（1）リアクタンス回路Z(s), リアクタンス定理（2）Z(s) の周波数特性による

電気回路 II 辻野(834) 1997.05
リアクタンス１ポート（リアクタンス一端子対回路）Reactance 1 port
（１）リアクタンス回路Z(s),
リアクタンス定理
ＬおよびＣからなるＲを持たないリアクタンス回路の周波数特性を示す。
リアクタンス関数 Z(s) は s=jω とすると
(
(
)(
)(
)
(
)
s 2 + ω 12 s 2 + ω 3 2 ⋅ ⋅ ⋅ s 2 + ω 2 n−12
∆
Z (s) =
=H
∆ 11
s s 2 + ω 2 2 s 2 + ω 4 2 ⋅ ⋅ ⋅ s 2 + ω 2 n−2 2
=
)
(
a 0 + a2 s + a 4 s + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 n s
2
(
4
)
2n
s b0 + b3 s 2 + b5 s 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + b2 n−1s 2 n−2
)
であり、これがリアクタンス回路の駆動点インピーダンス Z(s)（リアクタンス回路）である
ためには、
(1) Z(s)はｓの正の実係数の有理関数である。
(2) Z(s)の極 (Pole) と零点 (zero) とは重複根でなく単純根で、すべて虚数軸上に交互に存在
する。
(3) dZ ( s) ds
は正の実数であるフォスターのリアクタンス定理
s = jω
･･･Foster's reactance theorem
の条件を満たさなければならない。
この３つの条件が、Z(s)がリアクタンス回路の駆動点インピーダンスであるための必要かつ
十分な条件である。この条件を満たす関数Z(s)は実際にＬＣ回路網で合成可能（実現可能）
で、この性質を持たない関数はリアクタンス関数ではなく、実際にＬＣによりその関数（周
波数特性）を合成する事が出来ない。
（２）Z(s) の周波数特性による分類
(1) ０−∞形； Z(0)＝０，Z(∞)=j∞
Z (s) = H
(
)(
)
(
s s 2 + ω 2 2 s 2 + ω 4 2 ⋅ ⋅ ⋅ s 2 + ω 2n 2
(s
2
+ ω1
)(s
2
2
+ ω3
2
(
)⋅
⋅ ⋅ s + ω 2 n−1
2
2
)
)
(2) ０−０形； Z(0)＝０，Z(∞)=０
Z (s) = H
(
)(
)
(
s s 2 + ω 2 2 s 2 + ω 4 2 ⋅ ⋅ ⋅ s 2 + ω 2n 2
(s
2
+ ω1
2
)(s
2
+ ω3
2
)⋅
(
⋅ ⋅ s + ω 2 n−1
2
2
(3) ∞−０形； Z(0)＝-j∞，Z(∞)=０
)
)
(s + ω )(s + ω ) ⋅ ⋅ ⋅ (s + ω )
Z (s) = H
s ( s + ω )( s + ω ) ⋅ ⋅ ⋅ ( s + ω )
2
2
2
2
2
1
2 n −1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2n
(4) ∞−∞形； Z(0)＝-j∞，Z(∞)=j∞
(s + ω )(s + ω ) ⋅ ⋅ ⋅ (s + ω )
Z (s) = H
s ( s + ω )( s + ω ) ⋅ ⋅ ⋅ ( s + ω )
2
2
2
2
2
1
2 n −1
3
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2n
-1-
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（３）リアクタンス関数Z(s)の合成
１．リアクタンス関数Z(s)の直列接続回路による合成
Z ( s) = Z1 ( s) + Z 2 ( s) + Z 2 ( s) + Z3 ( s) + Z 4 ( s) + ⋅ ⋅ ⋅
Kjs
K s
= K C s −1 + K L s + 2
+ 2 k 2 + ⋅ ⋅ ⋅
2
s +ω j
s +ωk
Z j (s) =
直列のＬまたはＣは周波数特性の形により必要になる。
1 −1
s
C
Kjs
s + ω j2
2
Lk
Lj
=
1
s
Cj
 1
s +
 LC
j j

2
Z k (s) =
Ls
Z(s)
２．リアクタンス関数の逆数 Y(s) =
2
Kk s
=
s +ωk2
2
1
s
Ck
 1 
s +

 Lk Ck 
K s
= 2 k 2
s +ωk
Ck
Cj



2
2
1
の並列接続回路による合成
Z(s)
Y ( s) = Y1 ( s) + Y2 ( s) + Y3 ( s) + Y4 ( s) + ⋅ ⋅ ⋅
K ′j s
K ′s
= K ′L s −1 + K C′ s + 2
+ 2 k 2 + ⋅ ⋅ ⋅
2
s +ω j
s +ωk
Yj ( s ) =
L
s + ω j2
=
C
1
Ls
Y2 = Cs
 1
s +
 LC
j j

2
Lk
Lj
Y1 =
K ′j s
2
1
s
Lj
Cj
Yk ( s) =
Ck
K k′ s
=
s2 + ω k 2



2
1
s
Lk
 1 
s +

 Lk Ck 
2
2
並列のＬまたはＣは周波数特性の形により必要になる。
３．Ｌが直列、Ｃが並列素子である、はしご型回路による合成
下図のはしご形回路のZ(s)を s について連分数展開すると
Z(s) = Z1 ( s)
1
Y2 ( s) +
1
Z3 ( s ) +
1
Y4 ( s) +
1
Z5 (s) + ⋅ ⋅ ⋅
となり、ここで Z1 (s) = Ls Z3 (s) = Ls Z5 (s) = Ls ⋅ ⋅ ⋅
Y2 (s) = Cs Y4 (s) = Cs Y6 (s) = Cs ⋅ ⋅ ⋅
である。
Z1 (s) = L1s Z3 (s) = L3s Z5 (s) = L5 s ⋅ ⋅ ⋅
L1
L3
C4
C2
Y2 (s) = C2 s
-2-
L7
L5
Y4 (s) = C4 s
C6
Y6 (s) = C6 s ⋅ ⋅ ⋅
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４．Ｃが直列、Ｌが並列である、はしご型回路による合成
下図のはしご形回路のZ(s)を s について連分数展開すると
Z(s) = Z1 ( s)
Z1 ( s ) =
1 −1
s
C1
1
Y2 ( s) +
Z 3 (s) =
1
Z3 ( s ) +
1 −1
s
C3
1
Y4 ( s) +
Z 5 (s) =
1
Z5 (s) + ⋅ ⋅ ⋅
1 −1
s
C5
Y2 ( s) =
⋅ ⋅ ⋅
1 −1
s
L2
Y4 ( s) =
1 −1
s
L4
Y6 ( s) =
となるので、ｓ−１の関数 Z(s-1) として s-1 について連分数展開すればよい
Z1 ( s ) =
1 −1
s
C1
C1
Z 3 (s) =
1 −1
s
C3
C5
C3
L2
Y2 ( s) =
1 −1
s
L2
Z 5 (s) =
⋅ ⋅ ⋅
C7
L6
L4
Y4 ( s) =
1 −1
s
C5
1 −1
s
L4
Y6 ( s) =
-3-
1 −1
s ⋅ ⋅ ⋅
L6
1 −1
s ⋅ ⋅ ⋅
L6
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演習問題
（１）下記の(a)(b)(c)(d)(e)(f)のＬＣ回路の
(1) Impedance Ｚ(s) およびAdmittance Ｙ(s) を求めよ。
(2) Impedance Ｚ(s) およびAdmittance Ｙ(s) の周波数特性を図示せよ。
(3) Impedance Ｚ(s) を他の回路型で実現せよ。
0.01 F
0.1 F
10mH
0.1 F
0.01 F
10mH
100mH
0.1 F
0.1 F
10mH
(b)
(a)
(c)
1H
100mH 100mH
1H
100mH
0.1 F
100mH
1 F
1 F
0.1 F
0.1 F
0.1 F
(f)
(e)
(d)
（２）周波数特性が下記のようなReactance関数Ｚ(s)を求め、
この周波数特性を有するReactance 1 port を
(1) ＬＣの直列および並列回路を用いて実現せよ。
(2) 梯子型回路の形で実現せよ。但し、Reactance関数の大きさは任意とする。
rad/s
=0
103
2 103
f=0
100
200 Hz
=0
103
2 103
3 103
f=0
200
300
400
(a)
(b)
rad/s
(c)
(d)
-4-
Hz
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２ポート回路（２端子回路網 or ４端子回路網）
１．２ポート回路の電気回路を取り扱う場合に、内部構造に関わらず、回路の入力端子
（送端）２個と出力端子（受端）２個を考え、入力側①と出力側②の２ポートの電圧
および電流間の関係を定義し、入力・出力特性や回路の特性の測定・計算に用いるこ
とができる。
このとき通常はこの回路は、(1)内部
→
入力側 →
出力側
②
①
に電源を持たない、(2)電圧・電流の関
←
←
係式が１次である（線形である）、(3)
①または②でポートの一端に流入した
電流が他端に流出する、という制限をつけている。
２ポートの考え方は電気系のみならず他の物理系、力学系、音響系、熱系などでも
適用できる。また各ポートの物理量が異なる機械電気系、電気機械系、流体電気系、
熱電気系、化学電気系、熱機械系等の種々の場合にも適用でき、一般にトランス
デューサ（Transducer, 変換器）と呼ばれる。
２．２ポートの特性の各種のマトリックス ( matrix ) による表示
２ポートの特性を表すマトリックスには下記の種々の接続があり、このうちｙ，
ｚ，ｇ，ｈ matrix は各種の回路素子の特性の測定・表示、F matrix, Image parameter
は電気・電子回路、伝送回路の特性の計算に用いられている。また各種の matrix の
parameter は相互の変換が可能で使用目的に応じて測定または計算し、変換して総合
した全体の回路の特性の計算等に用いている。
表１各種パラメータの相互対照（とくに電流 I2 の方向に注意）
homogeneous
parameter
2-P
パ
ラ
メ
ー
タ
電
圧
・
と電
り流
方の
 sI1   y11
 I  =  −y
 2   21
− y12   V1 
y22   V2 
 V1   z11
 V  =  −z
 2   21
( y) =
 y11
− y
 21
heterogeneous parameter
r
r
− z12   I1   I1   g11
s
=
z22   I2   V2   − g21
z12   g11
g
z22 
 21
(h) =
− g12   h11
− h
g22 
 21
r
− h12   I1 

h22   V2 
V1 = AV2 + BI2
I1 = CV2 + DI2
(F) =
h12   A
C
h22 

N
B  Zi1,
D
θ , Zi2 Zk1, Γ, Zk 2
→ I2
→ I1
I2 ←
→ I1
V1
 h11
V
1
 s  = −
 I2   h21
( g) =
(z) =
− y12   z11
z
y22 
 21
− g12   V1 
s
g22   I2 
Image parameter
V2
-5-
V1
N
V2

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