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赤阪 正 純 (httpン ク
漸近線 の ヒ ミツ
漸近線 の ヒ ミツ
(漸 近線 の一般論
上級者向けなのであんまり気 にせ んでよろ しい)
い ままで何 とな く漸近線 を扱 って きましたが,こ こ らで きっち りと漸 近線 の秘密 に追 ってみたい と思い
ます 「漸近線がわか らんJと い う声 をよく間 くのですが,実 際問題 として,IFl近 線 についてあんま り深 く
突 っ込 まれ ることはないので,気 楽 に考 えて ください
入試でもほとんど出題 され ませ んしね
そもそもゼ ンキ ンセンとは一体何なのか ???
y=/(″ )の ″―― ∞ における漸近線がυ=″ ″+π である
=レ をИ
γ
とは ,つ ま り
,
″― ∞ のときにυ=/(″ )が 直線y=π ″+π に近づく
とい うこ と
「近 づ くJと は 「距離 (つ ま り差 )が どん どん縮 まって い くJと い う こ とだ か ら
}=手,ト トM■
・ Oγ
すル
:麟 金Cか が ビた
,
″――∞ のときにυ=/(″ )と υ=π ″+η との差が0に 近づく
と考 え るこ とがで きます
したが って
F転
ま,■ いく、しヽうtヒ o
フタフ伝
,
―>PoinN(漸 近線の定義)
y=/(″ )の
θ
す ド∼
:t牢
″―一 ∞ における漸近線が υ=π ″十πである
←⇒
″+π )}=0が 成立する
li亀 {ノ (″ )一 (π
同 様 に ,″ ―一 ― ∞ に お け る漸 近 線 の 場 合 は ,″ l"%{/(″ )一 (π ″ +π )}=0を 考 え る .
て い うか ,「
●曰
″一
=π ″ +π
(π ″ 十 π)}=0を 満 たす 物 ,π が存 在 す る と き,υ
m{/(″ )一
諄
を
〇〇にお ける υ =ノ (″ )の 漸 近線 であ る と定 義す る」 とい うのが正 しい表現 で
itん θ
ttЙ
ようするに,ュ亀{/(″ )一 (“ ″十π
)}=0 …(※ )を 満たすπ,π を求めればよいわけです
じゃあ,ど うやって求めるのか
具体例 で考 えてみよう
πを 求 め るには ?
π を求 め るには ?
鶴
2π
げ 。 )― ∽ ″十の }=l雲 Z(寺
先 ほど決 まった %を ,(※ )に 代入 して
―
サ)
で あ るので ,″ ―→ ∞ の とき,こ れ が 0に 収 東 す
,
一π ―
l蝿 券
=0な ので,1蝿
すなわち
(平
ク
なんτ∼
,
…①
―π
1=島
)=0
二
π
=l蝿 4字 ″
警
聴77
,
によって722が 確定する.
なぜだかわかるで しようか ?
2-π ―
0以 外 の値 (例
もし 亀
票 (∠ 寧
争 )が
えば αキ 0)に 収束 した とすると
券 )=0
でなければならない (必 要条件 )
?72
を計算す る ことで πを求める ことができる
多 注 ① について
るため に は
l颯 (平
π=1lm{/(″ )一 れ″}
Mら 値 が｀
ま
り
ギま
す
ヽ
、
に
θ
え
″
(平
-221-争
)=l=￡
″
α
この とき,″ ―→ ∞ なので ,lim″ α は +∞ か ―∞
に発散 す る こ とにな り,0に 収東 す る こ とは絶 対 に
あ りえないか らです
だ
か
鱗猪む』
蛾
「→Ъ符
、
うもけ4
t「 :争
t、
ヵ製 夕に
nup五 web fc2.com)
赤阪正純 (htt餞
漸近線 の ヒミツ
回←
¨
“
漸 近線 の 求 め 方 は何 とな くわ か った と思 い ます が ,そ もそ も ,漸 近線 が あ るのか ,な いのか は どの よ うに
く
方
べ
調
の
缶か
有
の
線
近
漸
して 判定 す るので し ようか
Ю 一″
ｍ
ｉ
︲¨
↓
2ヽ
たわ
乙∼ ながっ
残を■ι
″
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ざ(ぅ 一さん な t■ ∼
漸近線 は存在 しない
が存在 しますか ?
yaS
物=1lm」 響≧とおく
絲沼
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在しますか?
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′√ο
、
また ヶ、
わ
さん
″
ユ電
(/(″ )一
翼
↓ yο S
漸近線 は存在 しない
.
ヽ
ヽ
`ずデ率 ∼
お
↓ yο S
π=1lm(ノ (″ )一 π″)と おく
↓ y′ S
ンにtlキ 、い夕ヽ
ウ
イ
｀
メオリサイ判尺ヤη“
ヽ トー
ぐ,セ 幸ま、た
漸 近線 υ =π ″ +η が存 在 す る
ィ
;誠 札iの ?ク
上の流 れに従 えば,漸 近線 の有無 を調 べ ることがで きますが,い ちいちこんな ことす るのは大変です
数
]テ
量
III:]重
='2111こ
し
T::Fか や
3保 晉
8♭
で
い
の
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き
な
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ょ
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定
う
・
`フ
関
墾
.)与 i、
′/
￨
高校段階で登場す る関数 でlll近 線をもつのは,赤 阪の経験上,た いてい次の場合 に限 られる。
+1)次 式 タィ プ
(っ ま り,(分 子 の次数)=(分 母 の 次数)+1と な る
① 分数 関数 υ =(π
場合)は ,軸 に平行 でない漸 近線 をもつ
て, υ =
0″
―
卜g)+型
この とき,(分 子 )■ (分 母)2
と変形す る こ とがで き,
こ
ン
る
と
が
ポ
イ
ト
乳瀧斧=0に な
)″
(1亀
な お ,分 数 関数 y=;努
煙キ
定義域 が ″ キ αの場 合 ,″
②
y=p″ +9が 漸近線 とな る
7ム 7ム
タイ プ (分 母 分子 の 次数 が同 じ)は ″ 軸 に平行 な漸 近線 をも つ
=α
が υ 軸 に平行 な漸 近線 にな る場 合 が 多 い
双 曲線 の上 半 分 また は下 半 分 の 式 (例 えば ,y=V″
入 って い る場合
し
t軟
2_1ゃ
υ =Vノ
+4な ど)カ
、
ぼT夕 Jか 均
甲嘲に
, 、
ルちけ力ゃ
ー
漸近線クイズ】次 の関数 のうち,漸 近線をもつものはどれか 直感 で答 えよ またどんな漸近線 にな
【
るのかも直感で答 えよ
(1)υ
=ラ 子
3,
≒
号
:z
(2)υ =五 ザ
(3)y=″ +71-″
2
(4)υ
=`∂ -2V″ 2__1
tう
ヽ■ソ
ψ●
″
777・ ‐
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