◆ はじめに ◆ みなさん，こんにちは。マセマの馬場敬之 ( ばばけいし ) です。大学数学「キャンパス・ゼミ」シリーズに続き，大学物理学「キャンパス・ゼミ」シリーズも多くの方々にご愛読頂き，大学物理学の学習の新たなスタンダードとして定着してきているようです。そして今回，『量子力学キャンパス・ゼミ』を上梓することが出来て，心より嬉しく思っています。これは，量子力学についても，本格的な内容を分かりやすく解説した参考書を是非マセマから出版して欲しいというたく山の読者の皆様のご要望にお応えしたものなのです。 20 世紀に入り，ミクロな ( 量子的 ) 物質の粒子と波動の 2 重性が明らかになり，従来の古典力学では対応できなくなりました。この物質の波動性を表現するために，シュレーディンガーは苦心の末，波動関数についての波動方程式を提案しました。これは力学的エネルギーの保存則と複素関数による平面波とを組み合わせることにより導き出される微分方程式であり，その理論的根拠は定かではないのですが，ミクロな粒子の力学的な状態を記述する基礎方程式であることが確認されました。このミクロな物質の粒子と波動の 2 重性を表現するための理論も，複素関数と実数関数の 2 重構造にならざるを得なかったことは，非常に興味深いと思います。しかし，量子力学は，かのアインシュタインが「神はサイコロを振りたまわず ! 」とボーアに嘆息した程，曖昧で分かりづらい力学であることも事実です。波動関数が，粒子を測定したときにその場所で見い出される確率と密接に関係していると言われても，ピンとこないのは当然だと思います。そう…，ハイゼンベルグが提案したように，量子力学には必ず不確定性がつきまとうのです。このような不可思議な理論のゆえに，量子力学を学ぼうとする方が壁にぶつかるのも仕方がないことだと思います。さらに，量子力学の基礎方程式であるシュレーディンガーの波動方程式そのものは一見シンプルに見えるのですが，これから，正規直交系でかつ完全系の波動関数列や，エルミートの微分方程式とエルミート多項式，ディラックの演算子法などなど…，泉のように，様々な応用数学の分野が，文字通り噴き出して来るのです。この多彩な数学の難解さが，初学者を量子力学から遠ざける大きな原因の 1 つだと思います。 2 しかし，この面白くて現代物理学の基盤となる量子力学の基礎をどなたでも数ヶ月でマスターできるように，本書では 1 次元のシュレーディンガー方程式の解法に限定してはいますが，高杉豊先生と毎日検討を重ねながら，分かりやすい量子力学の入門書として書き上げました。本書で量子力学の基本的な考え方を十分に習得して頂けると思います。この『量子力学キャンパス・ゼミ』は，全体が 4 章から構成されており，各章をさらにそれぞれ 10 〜 30 ページ程度のテーマに分けているので，非常に読みやすいはずです。量子力学は難しいものだと思っていらっしゃる方も，まず 1 回この本を流し読みされることを勧めます。初めは難しい公式の証明など飛ばしても構いません。ド・ブロイ波長，光子のエネルギー，シュレーディンガーの波動方程式，運動量の演算子，ハミルトニアン演算子，時刻を含む（含まない）波動関数，無限（有限）の井戸型ポテンシャル，ステップポテンシャル，矩形ポテンシャル，パルスポテンシャル，調和振動子，境界における波動関数の滑らかな接続，正規直交系かつ完全系の固有関数（波動関数）列，演算子と固有値と固有関数，エルミートの微分方程式，エルミート多項式とその母関数，エルミート演算子，調和振動子の生成（消滅）演算子，演算子の行列表示，エルミート行列，ユニタリ行列，ブラ・ベクトル，ケット・ベクトルなどなど … ，次々と専門的な内容が目に飛び込んできますが，不思議と違和感なく読みこなしていけるはずです。この通し読みだけなら，おそらく 2 週間もあれば十分のはずです。これで量子力学の全体像をつかむ事が大切です。 1 回通し読みが終わったら，後は各テーマの詳しい解説文を精読して，例題を実際に自分で解きながら，勉強を進めていって下さい。この精読が終わったならば，後は自分で納得がいくまで何度でも繰り返し練習することです。この反復練習により本物の実践力が身に付き，「量子力学の基本も十分にマスターできる」ようになるのです。頑張りましょう ! この『量子力学キャンパス・ゼミ』により，皆さんが奥深くて面白い本格的な大学の物理学の世界に開眼されることを心より願ってやみません。けいしマセマ代表　馬場敬之 3 ◆　目　次　◆ 講義１量子力学のプロローグ § 1.　量子力学のプロローグ………………………………………… 8 § 2.　波動と確率の関係………………………………………………20 § 3.　解析力学の基本と積分公式……………………………………32 ● 量子力学のプロローグ公式エッセンス…………………………………46 講義２シュレーディンガーの波動方程式 ( 基礎編 ) § 1.　シュレーディンガーの波動方程式……………………………48 § 2.　関数の内積と不確定性原理……………………………………60 § 3.　シュレーディンガーの波動方程式の基本問題………………72 ● シュレーディンガーの波動方程式 (基礎編 ) 公式エッセンス ………… 4 102 講義３シュレーディンガーの波動方程式 ( 実践編 ) § 1.　1 次元散乱問題とトンネル効果… ………………………… 104 § 2.　1 次元ポテンシャルによる束縛問題… …………………… 134 § 3.　調和振動子…………………………………………………… 146 ● シュレーディンガーの波動方程式 (実践編 ) 公式エッセンス ………… 講義４ 176 量子力学と演算子法 § 1.　量子力学と演算子…………………………………………… 178 § 2.　演算子による調和振動子の解法…………………………… 196 § 3.　演算子の行列形式… ………………………………………… 206 ● 量子力学と演算子法公式エッセンス………………………………… 221 ◆ Term・Index（索引）……………………………………………………… 222 5 §1．量子力学のプロローグさァ，これから，本格的な“ 量子力学 ” ( q u a n t u m m e c h a n i c s ) の講義を始めよう。量子力学とは何かと問われれば，「電子や原子などのミクロな粒子 ( 量子的粒子 ) の運動の法則を調べるための，ニュートン力学 ( 古典力学 ) とは異なる新たな力学体系」と答えることができると思う。ニュートン力学が対象とするものは，日頃ボク達が目にするマクロな粒子の運動であり，この位置と運動量は当然同時に決定することができると考えられている。 ( P 6 9 ( e x 2 ) を参照 ) これに対して，量子力学が対象とするものは，日常生活ではほとんど目にすることができないミクロな粒子の運動であり，これを調べようとしても，位置と運動量を同時に決定することができなかったり，またこの力学的な状態が“ 波動関数 ”( wa v e f un c t i o n ) Ψ という複素関数で間接的にしか表現できなかったりと，様々プサイな不可思議な現象が生じてくるんだね。では，何故このようなことが起こるのか ? それは，ミクロな粒子になれば， “ 粒子と波動の 2 重性 ” ( p a r t i c l e - wa v e d u a l i t y ) が顕著になってくるため，これまでの古典力学の決定論的な考え方では対処できなくなるからなんだね。したがって，ここではまず，光 ( 電磁波 ) を中心に，粒子性と波動性の論争の科学史について，ニュートン以降の考え方の流れを簡潔に振り返ってみよう。これにより，光が波動としての性質だけでなく，同時に“ 光子 ” ( pho t o n ) という粒子としての性質ももつことが，ご理解頂けるはずだ。さらに，電子など，これまで粒子として考えられていたものも，実は波動としての性質ももつこと，さらにこの世に存在する物質はすべて，粒子と波動の 2 重性をもつことが，量子力学の出発点であることも示そう。そして，このような不思議な 2 重性の現象を対象とするため，量子力学の理論も，複素関数 ( 虚数の世界 ) と実数関数 ( 実数の世界 ) の 2 重構造になっていることも興味深いんだね。この量子力学のこれまた不可思議な理論につ 8 ● 量子力学のプロローグいては，この後の章からステップ･バイ･ステップに分かりやすく解説していくつもりだ。楽しみにして頂きたい。まず，このプロローグの節では，量子力学の基盤となる光子のエネルギーと運動量が次の公式で表されることを示そう。光子のエネルギー E ＝ hν ，運動量 p ＝ h λ ( h ：プランク定数，ν ：振動数，λ ：波長 ) これから，古典物理学では，光の強さは ( 電磁波の振幅 ) に比例すると 2 考えるのに対して，量子力学では，光の強さは， hν × ( 光子の個数 ) で表されることも解説しよう。次に，物質波の波長 λ が次式で表されることも教えるつもりだ。 h 物質波の波長 λ ＝ p ( ド･ブロイ波長という。) さらに，歴史的には，相前後するんだけれど，量子力学で扱われる量は，連続的なものではなくて，しばしば離散的な飛び飛びの値しか取り得ないんだね。この典型例として，ボーアが導いた水素原子の“ エネルギー準位 ” ( ener g y l e v e l ) についても解説しよう。これで，量子力学の考え方に徐々に慣れていって頂けると思う。そして，この次の節では，ヤングの干渉実験を基にして，波動と確率の関係，つまり，波動関数の絶対値の 2 乗 Ψ 2 が粒子の存在する確率密度となることの意味を紹介するつもりだ。さらに，この後の節では，本格的な量子力学を学ぶ上で欠かせない手法として，解析力学について，その必要な部分にしぼって，ここで解説しておこう。プロローグだけで，かなりのボリュームになるけれど，これで準備が整うわけだから，ここでしっかり基礎的な考え方を身につけよう。 9 ● 光は粒子と波動の 2 重性をもつ ! 物理学の歴史において，粒子性と波動性が問題となった典型的な例として，光 ( 電磁波 ) を挙げることができる。古典力学の創始者であるニュートン ( I.Newton ) は光が直進する性質をもつことから，光は波ではなく粒子と考えていたようだ。しかし，その後，ヤング ( T.Young ) が光の干渉実験を行い，フレネル ( A.J.Fresnel ) が光の波動説をヤングとは独立に確立し，さらに電磁気学の創始者であるマクスウェル ( J.C.Maxwell ) が理論的に電磁波 ( 光 ) の存在を導き出して以降，実験的にも理論的にも光の波動性が世界的に認められるようになったんだね。しかし， 20 世紀に入ると，状況がまた一変する。まず，プランク ( M.Planck ) が，振動数 ν の電磁放射では，エネルギーは hν の整数倍のやり取りしか許されないとして，放射法則を導いた。次に，アインシュタイン ( A . E i n s t e i n ) が“ 光子 ( p h o t o n ) 説 ”を唱え，これを使って“ 光電効果 ” アインシュタインは，これを“ 光量子 ( l i g h t q u a n t u m ) 仮説” と呼んだが，現在では光子と呼び，また，これは，確立された理論なので，“仮説”ではなく“説” とした。 ( photoelectric effect ) を説明したんだね。この光子説では，振動数 ν の光子がもつエネルギー E と運動量 p は，次のように表される。光子のエネルギー E と運動量 p 振動数 ν の光子は，次のエネルギー E と運動量 p をもつ。･エネルギー E ＝ hν …… (＊a ) ( 10 ･運動量　p ＝ h λ …… (＊b ) ) E：振動数 ν の光子がもつエネルギー ( J ) ，ν ：振動数 ( s − 1 ) ， h ：プランク定数 ( h ＝ 6 . 6 2 6 × 1 0 − 34 ( J・s )) ， p ：振動数 ν の光子がもつ運動量 ( k g m / s ) ，λ ：波長 ( m )