IPhO2015 理論第3問（T

IPhO2015 理論第３問（T-3）
【解答】
原子炉の設計1
A．燃料ピン
A1
解答：
解説：変換の間に放出されるエネルギーは，
データは原子質量単位(u)で与えられているので，
許容範囲
A2.
解答：
解説：この燃料
子量
分子の数
は、燃料の密度，アボガドロ定数
，平均分
を用いて，
それぞれの
みが
あたりの
分子には，ウラン原子が一つずつ含まれている。それらのうち
の
なので，
許容範囲
A3
解答：
解説：核分裂で放出されるエネルギーのうち
が熱として利用可能であるから，一回の
核分裂で得られる熱エネルギーは、A1.から、
単位体積当たりの全断面積は，
である。したがって，単位体積当たり，単位時間
当たりに放出される熱は，
Joseph Amal Nathan （BARC）と Vijay A. Singh（前国立科学オリンピック・コーディネーター）が，
この問題の責任著者であった。アカデミック委員会，アカデミック発展グループおよび国際役員に大変感
謝する。
1
1
許容範囲
A4
解答：
解説：
の次元は温度である。このことを
元も書き下せて，温度を
と書き表す。同様に
の次
のべき乗の積に等しいとすることで，次の次元の方程式が
得られる：
これにより，温度の次元から，
質量と時間の次元から，
よって，
次に長さの次元より，
これらより，
したがって，
ここで，問題に示されているように、無次元係数 1/4 をつけた。もし 1/4 が書かれてい
なくても減点しない。
注：別の方法で
を求めていても同じ評価をする。
A5
解答：
解説：
の融点は
ン」しないような
の最大値は
で，冷却材の最高温度は
である。これにより、
「メルトダウ
の最大値は，
である。したがって
としてよい。
であることに注意して，
ここで，A3 で求めたの値をつかった。これにより，
が燃料ピンの半径の上限値である。
注：インド西部にあるタラプール原子力発電所の第 3、第 4 原子炉には，半径
の燃料ピンがある。
B．減速剤
2
。よって，
B1
実験室系
重心系
B2
解答：解説：衝突前，重心系での中性子と減速剤の速さは，それぞれ
る。重心系での運動量保存則より，
よって
後，重心系での中性子と減速剤の速さをそれぞれ
と
と
であ
である。衝突
とする。保存則より，
かつ
これを解くと，
（別解）重心系の定義より，
は
と
。衝突前，重心系では中性子と減速剤の速さ
であり、弾性衝突なら重心系でみると 2 粒子は逆向きに散
乱されるので，速さは衝突前と同じに保たれ，
注：別の解答でも，解き切っていれば適切な点を与える。
B3
解答：
解説：
である。，
より、
て，
ゆえに，
3
の式を代入し
∴
別の表現：
1
(1   )(1  cos  )
2
注：別の解答でも，解き切っていれば適切な点を与える。
B4
解答：
解説：正面衝突するとき，エネルギー損失は最大，つまり，は
のとき最小になる。
したがって，
に対して，
であるから，失うエネルギーの比率の最大値
許容範囲
C．原子炉
C1
解答：
解説：体積は，
で一定なので，
よって
定常状態なので，
よって，
許容範囲
許容範囲
4
は，
が一定の時，
を最小にするような最適化を行うための，微分を使わ
ない方法：
を
で書き換えることで，
が得られ，これは，
と書きかえられる。すべての項が正なので，相加平均，相乗平均の間に成り立つ不等式
から，
右辺は定数であり，左辺の最小値が右辺であるということを示している。等号成立は，
全項がすべて等しいときで，
定常状態なので，
よって，
許容範囲
許容範囲
注：右辺に得られた条件を代入することで，最小値が
であるとわかる。つまり，条件
より
注：西インドにあるタラプール原子力発電所の第 3，第 4 原子炉の半径と高さは，それぞれ
と
である。
C2
解答：
解説：燃料チャンネルは，
たりの実効的な面積は，
間隔の正方格子状に並んでいるので，単位チャンネルあ
である。円柱の断面積は，
なので，円柱内に収容できるチャンネルの数の最大数は，
部分，つまり
である。
燃料の質量
棒の体積
密度
5
の整数
許容範囲
許容範囲
注 1：
（採点対象外）燃料の総体積は，
炉が
。もし原子
の効率で動くなら，A3 の結果を使って原子炉の出力は，
である。
注 2：タラプール原子力発電所の第 3,第 4 原子炉には，392 本のチャンネルがあり，燃料の
質量は
である。出力は
である。
小問 B2,B3 の別解：実験室系での減速剤の散乱角をとする。この角は、衝突前の中性子の
進行方向から時計回りにとる。衝突後の減速剤の実験室系での速さをとする。実験室系
での運動量、エネルギー保存則より、
(1)
(2)
(3)
(1)と(2)の辺々を二乗して足すことでを消去し，それと(3)を使うことで，
(4)
したがって，
(5)
(ii) 重心系で，衝突後の中性子の速さを
とする。重心の定義から，
実験室系において，衝突前の中性子の運動方向と垂直，平行方向に
れぞれ
。
を分解すると，そ
である。これらを重心系での値に変換すると，の垂直成分，
平行成分はそれぞれ
である。
を（ (5)式を使うなどして）置き換えて整理すると，
において，
が得られる。
の成分を２乗して
を消去して，
を代入して整理すると，
（もう１つの別解）
(iii) 重心の定義から，
。衝突後，重心系での中性子と減速剤の速さをそ
6
れぞれととする。保存則より，
，
これを解くと，
また，
もわかっているので，
式を用いて
を
でおきかえ，(5)
を書き換えて整理すると，
（さらにもう１つの別解）
(iv) 重心の定義から、
。衝突後，重心系での中性子と減速剤の速さをそ
れぞれととする。保存則より，
，
これを解くと，
衝突前の中性子の運動方向と垂直，平行方向に
を分解すると，それぞれ
となる。これらを重心系での値に変換すると，の垂直成分，平行成分は
それぞれ
，
ここで，
である。よって，
なので，
を(4)式によって置き換えて整理すると，
注：
が分かる。
を置き換えて整理すると，次のような
この式を
の二次方程式とみなすと，
7
において，
の間の関係を得る：
のとき，負号だと
の式で、
となって不適，よって，
を上式に置き換えると、
によって表せる。
8

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