4. 線形空間I—定義と例

4. 線形空間 I—定義と例
4.1. 線形空間の定義
線形空間の定義
F を R(実数)，または，C(複素数) とする．空でない集合 V が以下の条件を満たすと
き，V を F 上の線形空間またはベクトル空間といい，V の元をベクトル，F の元をス
カラーという．
[I] V の任意の 2 元 x, y に対して，その和とよばれる V の元 x + y が一意的に確
定し，次の演算法則を満たす．
(1) x, y, z ∈ V に対して (x + y) + z = x + (y + z).
(2) x, y ∈ V に対して x + y = y + x.
(3) 「すべてのベクトル x ∈ V に対して x + 0 = x」となるような V の元 0
が存在する．（この元 0 を零ベクトルという）
(4) 各 x ∈ V に対して x + (−x) = 0 となるような V の元 −x が存在する．
（この元 −x を，x の逆ベクトルという）なお，x, y ∈ V に対して y +(−x)
を y − x とも書く．
[II] V の任意の元 x と F の任意の元 k に対して，x のスカラー倍とよばれる V の
元 kx が一意的に確定し，次の演算法則を満たす．
(1) k, ℓ ∈ F , x ∈ V に対して (k + ℓ)x = kx + ℓx.
(2) k ∈ F , x, y ∈ V に対して k(x + y) = kx + ky.
(3) k, ℓ ∈ F , x ∈ V に対して (kℓ)x = k(ℓx).
(4) x ∈ V に対して 1 x = x.
F = R のとき V を実線形空間，F = C のとき V を複素線形空間という．
◁
注意
• 零ベクトル 0 は一つに定まる．
[証明]
• 任意のベクトル x に対してその逆ベクトル −x は一つに定まる．
[証明]
• ベクトルの和は，和をとる順序によらずにその値が一意に定まる（上の条件 [I]-(1)
による）．たとえば，
(x + y) + z = x + (y + z),
((x+y)+z)+u = (x+(y+z))+u = (x+y)+(z+u) = x+((y+z)+u) = x+(y+(z+u))
1
したがって，ベクトルの和を括弧のない形で，x + y + z, x + y + z + u などと書
くことも多い．
• パズル次を証明せよ．(i) 0 x = 0,
(ii) k 0 = 0,
(iii) (−1) x = −x.
[ヒント] (i) [II]-(1) において k = ℓ = 0 とおく． (ii) [II]-(2) において x = y = 0
とおく． (iii) [II]-(1) において k = 1, ℓ = −1 とおき，(i) を用いる．
線形空間の例
例 4.1
零ベクトル 0 のみからなる集合 V = {0} は線形空間である．和は 0 + 0 = 0, スカラー
倍は k 0 = 0 (k ∈ F ) である．
例 4.2








V = x=













 x1 , x2 , · · · , xn ∈ R .





xn
x1
x2
..
.
この集合 V は



和 : x+y = 

x1
x2
..
.
 
 
 
+
 
xn
y1
y2
..
.


x1 + y1
x2 + y2
..
.
 
 
=
 
yn



,




スカラー倍 : kx = k 

xn + yn
x1
x2
..
.


 
 
=
 
xn
kx1
kx2
..
.



 (k ∈ R)

kxn
に関して，実線形空間となる．この空間を Rn と書く．
例 4.3





V =



z=













.
z
,
z
,
·
·
·
,
z
∈
C
 1 2
n





zn
z1
z2
..
.
この集合 V は



和 : z+w = 

z1
z2
..
.
zn
 
 
 
+
 
w1
w2
..
.
wn


 
 
=
 
z1 + w 1
z2 + w 2
..
.




,



スカラー倍 : kz = k 

z1
z2
..
.
zn
zn + w n
に関して，複素線形空間となる．この空間を Cn と書く．
2


 
 
=
 
kz1
kz2
..
.
kzn



 (k ∈ C)

例 4.4
V = 実数列 {xn }∞
n=0 の全体.
この集合 V は
∞
∞
和： {xn }∞
n=0 + {yn }n=0 = {xn + yn }n=0 ，
∞
スカラー倍： k{xn }∞
n=0 = {kxn }n=0
(k ∈ R)
に関して，実線形空間となる．これを「実数列全体が成す線形空間」ということもある．
例 4.5
V = 集合 D 上で定義された実数値関数全体.
この集合 V は
和： (f + g)(x) = f (x) + g(x),
スカラー倍： (kf )(x) = kf (x)
(k ∈ R)
に関して，実線形空間となる．これを「集合 D 上で定義された実数値関数全体が成す線
形空間」ということもある．
V = 実数の区間 I 上で定義された実数値連続関数全体
も，上記の和，スカラー倍に関して，実線形空間となる．この空間を C(I, R) または C 0 (I, R)
と書く．これを「実数の区間 I 上で定義された実数値連続関数全体が成す線形空間」とい
うこともある．
例 4.6
V = 実係数多項式全体
は，通常の多項式の和，定数倍に関して，実線形空間となる．この空間を P(R) と書く．
これを「実係数多項式全体が成す線形空間」ということもある．
また，n 次以下の多項式の全体も同様に実線形空間となる．この空間を Pn (R) と書く．
これを「n 次以下実係数多項式全体が成す線形空間」ということもある．
3

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