微分積分学リーマン積分論徳島大学名誉教授・理学博士伊東由文著序本書は「微分積分学」あるいは「解析学」のうちリーマン積分論について論述するリーマン積分論は次元ユークリッド空間と一般の次元ユークリッド空間次元ユークリッド空間の場合に分けて論述するさらに第章において級数論の概略について論述するあえて重複をいとわずにこのような構成を考えたのは日本における大学年次の学生のための基礎数学の講義の教科書として用いるときの便宜を考えたためである教育的であるとともに学問的要請にもこたえられるように構成することを心がけたリーマン積分論は新しい公理的方法を用いて測度論・積分論の理論に基づいて構成するこのような構成はユークリッド空間の次元には依存しない基本的な構造があるそれ故に本書におけるリーマン積分論の構成の基本的な考え方の説明においては以下のようにユークリッド空間の次元には言及しないでおくまずユークリッド空間においてジョルダン測度空間とジョルダン測度の概念の定義を与えそのような定義の条件すなわち公理を満たすジョルダン測度空間とジョルダン測度の存在定理を証明する次にジョルダン測度あるいはジョルダン可測集合に適合した実数値関数としてジョルダン可測関数の定義を与えるそのようなジョルダン可測関数に対してリーマン積分の定義を与えリーマン積分の存在定理を証明するさらに広義リーマン積分の概念を定義し狭義リーマン積分も含めて一般に広義リーマン積分が絶対収束条件収束あるいは発散する場合を考察するこのことによって狭義リーマン積分を含む広義リーマン積分の収束と発散の状況を完全に解析することに成功したさらに様々なジョルダン可測関数に対するリーマン積分の計算方法と計算例を示した特に広義リーマン積分が条件収束する場合には積分領域の近似有向族のとり方に依存して広義リーマン積分が様々な実数値を値に取ることができあるいは発散するようにできるので一見条件収束する広義リーマン積分は確定した意味を持ち得ないのではないかという疑問が生じるこれに対してはシュワルツの超函数論やゲルファントの一般化函数論を用いて条件収束する広義リーマン積分が確定した意味を持つことを示すことに成功したこのような意味において本書においてリーマン積分論の完全な理論を構成することに成功した本書は年半にわたる私の教育研究において繰り返し考察し発見したことを様々な形で著書や論文に表現してきたものを集大成し一冊の本にまとめたものである今後のリーマン積分論の教育研究に益するところ大であることを祈っている最後に本書において用いる数の概念については拙著「算術の公理」の定義を用いることを付記するこれに関しては伊東を参照していただきたいは自然数全体の集合は有理数全体の集合は実数全体の集合は整数全体の集合は複素数全体の集合を表す家庭円満社会と国家の安定世界平和を祈って平成年月日伊東由文目　次序目　次第章　次元ジョルダン測度直線図形の長さ次元ジョルダン測度の定義と存在第章　リーマン積分の定義と基本性質可測関数変数変数リーマン積分の定義変数リーマン積分の基本性質積分関数と不定積分第章　広義リーマン積分変数広義リーマン積分の定義広義リーマン積分の計算絶対収束の場合広義リーマン積分の計算条件収束の場合第章　リーマン積分の計算変数の変換変数不定積分の計算定積分の計算曲線の長さ第章　次元ジョルダン測度平面図形の面積次元ジョルダン測度の定義と存在第章　重積分の定義と基本性質可測関数変数重積分の定義重積分の基本性質第章　重積分の計算繰り返し積分広義の重積分変数の変換と重積分の計算第章　次元ジョルダン測度次元図形の容積次元ジョルダン測度の定義と存在第章　多重積分可測関数変数多重積分の定義多重積分の基本性質繰り返し積分広義多重積分変数の変換第章　級　数無限級数冪級数の微分と積分参考文献索　引