2015 年 12 月 9 日 (水) No.1 [email protected] 線形代数学・同演習 B 講義資料 9 お知らせ • おわび レポート課題：問題 C に一部採点ミスがありました．御心配をおかけしました． 4056∗ , 4089∗ , 5052, 5055, 5063, 5071, 5073 以上が学籍番号下 4 桁の方には 0.5 点を追加しています．これによって，右上に ∗ マークが付 いている方は得点が 1 点増えています（演習問題 7 の答案に記載しています）． • 来週は 中間試験 です．皆様の健闘を，かげながら応援しております． なお，試験を行う教室は センター 1 号館・1402 室 です．講義の教室とは棟・場所が異なり ますので，十分にご注意ください． • 持ち込み用紙を受け取っていない方は，横山まで取りに来てください． • 本日は講義（前回までの積み残し）終了後 11:45 まで 演習（自習）の時間 とします．質問は 随時受け付けますので，横山までお申し出ください．なお，11:45 までの（線形代数に関係の ない）私語や途中退室は認めません． • 横山は出張のため，明日から 12/17（木）午前中まで大学に不在の予定です（そのため，12/16 の試験監督は別の先生にお願いしています）．試験前の質問などがございましたら，横山まで メイル（右上に記載）にてお知らせください1 ．御不便をおかけします． • 皆さんと次回お会いするのは年明けの 1/13（水）です．ちょっと早いですが，どうぞ良いお年 をお迎えください．(ˆˆ)/ 演習問題 7 へのコメント • 答案の右上に青字で書かれている数字が，演習問題（7 回分＋レポート課題で計 20 点満点）の 合計得点です．計算ミス等がありましたら 試験前日：12/15（火） までに，横山までメイル （右上に記載）にてお知らせください． • 皆さんの答案は，本科目の成績が確定するまでバックアップ・スキャナで取り込んであります． 答案を紛失したなどのトラブルがございましたら，お気軽に横山までお知らせください． • 採点について： 固有多項式が求まっていれば 1 点，答えが正しければ 1 点．ほんの少しのミス などはおまけしていることがあります． • t10 を gA (t) で地道に割っても求まりますが，高校数学で学んだ「因数定理」を使うとかなり 楽が出来ます（というか，これを使わないと A100 の場合などはほぼ無理です）．割り算の商 が具体的に求まらなくても，A の固有値 λ に対して gA (λ) = 0 ですから，ヒントで与えた関係 式を使えばすぐに求まります． 1 なお，横山はどんなに忙しくても 24 時間以内（なるべく 10 時間以内）にはメイルを返すようにしています．24 時間を 過ぎてもレスポンスがない場合，それはメイルが届いていない（スパムメイルと判断されたりしている）可能性が高いので， 別のアカウント等から連絡を試みてください．とくに，スマートフォンからのメイルなどは届きにくいかもしれません．九大 が発行しているメイルアカウントがおすすめです． 1 前回の補足（固有値が複素数となる場合について） 前回の最初に，行列の固有値が複素数となる場合について補足しました．欠席した方もいらっしゃい ますので，簡単に書いておきます． • 教科書 p.110 後半にある通り，固有値が複素数の場合であっても，実数の場合と同様の事実が 成り立ちます． • とくに，固有値というのは固有多項式 gA (t) = 0 の解として得られたのでした．即ち固有値と は，R 上の場合は gA (t) = 0 の相異なる実数解すべて，C 上の場合は gA (t) = 0 の相異なる複 素数解すべて，ということになります． • 例えば gA (t) = t3 − 2t2 + 3t − 6 = (t − 2)(t2 + 3) となっているとき，R 上の対角化を考えて いるならば，固有値は λ = 2 のみとなります（t2 + 3 = 0 は実数解をもたない）．一方，C 上 の対角化を考えているならば，固有値は λ1 = 2, λ2 = √ √ 3i, λ3 = − 3i の 3 つとなるわけです（但し i は虚数単位）．ここで重要なのは λ3 = λ2 （λ3 は λ2 の複素共 役）となっている点で，一次方程式 gA (t) = 0 の複素数解がひとつあったとき，その複素共役 もまた gA (t) = 0 の解であることを用いています（これは高校数学でも学ぶと思います）． • というわけで，例えば次のような問題を考えてみましょう： 3 次正方行列 P は，固有値として 1 および √ −1+ 3i 2 をもつ（但し i は虚数単位）． このとき P の固有値を全て求めなさい． このような場合，答えは「1, √ √ −1+ 3i −1− 3i , 」となるわけです．P 2 2 は 3 次正方行列ですから， 相異なる固有値も高々3 個というわけです． 中間試験に関するヒント 学習の助けになるかもしれませんので，少しだけ出題傾向を明かしておきます． • 問題 A ベクトル空間の元の足し算やスカラ倍など基本的な事柄を問いますが，通常の足し 算やスカラ倍とは全く異なる定義 が与えられていることに気を付けてください．例えばここで 考えているベクトル空間においては 1 + 1 = 2 が成り立ちません．実はこの問題は全く難しく ありませんが， 「足し算はこう定義する」「スカラ倍はこう定義する」という問題文の指示をよ く読まないと得点出来ないかもしれません． • 問題 B 行列の 対角化 を出題します．固有多項式，固有値と固有空間，対角化に必要な行 列 P とその逆行列 P −1 の計算を何度も練習しておいてください．ここで得点を失うと致命的 です． • 問題 C 線形写像の核と像，およびその基底を計算してもらう問題です．これもしっかり復習 しておけば簡単に満点がとれる問題ですから，点数を稼げるようにしておきましょう．まずは 核・像の定義をしっかりとおさえておきたいところです． • 問題 D 変数を含むベクトルの一次独立性・一次従属性を問う問題です．これまでの課題の中 では，レポート問題 A が一番近いかもしれません．一次独立性・一次従属性の判定には 2 種類 方法があるという話をしましたし，変数を含む場合はどちらがやりやすいかという話もしまし た．これまでの講義資料をちゃんと読んでいれば気付けると思います． 2 2015 年 12 月 9 日 (水) No.2 [email protected] • 問題 E 高得点をとるため（差をつけるため）の問題です．一見難しそうに見えますが，問題 文をよく読んで誘導に従えば，それほど難しくはありません．とはいっても，線形写像の核と 像，ベクトル空間の和空間や共通部分など，これまでに学んだ知識をふんだんに使っています ので，計算問題よりも少しレベルは高いかもしれません． • 総じて いかに計算問題をてきぱきと・正確に解けるか に尽きます．あせらずに，落ち着いて 臨んでください． 今日の内容 • 前回の積み残し（Gram-Schmidt の直交化法の残り）． • 中間試験に関するヒント． • 演習（自習）の時間． 3
© Copyright 2024 ExpyDoc
