梁の曲げ変形1

2015/7/4
第10回梁の曲げ変形（8章）
たわみとたわみ角
• 弾性曲線法
– 微分方程式による
x  dx
x

• モールの定理による方法
C
θ
dv
v  dv
v
  d
– 応力を求める方法との数学的アナロジー
dx
C’
回転角または
たわみ角（時計回り正）
C’
• 他に
弾性曲線または
たわみ曲線
たわみ：下向き正
接線
v
– エネルギーを用いた方法（本講義の範囲外）
がある
微小変形では
  tan  
dv
dx
1
弾性曲線の基本式（7章参考）
2
弾性曲線法によるたわみの求め方
中立軸から距離 y のひずみと応力
図の三角形の相似則より
曲率中心
dx y

 (7.1)式   E   

dx
E
M   y dA   y 2 dA 

曲率半径

曲率

 
1

中立軸
y
近似的に
 
1


E
χ は材軸方向の距離
y (7.2)式

EI

dx  dx


M
EI
d
d 2v
  2 (8.3)式
dx
dx
d 2v
M

dx 2
EI

(7.3)式
（下側引張のＭを正とするため負号）
dx
d 2v
M ( x)
基本式

曲率
2
EI
dx
dv
1
一回積分
たわみ角
M ( x)dx  C1
  
dx
EI
1
二回積分 v  
M ( x)dxdx  C1 x  C2 たわみ（変形）
EI
(8.4)式
3
C1、C2は境界条件から定める
v
v  
v  M
固定端
0
0
≠0
ピン
0
≠0
0
ローラー
0
≠0
0
4
1
2015/7/4
荷重とたわみの関係
（4章参考）
d 4 v p( x)

EI
dx 4
d M ( x) dQ( x)

  p( x)
dx 2
dx
d v
Q( x)

EI
dx 3
M ( x)  


2
dv
M x 
   
dx  C1
EI
dx
⑤ もう一度積分する
v   
（たわみ角）
M x 
dxdx  C1 x  C2
EI
（たわみ）
⑥ 境界条件により C1 と C2 を定める
４階微分方程式で結ばれる
⑦ C1 ,C2 をたわみ角とたわみの式に代入して解が得られる
M ( x)dxdx  C1 x  C 2
5
弾性曲線法の例：単純梁（等分布荷重）
例題8.1
w
x
④ 積分する
 p( x)dxdx  D x  D
1
M x 
d 2v
③ dx 2   EI に M x  を代入する

dv
1
  
M ( x)dx  C1
dx
EI
1
EI
② x 地点のモーメント M  x  を求める
dM ( x)
 Q( x)   p( x)dx  D1
dx
d 2v
M ( x)

EI
dx 2
P.116
① 反力を求める
2
3
v
微分方程式によるたわみを求める方法
P.121
l
w
wl
M ( x)   x 2 
x
2
2
wl / 2
②
弾性曲線法の例：片持梁（集中荷重）
w
wl
③
EIv  x 2 
x
2
2
w
wl 2
EIv  x 3 
x  C1 ④
6
4
w 4 wl 3
EIv 
x 
x  C1 x  C2
24
12
⑤
境界条件
wl / 2 ①
P.117
P
反力が必要
M ( x)   Px ②
境界条件
③
④
⑤
x  l  v  0, v  0
Pl 2
Pl 3
, C2 
⑥
2
3
P 3
l
x  3l 2 x  2l 3 ⑦
v 
6 EI
Pl 3
Pl 2
,  
先端のたわみ、たわみ角 x  0  v 
3EI
2 EI
C1  

5wl 4
l
v
2
384 EI
x
P.131
2
Px
 C1
2
Px 3
EIv 
 C1 x  C2
6
EIv 
θ：反時計回り
x  0, l  v  0
中央のたわみ x 
EIv   M ( x)  Px
演習8.1
wl 3
⑥
C2  0
C1 
24
wx 3
x  2lx 2  l 3 ⑦
v 
24 EI

6
x
7


8
2
2015/7/4
弾性曲線法の例：単純梁(集中荷重）
教科書のように両支点から
ｘ1、ｘ2 を求めた方が式は簡
単であるが、A点から求める
P
a
x
弾性曲線法の例：単純梁(集中荷重つづき） P.118
例題8.2
Pb
EIv  
x
l
Pb 2
EIv  
x  C1
2l
Pb 3
EIv  
x  C1 x  C 2
6l
(0  x  a )
b
l
P.118
(a  x  l )
(0  x  a )
Pb
x  P( x  a)
l
Pb 2 P
x  ( x  a ) 2  C3
EIv  
2l
2
Pb 3 P
x  ( x  a ) 3  C3 x  C 4
EIv  
6l
6
Pa / l
Pb
M ( x) 
x
l
Pb
M ( x) 
x  Px  a 
l
 C1  C3 
 C2  C4  0
v 
EIv  
Pb / l
x  0, l  v  0
境界条件
Pb(l 2  b 2 )
6l
(a  x  l )


P b
3
2
2
   x  (l  b ) x
6 EI  l 
v 


P b
P
3
2
2
( x  a)3
   x  (l  b ) x 
6 EI  l 
6 EI
P
x
境界条件 x  a でvとv’は連続（同値）
a
l
 C1  C3 , C 2  C 4
b
9
弾性曲線法の例：単純梁(集中荷重つづき） P.118
ab
中央集中荷重のとき
弾性曲線法の例：両端固定梁(等分布荷重） P.131
式は複雑だが特異点を求めることが多い
l
2
P  3 3 2 
v 
 x  l x 
12 EI 
4 
v 
P
12 EI
l 3
 3 3 2
 x  l x  2( x  ) 
4
2 

演習8.3
w
この梁は３次の不静定であるため、つりあい式から反力を
求めてモーメントを求めることができない
x
l
2
中央のたわみ
10
l
2
l
x
l
2
v 
P
12 EI
⇒ そこで、４階の微分方程式を使う
  l  3 3 2  l  Pl 3
    l    
  2  4  2  48 EI
11
12
3
2015/7/4
荷重とたわみの関係
（4章参考）
d 4 v p( x)

EI
dx 4
x
l
境界条件 x  0, l で
dv
1
  
M ( x)dx  C1
dx
EI


w
EIv  w
EIv  wx  C1
w 2
x  C1 x  C2
2
w
C
EIv  x 3  1 x 2  C2 x  C3
6
2
w 4 C1 3 C2 2
EIv 
x  x 
x  C3 x  C4
24
6
2
v  0, v  0
EIv 
M ( x)   p( x)dxdx  D1 x  D2
d 2v
M ( x)

EI
dx 2
1
EI
演習8.3
d 2 M ( x) dQ( x)

 p ( x)
dx 2
dx
dM ( x)
 Q ( x)   p( x)dx  D1
dx
d 3v
Q( x)

EI
dx 3
v
弾性曲線法の例：両端固定梁(等分布荷重） P.131
P.121
 C 4  C3  0
荷重は判っている
0
M ( x)dxdx  C1 x  C 2
13
w 3 C1 2
l  l  C2l
6
2

で除して
0
w 4 C1 3 C2 2
l  l 
l
24
6
2
2 / 2
で除して
14
弾性曲線法の例：両端固定梁(等分布荷重） P.131
演習8.3
w 2 C1
l  l  C2
6
2
w 2 C1
0  l  l  C2
12
3
w
0
(1)－(2)
w 2 C1
w
l  l  0  C1   l
12
6
2
wx2 2
x  2lx  l 2
たわみ v 
24EI

中央 x 
l
2
たわみ
v
(1)
(2)
w 2 w 2
wl 2
l  l  C2  C2 
6
4
12
wx
2
たわみ角 v 
2 x  3lx  l 2
12 EI
0

2

w l2  l
l
wl 4
  2l  l 2  


24 EI 4  4
2
 384 EI


15
4

Download Report