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IS5 ディジタル制御
（9回目）
使用教室：IS5教室
担当教員：熊谷（和）
資料サイト：仙台高専熊谷研究室
（http://hirose.sendai-nct.ac.jp/~ckuma/）
IS5ディジタル制御
Information System Engineering Dept. SNCT
2
4.2 周波数特性の表現
◆周波数特性の表現方法
①ベクトル軌跡（ナイキスト線図）
複素平面において，周波数伝達関数の絶対値（ゲイン）と偏角（位
相）をベクトルの長さと角度として，ベクトル先端の軌跡を描いたも
の
②ボード線図
横軸に角周波数w（対数目盛），縦軸にゲイン（デシベル表示）と
位相をとり，それぞれの関係を描いたもの
それぞれ，ゲイン特性，位相特性とよぶ
③ニコルス線図(p.88)
一巡伝達関数（開ループ伝達関数）のゲインを縦軸，位相を横軸
にとったゲイン－位相線図上に閉ループ伝達関数のゲインと位相
が一定値となる軌跡を描いたもの
この線図を用いると，開ループ周波数応答から閉ループ周波数応
答を求めることができる
今はあまり使われていない
IS5ディジタル制御
Information System Engineering Dept. SNCT
◆ボード線図
3
• 縦軸
ゲイン : Gg (w )  20 log10 G ( jw )
位相 : G p (w )  G ( jw )
• 特徴
① 横軸が対数目盛なので，表される範囲が広く，見やすい
② 制御系の伝達関数は要素の積で表されるので，ボード線図上で
加算により求められる
IS5ディジタル制御
Information System Engineering Dept. SNCT
◆各要素の周波数特性1
4
（1）1次遅れ要素
K
G ( jw ) 
1  jwT
ⅰ．ベクトル軌跡
Re G ( jw ) 
K
1w T
2
2
,
 KwT
Im G ( jw ) 
1  w 2T 2
wTをパラメータとして使用
ReG(jw)をX，ImG(jw)をYとして，両式からをwTを消去すると
X 2  Y 2  KX 
 X  K / 22  Y 2  K 2 / 4
これは，（K/2，0）を中心，半径K/2の円の方程式である
w ≧0なので，常にY <0であるから，ベクトル軌跡は下半分の半
円になる
IS5ディジタル制御
Information System Engineering Dept. SNCT
◆各要素の周波数特性1 （1）1次遅れ要素（その2）
5
ベクトル軌跡
ImG(jw) wT→∞
wT=0
K/2
K
ReG(jw)
0
-K/2
IS5ディジタル制御
w
Information System Engineering Dept. SNCT
◆各要素の周波数特性1 （1）1次遅れ要素（その3）
6
ⅱ．ボード線図
Gg (w )  20 log10
K
1  w 2T 2
,
G p (w )   tan 1 wT
・ゲイン
G (w)
G (w)
 20 log10 K
：一定値の直線
 20 log10 ( K / wT )  20 log10 K  20 log10 wT ：w10倍で20ｄB減の
g
wT  
直線
2つの漸近線の交点はwT=1
折点周波数（折れ点周波数）wc=1/T
折点周波数でのゲイン： 20 log10 1 / 2 ≒-3 [dB]
g
wT  0
・位相
G (w)
p
wT 0
IS5ディジタル制御
 0,
G (w)
p
wT 1
 45,
G (w)
p
wT 
 90
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◆各要素の周波数特性1 （1）1次遅れ要素（その4）
7
ボード線図
20
wc=1/T
-3dB
0
-20
Gg
-20
Gp
-40
-60
位相 [°]
ゲイン [dB]
20log10K
0
-80
-40
-100
-60
0.01
IS5ディジタル制御
0.1
1
wT
10
100
Information System Engineering Dept. SNCT
◆各要素の周波数特性1 （1）1次遅れ要素（その5）
ⅲ．制御器ゲインとの関係
例：位置制御系
制御器
操作器
位置指令＋位置偏差 K 操作量 1
－
G( s) 
1
1 s / Kp
p
8
1/s
機械位置
K v K A KT / J
1
s  KTG K v K A KT / J
K v K A KT / J : 大
先の式と比較して
K  1,
T  1/ K p
（K≠1だと指定位置に来ない！）
ゆえに折点周波数は
wc=1/T=Kp
※ポジションゲインが折点周波数となる
（時定数に関係する変数なのに「ゲイン」なのは後章で）
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◆各要素の周波数特性2
9
（2）2次遅れ要素
Kwn
G ( jw ) 
2
( jw )2  2 ( jw )wn  wn
2
ⅰ．ベクトル軌跡
  w 2 
K 1    
  wn  
Re G ( jw ) 
2 2
2
  w   

w




1


2

    
  wn    wn 
ImG ( jw ) 
IS5ディジタル制御
w
2 K
wn
2
2
  w 2  
w




1


2

    
  wn    wn 
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◆各要素の周波数特性2 （2）2次遅れ要素（その2）
10
ベクトル軌跡
ImG(jw) w/wn→∞
0
w/wn=0
K
ReG(jw)
 大
↑
w
↓
 小
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◆各要素の周波数特性2 （2）2次遅れ要素（その3）
11
ⅱ．ボード線図
Gg (w )  20 log10
2
K
  w 
1   
  wn 
2
2
 
w



2

 
  wn 
,
G p (w )   tan 1
2
w
wn
w
1   
 wn 
2
・ゲイン
G (w)
G (w)
G (w)
g
w / wn 0
 20 log10 K
g
w / wn 
 20 log10 K  40 log10 w / wn
g
w / wn 1
 20 log10 K  20 log10 2
・位相
G (w)
p
w / wn  0
IS5ディジタル制御
 0,
G (w)
p
w / w n 1
 90,
：一定値の直線
：w10倍で40ｄB減の直線
： の値でゲインの値が変化
G (w)
p
w / wn  
 180
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◆各要素の周波数特性2 （2）2次遅れ要素（その4）
ボード線図
12
 小
↑
40
0
-40
Gg
-40
Gp
-120
 小←
-80
-80
位相 [°]
ゲイン [dB]
20log10K
0
-160
-200
-120
0.01
IS5ディジタル制御
0.1
1
w/wn
10
100
Information System Engineering Dept. SNCT
◆各要素の周波数特性2 （2）2次遅れ要素（その5）
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ⅲ．共振
w =wn付近において，  1 / 2 の場合にピークを生じる
ピークを生じる周波数を共振周波数とよぶ
IS5ディジタル制御
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◆各要素の周波数特性3
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（3）むだ時間要素
G ( jw )  Ke  jwL
ⅰ．ベクトル軌跡
Re G ( jw )  K cos wL,
Im G ( jw )   K sin wL
これは半径Kの円軌跡
ImG(jw)
wL=3p/2
K
wL=0
wL=p
-K
0
-K
wL=p/2
IS5ディジタル制御
K
ReG(jw)
w
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◆各要素の周波数特性1 （3）むだ時間要素（その2）
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ⅱ．ボード線図
Gg (w )  20 log10 K ,
G p (w )  wL
20
Gg
0
-60
Gp
-20
-120
-180
位相 [°]
ゲイン [dB]
20log10K
0
-240
-40
-300
-60
0.01
IS5ディジタル制御
0.1
1
wL
10
-360
100
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◆各要素の周波数特性4
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（4）積分要素
G ( jw )  1 / jwT
ⅰ．ボード線図
Gg (w )  20 log10 wT ,
G p (w )  90
0
0
Gg
-20
-20
-40
-60
-80
Gp
-40
位相 [°]
ゲイン [dB]
20
-100
-60
0.01
IS5ディジタル制御
0.1
1
wT
10
100
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◆各要素の周波数特性5
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（5）微分要素
G ( jw )  jwT
ⅰ．ボード線図
Gg (w )  20 log10 wT ,
G p (w )  90
60
Gp
40
80
60
20
40
Gg
20
0
-20
0.01
IS5ディジタル制御
位相 [°]
ゲイン [dB]
100
0
0.1
1
wT
10
100
Information System Engineering Dept. SNCT
◆各要素の周波数特性6
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（4）1次進み要素
G ( jw )  1  jwT
ⅰ．ボード線図
Gg (w )  20 log10 1  w 2T 2 ,
G p (w )  tan 1 wT
60
40
80
60
Gp
20
Gg
40
20
0
-20
0.01
IS5ディジタル制御
位相 [°]
ゲイン [dB]
100
0
0.1
1
wT
10
100
Information System Engineering Dept. SNCT
○練習問題5
19
以下の問いに答えよ．
①比例要素のベクトル軌跡とボード線図を描け．
②積分要素のベクトル軌跡を描け．
③微分要素のベクトル軌跡を描け．
④1次進み要素のベクトル軌跡を描け．
⑤1次微分要素のベクトル軌跡とボード線図を描け．
Ts
G( s) 
1  Ts
IS5ディジタル制御
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