BASED ON WORK WITH KENICHI KONISHI (UNIV. OF PISA) [0909.3781 TO APPEAR IN NPB] Confinement のメカニズムとして広く受け入れられている説明 は、dual Meissener effect である マグネティックなチャージを持つ場がコンデンスするために、エ レクトリックなチャージを持つ場は、単独で存在できなくなる 超対称性がある場合、dual Meissener effectに関して、定量的 な扱いが可能となることがある 1) Perturbed SU(N) Seiberg‐WiRen theory : [ SEIBERG‐WITTEN `94, DOUGLAS‐SHENKER `96] 2) SU(N) with Flavors at Higgs Branch root: [ CARLINO‐KONISHI‐KUMAR‐MURAYAMA `01] 3) Pouliot‐Type duality [ STRASSLER `98] Q: 実際のQCDには超対称性はないが、なぜこうしたモデルをま じめに考えるのか？ A: confinementのメカニズム自体は、SUSYがあろうが無かろう が同様のメカニズムで起こると期待される。したがって、定量的 扱いが可能なSUSY理論を通して、多くの教訓を得る事ができる SU(N) 理論のconfinement はどのようなモノポールのコンデン セーションによって引き起こされているのか？abelian monopoleなのか、それともnon‐abelian monopoleなのか？ コンファインメントが起こるスケールあるいは、それより高いス ケールでHiggsingが起こるとすると、コンファインメントは起こる のか？ モノポールがコンデンスするとき、 理論はコン ファインするのだろうか？ [トフーフトのAbelianizacon `80] 1) N=1 Pure Yang‐Mills Theories Review of SUSY vacua GNO duality Wilson‐`tHoof loop `tHoofのclassificacon WiRen effect 2) N=1 SYM with a Higgs field 問題のset up electric/magnecc screening Confinement index 3) Conclusion 4D N=1 pure Yang‐Mills の真空はdual coxeter number の数だ けある theta angle を2 pi シフトさせると隣の真空に移る 低エネルギー有効理論はグルーボール場 で記述され、ベネ チアーノ・ヤンキロビッチポテンシャルで与えられる 各真空で confinement がおこっているとされているが、一体コ ンデンスしているマグネティックチャージは何なのか？ 各真空でのWilson‐`tHoof Loopの振る舞いは? [ GODDARD‐NUYTS‐OLIVE `77] Nonabelian monopole とそれに関するelectric/magnecc duality GNO claim 1 : この は のデュアル群のウェイトベクターである ノンアーベリアンモノポールはこのデュアル群の表現をなす 各表現の weight vector の集合を weight lajce という adjoint 表現のweight vector を root vector と呼ばれる GNO claim 2 : Quanczacon condiconは以下のようにweight vectorで書く事ができる Hの root vector v H の weight vector Pure Yang‐Mills 注）理論にadjoint場以外が含まれるときには、Hも対応する weight vectorを考える必要がある electric adjoint rep. magnecc fundamental rep. symmetric tensor rep. anc‐symmetric tensor rep. … non‐abelian monopole が属する群及び許される表現を 与える記述をGNO dualという プローブを入れて真空を測る。具体的には、Wilson‐`tHoof loopを入れてその振る舞いをみたい fundamental rep. のプローブを、例えばpure YM理論に入 れるとどうなるか？ Pure SYMにはgaugino, gluonがいるので、それらが集まり チャージを中和しようとする adjoint 表現は群のセンターのチャージを持たないので、すべて を中和する事はできない 表現Rといっても意味がなく、区別できるのはcenterのチャージ だけである。SU(N)センターは である(N‐ality) 各既約表現のN‐alityを知りたければ、以下の関係が便利 Wilson loopも同様にN‐alityで分類される N‐alityのみ着目するので、既約表現のウィルソンループを、 テンソル表現のウィルソンループと考えても振る舞いは同じ Weight vectorの言葉で言うと、up to Root vectorで同値類を考 える事に相当 v GNOのnonabelian monopoleはデュアル群H のweight vector で記述される magnecc groupに関しても同様の同値類を考えることができる Pure YMのWilson‐tHoof Loopは以下のクラス分けになる Massive vacuaにおけるチャージのコンデンセーションは既に分 類がなされている [ THOOFT `78 : DONAGI‐WITTEN `95] を例に説明する チャージをラベル “異種”のチャージ”同種”のチャージを議論するためにskew form を定義する mutually local mutually non‐local トフーフトの主張 1 : (a,b) というチャージがコンデンスしている 場合、これとmutually non‐localなチャージはすべてconfineされ る トフーフトの主張 2 : 2つのチャージx,yが同時にコンデンスする とき、これらはmutually local でなければならい トフーフトの主張 3 : 真空がmassiveならば、同時にコンデンス しているチャージは、つぎのようなsubgroupでなければならない 例えばどんなものがあるのか？ Nが素数のとき : confining oblique confining Higgs Nが素数でないとき : 上のN+1個の他に約数に対応して他の真空もある。例えば N=6のとき、一つの例として Mixed electric/magcc chargeとしてweight vectorを考える theta angleを 動かすと、magnecc chargeがあるので、WiRen effectにより、electric chargeがgenerateされる [ KAPUSTIN `05] Simply laced と non‐simply lacedで話が違う Simply lacedの場合 がデュアル群の基本表現ならば もelectricな群の基本表現 Non‐Simply lacedの場合 最も基本的なモノポールはデュアル群のスピナー表現である Nが奇数のとき Nが偶数のとき のとき のとき Higgs場を導入しゲージ群を破る ほとんどの物質場がmassiveになりIntegrate outされる したがって、このスケールの理論はゲージ群がproduct群のpure SYMになってる これらは、既に議論したように低エネルギーでconfineされる。各セク ターはdual coxeter numberの数だけ真空が存在するので、大きな群 の真空はそれらを一つずつ取ってくる事で指定できる 大きい群のWilson Loopの振る舞いは？それを知るには基本表 現の分解を知る必要がある もしk個掛け合わせたものに のsingletが入っている場合に は、そのウィルソンループ はArea lawを示さない Higgsingにより生じるelectric screening ゲージ群が破れるので、それにともなう新たなノンアーベリアン モノポールからの寄与を考える必要がある。モノポールはマグ ネティックチャージしか持っていないが、大きな群のWilson Loop をスクリーンすることができる 生成されたモノポールもGNOモノポールの一種であり、デュアル 群の表現をなす その表現に対応するweight vectorが属するような、トフーフト ループはこのモノポールがスクリーンできる 例 生成されるモノポールは 表現をなす。したがって このモノポールでスクリーンされるトフーフトループは これをつかうと の真空で、このウィルソンループもArea lawをしめさないこと がわかる electric screeningの方も考えておくと、 SU(Ni)のイプシロンテンソルより、N1, N2個基本表現を掛け合わ せた表現にsingletが入っていることがわかる。したがって これらもArea lawを示さない。結局electric/magnecc screeningを 考慮したあとでArea lawを示さないWilson Loopのベキは、 この数のGreatest Common divisorをtと表しConfinement Indexと よぶことにする Area Area Areaでない Area これからわかる事は、真空の選び方と、ブレイキングパターンによっ て変わる量 ノントリビアルなチェック：大きい群のtheta angleをかえたとき、index は同じであるべき どれだけずれるかは、Dynkin index of embeddingで与えられる 大きい群についてのtHoof Loopに関してもdual groupの分解を考え ることで議論できる 大きい群についてのtHoof Loopに関してもdual groupの分解を考え ることで議論できる これにより大きな群でとのチャージがコンデンスしているかがわかる でexternal chargeは分類される 分解にsingletが含まれていないさらに、この対称性の破れでは モノポールは生成されないので、magnecc screeningはおこらな い。したがって はArea lawを示し、confinement indexは2 である 基本表現の分解 singlet が含まれていないので、electric screeningを考える限り ウィルソンループはAreaである 一方、この対称性の破れで生成されるモノポールは、デュアル群 の基本表現をなすので、それがスクリーンするトフーフト ループは [ AUZZI‐BOLOGNESI‐EVSLIN‐KONISHI‐MURAYAMA `04] Area lawを示さない SU(N)のイプシロンテンソルをつかうN個掛け合わせたもの にもsingletがいるので、 Area lawを示さない 結局confinement indexは Nontrivial な r依存性があるので、これが正しいものかをチェック するために、大きな群のtheta angleを 動かしてみる U(N)をUSpにうめこむときのDynkin index of embeddingは２なの で、この変換でU(N)の theta angleは うごく この変換でconfinement index は不変である 多くのクラスのN=1の超対称性を保つ真空におけるWilson‐`tHoof Loopの振る舞いを明らかにした トフーフトの真空の分類の立場から、confinement index tの真空を理 解した： order tのsubgroupを一つ選ぶ事が、confinement index tの真空 を一つ指定することに対応 大きな群Gの立場でコンデンスしているモノポールチャージを決定する 方法を示し、theta angleのシフトとの整合性、SW理論との整合性をチェッ クした 超対称性がない理論に対してのWilson‐`t Hoof loopの振る舞いは? ラティス計算と比較する事はできるだろうか？ 一般化された小西アノマリー方程式の立場でWilson‐t Hoof loopは どう理解されるのか？ [ ASHOK‐CACHAZO‐DELL’AQUILLA `06] 他のオーダーパラメータは何かないのだろうか？各ブランチ特有の 性質をみつけられないだろうか？ 各ブランチのある特別な点では、ガロア群を考える事ができる。いく つかの点はガロア群の作用で結びつく。オーダーパラメータすべて ガロア不変量なのではないか？ これに関するさらなる発展 Work in Progress with PI friends 話をもとに戻すと、 我々のモチベーションは、ランドスケープ的 複雑化の美学に基づき、 スケール を理論に導入しHiggsを起こさせてより一般的な状況にし、 そこから得られるレッスンを考える SUSY vacuaについての２つの理由： 最近のSUSY breaking vacuaの研究から、概して、コントロールできる SUSY breaking vacuaというのは、SUSY を保つ真空をわずかに摂動 する事で得られる、ことを学んだ。したがって、SUSY breaking vacua での物理を知るには、摂動を加える前の真空に関してよく知る必要 がある もうひとつの理由は、indexはプロテクトされていることである。明ら かに、理論のパラメータをかえても変わらない量なので、よく知って いる様々なdescripcon例えば、SW, Konishi Anomaly, Seiberg‐dualな どを使って、consistency checkができる Perimeter law Area law Perimeter law Area law Perimeter law Area law 各真空でconfinementがおこっていても、必ずしも大きなゲージ群で見た ときにconfinementはおこらない。ではWilson‐tHoof Loopの振る舞いは どうなるのか？ QCDの閉じ込めはsubgroup のconfinement により引き 起こされているのか？これに対する教訓を得たい もうひとつの強いモチベーションは、Landscape of field theoriesから くる。ストリングランドスケープの観点からすると、ストリングで実現で きる場の理論の集合というのを考えるのは意味がある。たとえば、こ となるsuperpotencalをもつ理論の集合を考える事もできる 普通は、 を持つ理論の真空と別の値 を持つ理論の真 空を比較したりはしない。しかし、ランドスケープ的な立場ではこれに 意味がある 理論の集合がクラス分けされる。ではこれらを分類するオーダーパ ラメータは何か？ Wilson‐tHoof Loopあるいは、confinement indexはひとつの重要な オーダーパラメータであることが、SU(N) with adjoint場の理論に限っ て議論されている [ CACHAZO‐SEIBERG‐WITTEN`03 ] より大きな理論のランドスケープを考えるには、一般的な群、一般的 なブレイキングパターンにおけるconfinement indexを知る必要があ る。これはopen problemとして残っていた (今日のtalk) 基本表現のブランチングルールに基本表現が含まれているので、 ただちに、confinement indexは1であると結論できる。 結果のみを書くと
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