x - FC2

CCD面への投影
CCD面を z = -1 の平面とする
座標系で考える
(X,Y,Z)
Z : 視線ベクトル
金星 (球)
光が集まる点=原点
O
X
-1
(-X/Z,-Y/Z)
Xccd
CCD面
Y
Yccd
North Azimuthについて
北極
名称変更
視線ベクトル
N
金星中心
(球の中心)
N
Xccd
North Azimuth
CCD面
Yccd
CCD基準座標から見た
Nについて
北極
視線ベクトル
Lc
N
金星中心
(球の中心)
O から金星中心へ向かう
単位ベクトル
π/2+φsc
N
N = (cosEcosNA, cosEsinNA, sinE)
Lc
O
拘束条件 :
Sub Spacecraft Latitude = φsc
E
N・Lc = cos(π/2+φsc)
X
NA
Y
( Lc ≡ (Xc,Yc,Zc) )
楕円フィッティング
から求まる
未知数E,NAに対して拘束条件は1つ
SPICEの情報に頼る？
楕円中心 (x0,y0)
CCD基準座標から見た
Lcについて
CCD面
Z:視線ベクトル
Y
Lc
tanθ2
tanφ
θ2
tanθ1
Lc
θ1
λ
X
φ
長軸方向
a : 長軸半径
tanθ1 = r – a
tanθ2 = r + a
r = √(x02+y02)
φ = (θ1 + θ2 )/2
λ = atan(y0/x0) or 楕円の傾き
λc = λ + π
φc = π/2 – φ として
楕円フィッティングから求める
Lc = (cosφccosλc, cosφcsinλc, sinφc)
CCD基準座標から見た
金星表面上の座標について
北極
E0をNとLcと同一平面上に取ると
E1 = Lc × N / cosφsc
N
E0 = E1 × N
E0
E1
金星中心
(球の中心)
Lc
金星球上の座標：
金星中心座標を(Vx,Vy,Vz)とした時、
緯度φ・経度λに相当する座標(x,y,z)は
E0 が経度0°を指すとして
Vx
x
y
= RvcosφcosλE0 + Rvcosφsinλ E1 + Rvsinφ N +
Vz
z
E0 が経度λ0を指す時は
λ → λ-λ0 と置き換え
Vy
-x/z
CCD面上では
-y/z
に投影される
CCDに投影される緯度経度の様子
緯度線は10°毎、経度線は15°毎
D(金星-衛星) = 5 RVenus
North Azimuth = 90 °
Sub Spacecraft Latitude = 0°
Sub Spacecraft Longitude = 0°
・視線ベクトルが金星中心を通らない例
tan(Δθ)
tan(Δθ)
・視線ベクトルが金星中心を通る
tan(Δθ)
tan(Δθ)
円の中心= (0,0)
円の半径 = 0.2041
楕円の中心 = (-0.5,0.5)
長軸半径 = 0.3
+：衛星直下点 ◇：楕円(円)の中心 ×：原点(視野中心)
CCDに投影される緯度経度の様子
緯度線は10°毎、経度線は15°毎
D(金星-衛星) = 5 RVenus
North Azimuth = 90 °
Sub Spacecraft Latitude = 60°
Sub Spacecraft Longitude = 0°
・視線ベクトルが金星中心を通らない例
tan(Δθ)
tan(Δθ)
・視線ベクトルが金星中心を通る
tan(Δθ)
tan(Δθ)
円の中心= (0,0)
円の半径 = 0.2041
楕円の中心 = (-0.5,0.5)
長軸半径 = 0.3
+：衛星直下点 ◇：楕円(円)の中心 ×：原点(視野中心)
楕円の最小二乗フィッティング
http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-20.html より
上図のように
楕円の中心を（Ｘ０，Ｙ０）
Ｘ軸方向の長さをａ
Ｙ軸方向の長さをｂ
楕円の傾きをθ
としたときの一般式は
となります。
(この一般式の作成方法はグラフ（関数）の拡大縮小、平行移動のページを参照下さい。)
この式を展開し、Xi、Yiに関して整理すると、
この式を展開し、Xi、Yiに関して整理すると、
楕円の最小二乗フィッティング
http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-20.html より
となり、右辺の１を左辺に移項して未知数部分を変数で置き換えると
としたくなりますが、これだと全ての項に変数がかかっているため、変数Ａ∼Ｆの定数倍の
組み合わせができてしまい、Ａ∼Ｆの解が不定になってしまうので、式全体をＡ∼Ｆの
どれかの値で割ると変数を１つ減らす事ができ、
と置きます。
この式の２乗の和が最小になるよにＡ∼Ｅの値を決めればいいので、
の式をＡ∼Ｅで偏微分し、行列で現すと
楕円の最小二乗フィッティング
Ａ∼Ｅを求めるために両辺に逆行列を掛け合わせると
http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-20.html より
となり、未知数Ａ∼Ｅを求める事ができます。
ここから先の計算が複雑で自信の無い部分なので、自己責任で参照願います。
Ａ∼Ｅの値を元に本来求めるべき楕円の中心、傾き、長軸、短軸の長さは
中心の座標（Ｘ０，Ｙ０）
楕円の傾きθ
Ｘ軸方向の長さａ、Ｙ軸方向の長さｂ
となります。
与えた値
(x,y) = (256,256)
(a,b) = (128,102.4)
楕円フィッティングの様子
テスト画像 (赤枠はフィッティング結果)
青線：長軸
黄線：短軸
θ = -30°
Y [pixel]
残差
Residual [pixel]
計算結果
Center of Ellipse : x0,y0
= (255.92966 , 256.05099)
Long axis, Short axis : a,b = (127.89121 , 102.33278)
Theta : -30.069228 ←楕円の傾き
与えた値
(x,y) = (256,256)
(a,b) = (128,124.8)
楕円フィッティングの様子
テスト画像 (赤枠はフィッティング結果)
青線：長軸
黄線：短軸
θ = -30°
Y [pixel]
残差
Residual [pixel]
計算結果
Center of Ellipse : x0,y0
= (255.97796 , 256.05144)
Long axis, Short axis : a,b = (127.9341 , 124.83187)
Theta : -30.310308 ←楕円の傾き
与えた値
(x,y) = (256,256)
(a,b) = (128,127.681)
楕円フィッティングの様子
テスト画像 (赤枠はフィッティング結果)
青線：長軸
黄線：短軸
θ = -30°
Y [pixel]
残差
Residual [pixel]
計算結果
Center of Ellipse : x0,y0
= (255.99644 , 256.05158)
Long axis, Short axis : a,b = (127.9541 , 127.64303)
Theta : -31.703951 ←楕円の傾き
楕円フィッティングの様子
楕円
青線：長軸
黄線：短軸
円
楕円フィッティングの様子
青線：長軸
黄線：短軸

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