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Aufgaben zum Alternativtest
1.
Ein Spieler besitzt gefälschte Münzen, bei denen die Wahrscheinlichkeit p für Kopf auf
20% erniedrigt ist. Dem Spieler ist entfallen, ob die Münze in seiner Hosentasche fair oder
gefälscht ist und er testet sie daher durch 12 Probewürfe. Fällt dabei mehr als viermal
Kopf, so stuft er die Münze als fair ein, andernfalls als gefälscht.
a.
Wie groß sind die Irrtumswahrscheinlichkeiten?
b.
Wie muss für diesen Fall - bei sonst gleichen Voraussetzungen - das
Entscheidungsverfahren abgeändert werden, damit eine faire Münze mit nicht mehr als
10% Wahrscheinlichkeit irrtümlich als gefälscht eingestuft wird?
c.
Die Münze soll durch 50 Probewürfe getestet werden. Welche Entscheidungsregel ist zu
wählen, damit in diesem Test eine faire Münze mit nicht mehr als 5% Wahrscheinlichkeit
irrtümlich als gefälscht eingestuft wird?
2.
Eine Urne enthält schwarze und weiße Kugeln. Es ist bekannt, dass der Anteil der weißen
Kugeln entweder 40% oder 50% beträgt, d.h. H0: p=0,40 und H1: p=0,50. Die Hypothese H0
soll durch eine Stichprobe vom Umfang n=100 getestet werden, d.h. n = 100 Kugeln
werden mit zurücklegen gezogen.
a.
Die folgende Entscheidungsregel wird benutzt: Sind von den 100 gezogenen Kugeln
höchsten 45 weiß, so fällt die Entscheidung für H0.
Beschreiben Sie die bei der Anwendung der Regel möglichen Fehler und berechnen Sie
deren Wahrscheinlichkeiten.
b.
Der α-Fehler soll höchstens 5% betragen. Wie muss die Entscheidungsregel nun lauten?
3.
Das Spielkasino bekommt aus Insiderkreisen einen "heißen" Tipp: Es wurden gefälschte
Würfel eingeschmuggelt, die die Sechs mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% produzieren
(H0). Das Kasino beschließt, alle Würfel durch 100 Testwürfel zu prüfen.
a.
Die Entscheidungsregel lautet: Bei mehr als 20 Sechsen wird der Würfel als gefälscht
eingestuft. Wie groß sind α- und β-Fehler?
b.
Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein
gefälschter Würfel nicht erkannt wird, unter 3% liegen soll?
4.
Der Fliesenleger vermutet, dass ihm vom Hersteller irrtümlich statt Kacheln 1. Wahl (10%
Ausschuss) Kacheln 3. Wahl (30% Ausschuss) geliefert wurden. Er testet eine Packung mit
50 Kacheln. Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn der Fehler, dass eine Packung
3. Wahl als 1. Wahl eingestuft wird, unter 10% liegen soll?
5.
Durch Modernisierungen im Produktionsprozess ist die Ausfallrate eines elektronischen
Bauteils von 10% (H0: p=0,10) angeblich auf 5% (H1: p=0,05) gesunken. Die Zufallsgröße X
gibt an, wie viele Bauteile in einer Testreihe nicht funktionsfähig sind.
a.
Es werden n=50 Teile getestet. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit ist die folgende
Entscheidungsregel behaftet? Entscheidungsregel: X<4 ->H0 wird angenommen.
b.
In einem Großversuch werden n =200 Bauteile getestet. Wie muss der Ablehnungsbereich
für H0 gewählt werden, wenn der α-Fehler des Tests höchstens 5% betragen darf?

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