1
3 テキスト 曲線と曲面の微分幾何 小林昭七著 裳華房
3 プリント http://www.gem.aoyama.ac.jp/∼nakayama/print/
3 Def (Definition の略) 定義 · · · 名前を付けること
Thm (Theorem の略) 定理 · · · 重要な性質
Prop (Proposition の略) 命題 · · · ちょっと重要な性質
Lem (Lemma の略) 補題 · · · 定理を導くための道具となる性質
Cor (Corollary の略) 系 · · · 定理から簡単に導かれる性質
§1. 球面の幾何学
3 三角形の内角の和は１８０度だろうか？
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(1) 球面上の “線分”
3 球面上の２点 A, B を結ぶ最短曲線は何か？
中心を通る平面と球面との切り口を大円という．
例えば，赤道は大円の１つである．
3 球面上の２点を結ぶ最短曲線は大円の一部になる．
以下，この大円の一部を，球面上の “線分” と考えていく．
(2) 球面三角形 △ABC の面積
（以下，球の半径 r は 1 とする）
3 点 A と B を通る大円，点 B と C を通る大円，点 C と A を通る大円により，球面は
８つの部分に分かれる．それぞれの部分の面積を，図のように，(1),(2),· · · , (8) と
する．
3 球の中心に対して，点 A の真反対の点を A∗ と書き，対心点という．
例題 1 △ABC と △A∗ BC を合わせた部分の面積 (1)+(3) は，
2
角 A の大きさを ∠A とするとき，
4πr2 ·
∠A
= 2∠A (r = 1)
2π
になる．
問題 1 △ABC と △AB ∗ C を合わせた部分の面積 (1)+(4) を，角 B の大きさ ∠B を
用いて表せ．また，△ABC と △ABC ∗ を合わせた部分の面積 (1)+(2) を，角 C の
大きさ ∠C を用いて表せ．
例題 2 △A∗ B ∗ C ∗ は △ABC を裏返したものなので，面積は変わらず，(1) = (8) が成
り立つ．
問題 2 同様にして，(2), (3), (4) と同じ面積のものをあげよ．
3 球面の面積は
(1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) = 4π
より，上の考察から，球面三角形 △ABC の面積 (1) が
∠A + ∠B + ∠C − π
になることがわかる．一般には次が成り立つ．
定理 1 (ガウス・ボンネの定理)
半径 r の球において，球面三角形 ABC の面積は
r2 (∠A + ∠B + ∠C − π)
になる．
系 2
三角形の内角の和は 180◦ より常に大きく，いろいろな値を取ることができる．
§2. 平面曲線
定義 1 （曲線の表示）
平面内の曲線上の点を，パラメータ t を使い，p(t) = (x(t), y(t)) と表す．
ẋ = dx
, ẏ = dy
dt
dt
ṗ = (ẋ(t), ẏ(t)); 速度ベクトル
√
|ṗ| = (ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 ; 速さ
∫ t
s(t) =
|ṗ(t)|dt; 曲線の長さ
0
3 曲線のパラメータとしては曲線の長さを取ることが重要である．このとき，弧長パ
ラメータという．
命題 3 曲線は曲線の長さ s でパラメータ表示すると速さが 1 になる．
3
逆に，速さが 1 のパラメータ表示が弧長パラメータ表示になる．
命題 4 曲線の長さはパラメータの取り方によらない．
定義 2
p(s); 曲線の弧長パラメータ表示
dp
e1 (s) を，p(s) における単位接ベクトルとする．特に，e1 (s) = p′ (s) = ds
e2 (s) を，e1 (s) を反時計回りに 90◦ 度回転したベクトルとする．
3
まとめ （e1 , e2 をフレネ標構という）
e1 = p′ (s)
e ·e =1
1
1
e2 · e2 = 1
e1 · e2 = 0
命題 5
d
（内積の微分の公式） dt
(a · b) = a′ · b + a · b′
命題 6
実数 κ(s) が存在して，
{
e′1 = κe2
e′2 = −κe1
が成り立つ．
定義 3 κ(s) を曲線 p(s) の曲率 (curvature) という．
( )
t
例題 3 p(t) =
について，その曲率を計算せよ．
2t
問題 3 半径 r の円
{
x(t) = r cos t
y(t) = r sin t
について，その曲率が常に 1r になることを示せ．
定義 4
e2 (s) の始点を原点に集めて描くとき，ガウスの表示という．
定理 7
曲率が恒等的に 0 になることと，曲線が直線になることは同値である．
（必要十分条件）
定理 8
2 つの平面曲線 p(s), p(s) の曲率をそれぞれ κ(s), κ(s) とする．
曲線 p(s) を回転したり平行移動して曲線 p(s) にできることと，どのような s に
ついても κ(s) = κ(s) が成り立つことは同値である．
4
{
例題 4
x = a cos t
(a > b > 0) の曲率は
y = b sin t
(楕円)
κ=
ab
(a2
3
2
sin t + b2 cos2 t) 2
になる．
問題 4 (アステロイド曲線) (x(t), y(t)) = (cos3 t, sin3 t) (0 ≦ t ≦ π2 ) の曲率を求めよ．
(∫ t
)
∫ t
au2
au2
注意. (クロソイド曲線) (x(t), y(t)) =
cos
du,
sin
du の曲率は時間に
2
2
0
0
比例する．このため，インターチェンジやジェットコースター等で利用されている．
注意. 上の例題の解き方は一般的に成り立ち，曲率だけを求めるのならば，次の便利
な公式がある．
ẋÿ − ẍẏ
3
(ẋ2 + ẏ 2 ) 2
ここで，ẋ =
∫
dx
,
dt
ẍ =
d2 x
．
dt2
b
|κ(s)|ds を全曲率という．
定義 5
a
定義 6 p + κ1 e2 のことを曲率の中心といい，曲率の中心の軌跡を縮閉線という．
曲線 c の縮閉線が ℓ のとき，c を ℓ の伸開線という．
§3. 空間曲線
x(s)
p(s) = y(s) (a ≦ s ≦ b); 空間曲線
z(s)
ただし，
|p′ (s)| = |
s は弧長パラメータとする（すなわち，
x′ (s)
dp ′
= y (s) を e1 (s) とする．
p′ (s) =
ds
z ′ (s)
定義 7
dp
(s)|
ds
= 1)
|e′1 (s)| を κ(s) と書き，曲線 p(s) の曲率という.
補題 9 e′1 ⊥ e1
3 以下，{
κ(s) ̸= 0 と仮定する．
e2 = κ1 e′1
定義 8
e3 = e1 × e2
で e2 , e3 を定めるとき，補題より e1 , e2 , e3 は正規直交基底になる．
e1 , e2 , e3 を，Frenet 標構 (Frenet frame) という．
補題 10 e′2 + κe1 と e3 は平行になる．
5
れいりつ
定義 9
e′2 + κe1 = τ e3 により τ を定める．τ を捩率(torsion) という．
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