医学理工学系統数学IAIIB演習・テキスト

2015 夏期講習「医学・理工学系統数学 IAIIB 演習」
1
(2014 日本大・医問題 1)
以下の設問 (1)∼(8) については、答えだけを解答欄に書きなさい。
(1) m を定数とする。2 次関数 y = x2 − 2mx + 5m + 6 のグラフと
x 軸の負の部分が異なる 2 点で交わるとき、定数 m のとり得る値
の範囲を求めなさい。
(2) 放物線 y = x2 − x + 2 を x 軸方向に 1 、y 軸方向に − 1 だけ
2
2
平行移動して得られる放物線と直線 y = x の共有点の座標を求め
なさい。
(3) 赤玉 5 個と白玉 4 個、合計 9 個の玉が入っている袋から 4 個の玉
を同時に取り出すとき、赤玉が 2 個、かつ、白玉が 2 個である確
率を求めなさい。
(4) 座標平面上に 3 点 A(−2, 3), B(1, 4), C(5, 6) をとり、線分 AB
と線分 BC を引く。AB の垂直 2 等分線を l、BC の垂直 2 等分線
を m とするとき、l と m の交点の座標を求めなさい。
2an
(5) a1 = 1, an+1 =
(n = 1, 2, 3, · · · ) で定められる数列
3an + 1
{an } の一般項を求めなさい。
( )150
(6) 1
を小数で表したとき、小数第何位に初めて 0 でない数字
6
が現れるか。ただし、log10 2 = 0.3010, log10 3 = 0.4771 とする。
(7) 原点 O の座標平面上に 2 点 A(4, −3), B(2, 5) をとり、三角形
OAB を作る。辺 OA を 2 : 1 に内分する点を C、辺 OB を 3 : 2
に内分する点を D とする。線分 BC と線分 AD を引き、その 2 つ
−→
の線分の交点を E とするとき、OE を求めなさい。答えは、成分
で表しなさい。
(8) （旧課程の問題のため省略）
年組番氏名 No. 1
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2
(2014 慶應義塾大・理工問題 I)
(1) 3 次方程式 x3 + 1 = 0 の −1 でない解の 1 つを α とするとき、
(3 + 7α)(7 + 3α) − 4(1 + α2 ) =
ア
α
となる。
(2) 三角形 ABC において、
AB = 2, ∠ACB = π , ∠BAC = π
4
3
であるとき、AC =
イ
である。
(3) （旧課程の問題のため省略）
(4) a, b を a > 0, b > 1 となる実数とする。放物線 y = −ax2 + b
と円 x2 + y 2 = 1 の共有点が 2 個であるための必要十分条件は、
b=
し、
キ
キ
かつ a >
には a の式、
ク
ク
年組番氏名 No. 2
が成り立つことである。ただ
には数を記入すること。
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3
(2014 東京女子医科大・医問題 2)
xy 平面を動く点 V を考える。いま V が原点から出発して次の規則
に従って場所を移動するものとする：硬貨を投げて表が出たら V の y
座標はそのままで x 座標を 1 増やす。裏が出たら V の x 座標はその
ままで y 座標を 1 増やす。
硬貨を 10 回投げて上の規則に従い V を動かしたとき、V と原点の距
離が 9 以下となる確率を求めよ。
年組番氏名 No. 3
4
(2014 東京女子医科大・医問題 3)
(
)
1 (1 + √5) 3 をできるだけ簡単な形にせよ。
2
√
√
√
√
3
3
(2)
5+2+
5 − 2 をできるだけ簡単な形にせよ。
(1)
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5
年組番氏名 No. 4
(2014 順天堂大・医問題 I (3))
3 次関数 y = x − 4x のグラフを平行移動して、x 軸と 1,2 及びもう
一点で交わるようにしたい。
3
このような平行移動は 2 通りある。
√
√
ア −
イ
一つは x 軸方向に
、y 軸方向に
エ平行移動す
ウ
√
オ − カ
キ
るもので、3 つ目の交点の x 座標は
である。
ク
√
√
ケ +
コ
一つは x 軸方向に
、y 軸方向に −
シ平行移動
サ
√
ス + セ
ソ
するもので、3 つ目の交点の x 座標は
である。
タ
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(2014 芝浦工業大・前期問題 3)
O を原点とする座標空間内の四面体 OABC において、A(1, 0, 0),
−→
−→
−→ −→
−→
B(t, p, p), C(2, 0, 1) とし、OA と OB の内積 OA · OB、および OB
√
−→
−→ −→
はそれぞれ、OA · OB = 0, OB = 2 を満たすとする。ただし、
p > 0 とする。
(1) このとき、t =
(ア)
, p=
(イ)
である。
(2) 点 C を通る直線が、△OAB を含む平面と垂直に交わる点を H と
−→
−→
−→
−→
する。 CH = a OA + b OB + c OC を満たす定数 a, b, c を求める
−→
と、a =
(ウ)
であり、 CH =
(エ)
である。
(3) 四面体 OABC の体積は
年組番氏名 No. 5
( オ)
である。
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(2014 早稲田大・理系問題 I)
√
−1 + 3i
複素数 α =
に対して、
2
Sn =
n
∑
αk−1 , Tn =
k=1
n
∑
kαk−1
(n = 1, 2, · · · )
k=1
とおく。ただし、α0 = 1 とする。次の問に答えよ。
(1) S3m (m = 1, 2, · · · ) を求めよ。
(2) T3m (m = 1, 2, · · · ) を求めよ。
(3) T2014 を求めよ。
年組番氏名 No. 6
2015 夏期講習「医学・理工学系統数学 IAIIB 演習」
8
年組番氏名 No. 7
(2014 明治大・理工問題 [I](1))
9
(2014 明治大・理工問題 [I](3))
第 3 項が 0 であって、第 1 項から第 6 項までの和が 6 であるような等
さいころを 4 回投げるとき、k 回目に出る目を Ak (k = 1, 2, 3, 4) と
差数列の第 n 項を an とする。このとき、aN ≧ 300 となるような正
する。
の整数 N のうち最小のものを N1 とすると、N1 =
る。また、
N
∑
アイウ
であ
an ≧ 300 となるような正の整数 N のうち最小のもの
n=1
を N2 とすると、N2 = エオ
である。
(a) A1 < A2 < A3 < A4 となる目の出方は、
サシ
(b) A1 < A2 < A3 かつ A3 ̸= A4 となる目の出方は、
通りである。
スセソ
通
りである。
(c) A1 < A2 < A3 かつ A3 > A4 となる目の出方は、
である。
タチ
通り
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10
(2014 青山学院大・理工 A 問題 3 )
2 π の扇形
下図のように、点 O を中心とし、半径が 1 で中心角が
3
OAB がある。θ を 0 < θ < π を満たす角として、弧 AB 上に、
3
∠AOP = θ, ∠BOQ = θ を満たす点 P,Q をとる。また、点 P から線
分 OA に垂線を下ろし、線分 OA との交点を R とする。点 Q から
線分 OB に垂線を下ろし、線分 OB との交点を S とする。このとき、
以下の問に答えよ。
(1) 三角形 OPR の面積を θ を用いて表せ。
(2) 三角形 OPQ の面積を θ を用いて表せ。
(3) θ が 0 < θ < π の範囲を動くとき、五角形 ORPQS の面積の最
3
大値を求めよ。
B
2π
3
O
1
A
年組番氏名 No. 8

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