pp. 165-167

一変数非平衡定常状態の揺動散逸定理
Fluctuation-response relation in nonequilibrium Langevin one-variable system
桐蔭横浜大学電子情報工学科吉田清範
Department of Electronics and Information Engineering, Toin University of Yokohama
p(q)≒{1+aLb1(q)}p0(q),
１．序
p0(q)≡e-V0(q)/T/∫0L e-V0(q)/Tdq, a≡|f0|/T,
b1(q)≡∫0L (1/2-x/L)eV0(q±x)/Tdx/∫0LeV0(x)dx,
非平衡定常状態の熱平衡分布はボルツマ
c1≡[Lp0(q)b1(q)], c0≡[p0][1/p0]-1≧0,
ン分布からずれて揺動散逸定理が成り立たな
v0≒γ-1f0(1-aLc1)/(1+c0),
いが[1]，
一変数の場合は分布関数が解析的に
(γ-1f0-v0)v0≒c0v02≧0,
求まり，
どの程度ずれるのかを評価できる
（式
<{F(q)-γv0}2>0 ≒∫0LF02{1+aL(b1-c1)}p0dq.
の導出は容易なので省略）
．
|f0|L >> T, |f0| >> |F0|の時，
p(q)≒1-F0(q)/f0+(F02-TdF0/dq)/f02,
２．一変数非平衡定常状態の分布関数
v0≒γ-1f0{1-[F02]/f02},
(γ-1f0-v0)v0≒γ-2[F02]≧0,
位置 q, 速度 v=dq/dt，
質量 M=0 の粒子が力
<{F(q)-γv0}2>0
F(q), エネルギー換算温度 T の熱浴からの減
≒[F02]+[(TdF0/dq)2-[F02]2]/f02.
衰力 -γv, ランダム力 dB/dt の下で運動す
る時，熱浴への散逸 W は， Stratonovich 型
３．一変数非平衡定常状態の揺動散逸定理
確率微分 X･dY, 伊藤型確率微分 XdY, 定常状
態平均<…>0 に対し，
文献[1]の手法から，微小外力 f1(t)に対す
2
γdq=F(q)dt+dB(t), <{dB(t)} > = 2γTdt.
るγ-1F(q(t))の応答関数 R(t)とγ-1F(q(t))
-1
2
dW=F･dq=γ [{F(q) +TdF/dq}dt+dB],
の相関関数 C(t)の表式が導けて，
<dW/dt>0 =γ[v02+<{γ-1F(q)-v0}2>0
<γ-1F(q(t))>1≒v0+ ∫0t R(t-u)f1(u)du,
-2
-1
+γ T<dF/dq>0], v0≡γ <F(q)>0.
R(t)=γ-2<d{etLF(q)}/dq>0,
F(q)=-dV/dq=f0+F0(q), F0(q)=-dV0/dq, V0(q)
C(t)≡<{γ-1F(q(t))-v0}{γ-1F(q(0))-v0}>0
≧0 の時，v0≠0 なら分解 f0+F0(q)は一意で，
=<{γ-1F(q)-v0}etL{γ-1F(q)-v0}>0,
2
-1
<dW/dt>0 =f0v0 =γ{v0 +(γ f0-v0)v0}.
C(t)+TR(t)=[etL{γ-1F(q)-v0}]v0,
f0=0 の時，ボルツマン分布 p(q)∝e-V(q)/T,
[A(q)]≡∫A(q)dq/∫dq,
v0=0, <dW>0 =0.
L≡γ-1{F(q)Ә/Әq+TӘ2/Әq2}.
f0≠0 の時，非平衡定常分布 p(q)等は
<dW/dt>0 =f0v0 =γ{v02+ <{γ-1F(q)-v0}2>0
∞ {V(q±x)-V(q)}/T
dx, ±は f0 の符号，
p(q)=∫0 e
+γ-2T<dF/dq>0}=γ{v02 +C(0)+TR(0)},
<dW/dt>0 =f0v0 >0.
C(0)+TR(0)=(γ-1f0-v0)v0.
γv0= <F(q)>0 =±T/[p]≠0,
高温極限での揺動散逸定理は熱平衡状態での
<A(q)>0 ≡ ∫A(q)p(q)dq/∫p(q)dq,
C(t)+TR(t)=0 に相当し，非平衡定常状態では
[A(q)]≡∫A(q)dq/∫dq.
零でなくなる[1]．本論文では，そのずれの表
周期 L の力 F(q+L)=F(q)の場合，長さ L の円
式 [etL{γ-1F(q)-v0}]v0 と，|f0|≒0 or ∞ の
周上の定常分布が存在し，
時の t=0 でのずれの近似式を導出し，ずれ
|f0|L << T の時,
C(0)+TR(0)≧0 を示した．なお，質量 M≠0 の
時は速度 v=dq/dt が定義出来て，文献[1]で，
<dW/dt>0 =γ{v02 +Cv(0)-TRv(0)},
Rv(t)=M-1<Ә(etLv)/Әv>0 ,
Cv(t)= <(v-v0)etL(v-v0)>0,
Cv(0)-TRv(0)=2M-1{<M(v-v0)2/2>0-T/2},
L≡vӘ/Әq+M-1{F(q)-γv}Ә/Әv+M-2γT Ә2/Әv2.
熱平衡状態では v0=0, Cv(t)-TRv(t)=0 で，非
平衡定常状態でのずれ Cv(0)-TRv(0)は速度揺
らぎと温度の関係のずれに対応している（非
平衡定常分布の解析的な表式が得られず，ず
れの程度は不明）
．
質量 M=0 の時は速度 v が定
義できないが，
v(t,τ)≡{q(t+τ)-q(t)}/τ,
τ≒0 の時，Cv(t)-TRv(t)≒C(t)+TR(t).
４．時変なマルコフ過程に対する定式化
文献[1]では dθ/dt=1 の確率過程θ(t)を
追加して時変な系を時不変系として扱ってい
るが，素直に時変な系として定式化した方が
見通しがよく簡単でもある．実際，拡散過程
とポアッソン過程が混在するマルコフ過程
x(t)，時刻 s の y から時刻 t の x への遷移確
率密度 p(x,t|y,s)（離散 x なら∫dx≡∑x と解
釈）, 時刻 t の x の相対確率密度 p(x,t)，実
関数空間の内積<f,g> ≡∫f(x)g(x)dx, 演算
子 K,L,G,B,N に対し，
dx(t)=b(x(t),t)dt+A(x(t),t)dB(t),
dBdBT=dt, もしくは，
p(x,t+dt|y,t)≒p(x|y,t)dt: x≠y,
1-∑z≠yp(z|y,t)dt: x=y.
{L(t)dt+dN(t)}f(x)
≡{f(x(t+dt))-f(x(t))}x(t)=x ,
L(t)={b(x,t)+2-1A(x,t)AT(x,t)Ә/Әx}Ә/Әx,
dN(t)={A(x,t)dB(t)}Ә/Әx, もしくは，
L(t)f(x)=∑y {f(y)-f(x)}p(y|x,t),
dN(t)f(x)=∑y {f(y)-f(x)}
*{δy,x(t+dt)|x(t)=x -p(y|x,t)dt}.
G(t,s)f(x)≡f(x(t))x(s)=x ,
G(t,s)=K(t,s)+ +∫st G(u,s)dN(u)K(t,u)+.
K(t,s)f(x)≡∫p(x,t|y,s)f(y)dy,
K(t,s)+ f(y)=∫f(x)p(x,t|y,s)dx,
{ӘK(t,s)/Әt}s=t=L+(t), L の共役演算子 L+,
ӘK(t,s)/Әt=L+(t)K(t,s),
ӘK(t,s)/Әs=-K(t,s)L(s)+.
p(x,t)=K(t,s)p(x,s),
Әp(x,t)/Әt=L+(t)p(x,t),
<f(x(t))> = ∫f(x)p(x,t)dx/ ∫p(x,t)dx,
<f(x(t))g(x(s))> = {∫p(y,s)dy }-1
*∫f(x)g(y)p(x,t|y,s)p(y,s)dxdy
= <{K(t,s)+f(x(s))}g(x(s))>, t≧s.
マルコフ過程 x(t)の中の拡散過程 y(t)に対
してのみ線形応答用の微小外乱 b1(t)を加え
る時，その下での平均<…>1，行列 A の転置行
列 AT, 任意の実関数 f(x)に対し，
dy(t)=b(x(t),t)dt
+A(x(t),t){dB(t)+b1(t)dt},
<f(x(t))>1≒<f(x(t))>
+ ∫st R(t,u)b1(u)du,
R(t,s)≡
<A(x(s),s)T{Ә/Әy(s)}K(t,s)+f(x(s))>
= <f(x(t))dB/ds>, t≧s.
C(t,s)≡<⊿f(x(t))⊿f(x(s))>
= <{K(t,s)+⊿f(x(s))}⊿f(x(s))>,
⊿f≡f-<f>.
証明は文献[1]と同様に行える．
参考文献
[1] T. Harada and S.-I. Sasa:
"Energy dissipation and violation
of the fluctuation-response relation
in nonequilibrium Langevin systems",
Phys. Rev. E 73, 026131 (2006).

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