SSSS - 株式会社北辰測量設計

座標求積法
座標値による面積の計算方法について解説します。
下図のような三角形の面積(S)について考えます。
X
(X3,Y3)
(X2,Y2)
S
(X1,Y1)
Y
座標求積ではいくつかに分けた台形の面積を計算します。
計算する台形の数は求積する図形の辺の数と同じです。
この例では三角形を求積するので、台形の数は3個です。
X
(X3,Y3)
X2
X
X
X3
(X2,Y2)
X2
(X2,Y2)
(X3,Y3)
S2
X3
(X2,Y2)
(X3,Y3)
S3
S1
X1
(X1,Y1)
Y2
Y1
X１
(X1,Y1)
Y
Y2
Y3
Y
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(X1,Y1)
Y１
Y3
Y
座標求積法
台形の面積は、以下の公式により計算できます。
台形の面積=(上辺+下辺)×高さ÷2
上辺
高
さ
下辺
この公式を使って、それぞれの面積を計算していきます。
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座標求積法
① S1の面積
この時、(X1-X2)　は　X1＞X2　と　X1＜X2　とで正負(+-)が異なります。
X
必ず、
(X3,Y3)
Xn - Xn+1
X2
(X2,Y2)
や、
S1
Xn+1-Xn
X1
(X1,Y1)
Y2
Y1
など、計算する順番を決めておきます。
Y
この正負によって、各台形の面積の正負が決まります。
この例では、Xn-Xn+1で計算をすすめます。
台形の面積の公式は、
台形の面積=(上辺+下辺)×高さ÷2
上辺
高
さ
下辺
なので、 S1=(Y2+Y1)×(X1-X2)÷2で求積できます。
Y2
(X1-X2)
S1
※(X1-X2)は負(-)なので、S1は負(-)となる。
Y1
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座標求積法
以下、同様にそれぞれの台形の面積を求めます。
② S2の面積
X
X3
X2
(X2,Y2)
Y3
(X3,Y3)
S2
S2
(X2-X3)
Y2
(X1,Y1)
Y2
S2=(Y3+Y2)×(X2-X3)÷2
※(X2-X3)は負(-)なので、S2は負(-)となる。
Y
Y3
③ S2の面積
X
X3
(X2,Y2)
Y3
(X3,Y3)
S3
(X3-X1)
X１
(X1,Y1)
Y１
S3
Y1
Y3
Y
S3=(Y3+Y1)×(X3-X1)÷2
※(X13-X1)は正(+)なので、S3は正(+)となる。
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座標求積法
①～③で計算した台形の面積を合計することで、Sの面積が求められます。
S =(-)S1+(-)S2+S3
=S3-S1-S2
(-)S2
S
=
(+)S3
+
(-)S1
=
S
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座標求積法
以上のように、台形の面積の合計から任意の図形の面積が計算できます。
①～③の式を整理し一般化します。
①'
S1=(Y2+Y1)×(X1-X2)÷2
=(Y2X1-Y2X2+Y1X1-Y1X2)÷2
②'
S2=(Y3+Y2)×(X2-X3)÷2
=(Y3X2-Y3X3+Y2X2-Y2X3)÷2
③'
S3=(Y3+Y1)×(X3-X1)÷2
=(Y3X3-Y3X1+Y1X3-Y1X1)÷2
S=S1+S2+S なので
S =(Y2X1-Y2X2+Y1X1-Y1X2 +Y3X2-Y3X3+Y2X2-Y2X3
+Y3X3-Y3X1+Y1X3-Y1X1)÷2
同じ色で示した部分は打ち消しあうので、
S =(Y2X1-Y1X2+Y3X2-Y2X3-Y3X1+Y1X3)÷2
Xnで式をまとめます。
S =｛(Y2-Y3)X1+(Y3-Y1)X2+(Y1-Y2)X3｝÷2
この例は三角形についての式なので、n角形の式として整理すると、
S=
1 Σ(Y -Y )X
n+1
n-1 n
2
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座標求積法
実際に計算してみます。
X
※公式による計算
1 Σ(Y -Y )X
S=
n+1
n-1 n
2
③
(8,9)
8
②
(5,2)
(Yn+1-Yn-1)Xn=Anとおくと、
S
5
A1=(Y②-Y③)・X①＝（2-9）×2=-14
①
(2,6)
2
A2=(Y③-Y①)・X②＝（9-6）×5=15
A3=(Y①-Y②)・X③＝（6-2）×8=32
Y
2
6
9
S=
座標リスト
X
2
①
②
5
③
8
Y
6
2
9
1 (A +A +A )
2 1 2 3
=
1
(-14+15+32)
2
=
1
×33
2
公式
S=
1 Σ(Y -Y )X
n+1
n-1 n
2
= 16.5
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