(43)
は
となり、帯域幅と呼びます。実際、上図で-3dBの水平線との交点が
す。
(44)
であることが確かめされま
A3-1 ラプラス変換
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(45)
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(46)
A3-2 db値
カテゴリー: 制御入門, 授業レジュメ作成者: admin パーマリンク
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