定常電流・電荷密度による磁場 磁場の空間的な性質を見いだす アンペールの法則 電磁気 11 Kano 1 磁場の空間的性質 C C’ C’ C” 直線電流の 周囲の磁場を 線積分 B dr 電流を 囲む： 電流を 囲まない： v∫ B ( r ') ⋅ dr ' = v∫ B ( R ) dr ' = μ0 I 2π R = μ 0 I 2π R v∫ B ⋅ dr ' = ∫ B ⋅ dr ' + C C 半径方向 R1 → R2 C' = ∫ 弧R2 電磁気 11 ∫ B ⋅ dr ' + 弧R2 ∫ 半径方向 R2 → R1 B ⋅ dr ' + ∫ B ⋅ dr ' 弧R1 μ0 I μ0 I B ⋅ dr ' + ∫ B ⋅ dr ' = θ R2 − θ R1 = 0 4π R2 4π R1 弧R 1 Kano 2 直線電流と任意の経路 電流と平行に移動するとき 磁場と変位が直交するので この部分の線積分が０になる 電流を囲まない 電流を囲む 電磁気 11 Kano 3 複数の直線電流 任意の積分経路 磁場の線積分の値は 積分路が囲む電流の和 に比例する I2 I3 I4 I1 N B ⋅ d r ' = μ I ∑ i 0 v∫ C 電磁気 11 C i =1 Kano 4 Ｑ．直線電流による磁場 （このＵＲＬへジャンプし項目６－３をクリックしてください） ６－３ [状況] アニメーションには三本の直線電流の断面が示してあり，これらに 未知の電流が流れている。画面内をダブルクリックするとその位置を通 る磁力線を描くことができる。電流をクリック・ドラッグすれば位置が変わ る。 [質問] どの電線を流れる電流が画面から手前に出る向きだろうか。 [答え] １と３ 電磁気 11 Kano 5 Ｑ．アンペールの法則 （このＵＲＬへジャンプし項目６－５をクリックしてください） ６－５ [状況] 画面の中央に画面と垂直な電流が流れている（青丸）。 画面内で，位置はマウスをクリックすれば測定できる（単位 はm）。電流をまわる閉じたループ（Ａ，Ｂの２つを選択できる し，場所を移動できる）にそって磁場の線積分を行った結果 が示されていて，その単位は10-10T・mである。 [質問] 電流の値を求めよ。 [答え] -1x10-3A 電磁気 11 Kano 6 Ｑ．アンペールの法則（１） （このＵＲＬへジャンプし項目 追加３ をクリックしてください） [状況] 未知の大きさの直線電流が2本ある（赤丸と青丸）。 画面内で，位置はマウスをクリックすれば測定できる（単位 はm）。電流をまわる閉じたループ（Ａ，Ｂの２つを選択できる し，場所を移動できる）にそって磁場の線積分を行った結果 が示されていて，その単位は10-10T・mである。 [質問] 測定結果とアンペールの法則から各場所の磁場を求 めることができるか。 [答え] 対称性がなくアンペールの法則を適用して計算するこ とはできない。 電磁気 11 Kano 7 円ループ電流と無限に長い積分路 無限遠を通り戻る 磁場の線積分は電流に比例し 比例係数は直線電流のときと同じ +∞ コイル μ 0 I −a sin 3 θ μ0 dy = = = B y d y B d d θ θ θ ∫−∞ ( ) π∫ ( ) dθ 2 a π∫ sin 2 θ 2 0 = μ0 2 = μ0 I 電磁気 11 0 I [ cos θ ]π = 0 μ0 2 ⎛ 0 ⎞ I ⎜ − ∫ sin θ dθ ⎟ ⎝ π ⎠ I [ cos 0 − cos π ] Kano 8 アンペールの法則 複数の（円）ループ電流と 任意の形の積分路 磁場の線積分は積分路と「絡み合う」電流に比例する N v∫ B ⋅ dr ' = μ0 ∑ Ii I2 i =1 C I1 I3 I4 C 電流密度を用いて表す v∫ B ⋅ dr ' = μ ∫ j ⋅ dS 0 C 電磁気 11 S Kano 9 任意の電流と 任意の積分路 電流を 微小な円ループで構成する Ｃ Ｉ 積分路と絡むループは１個 Ｉ 積分路 Ｃ を 無限に長い Ｌ （および無限遠を回る経路）と、 電流ループを通過しないＣ‘とから構成する C’ L ＋ Ｃ 電磁気 11 Kano 10 Ｑ．アンペールの法則（２） （このＵＲＬへジャンプし項目 追加３ をクリックしてください） [状況] 未知の大きさの均一な磁場があり、その方 向は面内上向きである。画面内でマウスをクリック すれば位置（単位はm）と磁場の大きさ（10-3 T）を 測定できる。 [質問] 図のループにそって反時計回りに1周する線 積分を行え。 [答え] 0 電磁気 11 Kano 11 Ｑ．アンペールの法則（３） （このＵＲＬへジャンプし項目 追加４ をクリックしてください） [状況] アニメーションには磁場とループが示してあ る。位置（単位はm）と磁場の大きさ（10-3 T）が測定 できる。 [質問] 図のループにそって反時計回りに1周する線 積分を行え。 [答え] 12x10-3 T m 電磁気 11 Kano 12 アンペールの法則と磁場の計算 対称性から磁場の向きなどが分かっているとき 無限に長いソレノイドコイルに流れる電流 2 1 3 （i）① 2 4 2 1 （ii）② 3 4 1 （iii）③ 3 4 平面を流れる一様な電流 電流 2 1 H (i)① 4 2 3 (ii)② 3 1 4 電磁気 11 Kano 13 アンペールの法則と電荷保存則（１） 電荷保存則を適用すると： 定常電流、電荷分布は時間的に一定 電流密度の面積分は０ ∫ j ⋅ dS = − S0 +S1 B dQ d = − ∫ ρ dV = 0 dt dt V S1 S0 I アンペールの法則を適用すると： dS Ｃ v∫ B ⋅ dr ' = μ ∫ j ⋅ dS = μ I 0 C Ｖ 0 S1 v∫ B ⋅ dr ' = μ0 ∫ j ⋅ dS = − μ0 I -C I dS および 自明の関係 S0 v∫ B ⋅ dr ' + v∫ B ⋅ dr ' = 0 −C C 定常状態について、アンペールの法則と電荷保存則は矛盾しない 電磁気 11 Kano 14 アンペールの法則と電荷保存則（２） 時間的に変化する状況、たとえば、 電流は一定だが電荷分布が変動するとき、 アンペール則は適用できない！ B I S1 dQ >0 dt S0 dS dS ＣＶ ∂E ∂t v∫ B ⋅ dr ' + v∫ B ⋅ dr ' = 0 に対して -C 電磁気 11 C Kano μ 0 ∫ j ⋅ dS + 0 = − I ≠ 0 S0 15 マクスウェルによる発見 時間的に変化する状況に拡張する B ∂E ⎞ ⎛ v∫C B ⋅ dr ' =μ0 ∫S ⎜⎝ j + ε 0 ∂t ⎟⎠ ⋅ dS I S S1 dQ >0 dt 0 dS 電荷保存則とガウスの法則 閉曲面を、電流が通過する面と、電場がある面に分割 I= ＣＶ ∂E ∂t dQ Q = ε 0 E ⋅ dS = ε 0 ∫ E ⋅ dS + ε 0 ∫ E ⋅ dS ∫ S0 +S1 S0 S1 dt 片側の面を 通過した電流 電磁気 11 dS I = ε0 d ∂E ⋅ = ε ⋅ dS E d S 0 ∫ ∫ ∂t dt S1 S1 Kano 16
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