Taller magia y matemáticas

Pedro Alegría
Departamento de Matemáticas
Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea
Índice
3
1.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN .............................................................................................................................. 6
2.
TARJETAS PERFORADAS..................................................................................................................................... 8
3.
EL JUEGO DE LOS MONTONES DE GERGONNE ..................................................................................................14
4.
EL PROBLEMA DE BACHET ................................................................................................................................16
5.
CORRECCIÓN DE ERRORES ................................................................................................................................18
6.
CARTAS EN FILA ................................................................................................................................................20
7.
EL JUEGO DE CARTAS DE CHENEY .....................................................................................................................22
8.
LA MEZCLA FARO ..............................................................................................................................................23
9.
LA MEZCLA AUSTRALIANA ................................................................................................................................25
10.
EL PRINCIPIO DE GILBREATH .............................................................................................................................27
11.
EL PRINCIPIO DEL NUEVE ..................................................................................................................................29
12.
EL PRINCIPIO DE PARIDAD ................................................................................................................................32
13.
PRINCIPIO DE LOS DOBLECES ............................................................................................................................34
14.
CUADRADOS MÁGICOS REVERSIBLES ...............................................................................................................36
15.
EL CARTEL MÁGICO ..........................................................................................................................................38
16.
EL JUEGO DE LAS PESADAS ...............................................................................................................................40
17.
APUESTAS GANADORAS ...................................................................................................................................41
18.
CURIOSIDADES NUMÉRICAS .............................................................................................................................43
19.
AGUJEROS NEGROS ..........................................................................................................................................45
20.
CON MONEDAS ................................................................................................................................................48
Introducción
Como es sabido de todos, la asignatura de matemáticas es una de las “bestias negras” de la
educación. Muchos son los niños y jóvenes que odian la asignatura por diferentes razones, tanto
de carácter interno como ajenas a la misma.
Con las actividades que componen este documento se pretende mostrar una componente lúdica
de esta ciencia, mostrando que no sólo está presente en muchos “temas serios” de nuestra vida
cotidiana, sino que algo, en principio tan alejado de las matemáticas como es la magia, puede
tener también diferentes efectos basados en principios matemáticos, en contraste con la habilidad
técnica y la prestidigitación.
En este sentido son muy oportunas las palabras de Martin Gardner, maestro de la divulgación en
magia y matemáticas: "la magia matemática combina la belleza de una estructura matemática con
el entretenimiento que aporta un truco. No es sorprendente, en consecuencia, que las delicias de la
magia matemática sean mayores para quienes disfrutan tanto del ilusionismo como de los
entretenimientos matemáticos".
Este documento contiene una colección de juegos de magia con aroma matemático, donde los
juegos que tienen alguna relación entre sí están agrupados en una misma sección. En algunos
casos, la descripción viene acompañada por un programa informático con el que puede realizarse
el juego, demostrando así el fundamento matemático del mismo. Estos juegos constituyen una
propuesta de actividades para el desarrollo de las competencias transversales del Grado de
Química de la Universidad de Vigo, como son: trabajo en grupo, expresión oral y escrita y
planificación y administración adecuada del tiempo.
Como el objetivo de la actividad consiste en que tú desarrolles alguna de estas secciones, todos los
juegos están descritos de manera tosca, a modo de borrador. Tu tarea consiste pues en
• redactar una breve introducción al capítulo, presentando los conceptos empleados,
• preparar con tus compañeros uno de los juegos para presentarlos en público de forma
atractiva,
• descubrir los fundamentos matemáticos en los que se basan estos juegos y
• estudiar posibles variantes o generalizaciones de los mismos. En algunas ocasiones están
indicadas en el texto (en rojo) diversas sugerencias que podrán ayudarte.
Serán bienvenidas las referencias que hayas utilizado para documentarte sobre el tema elegido
pero no te conformes con las que te indico en el texto: aprovecha las enormes posibilidades que
ofrece internet en la actualidad. Ensaya con tus compañeros la mecánica de los juegos, adoptando
los diferentes papeles involucrados -mago o asistente- ideando alguna presentación original y
atractiva. ¡Demuestra que tienes dotes de mago!
4
Aparte de las referencias específicas para cada sección, puedes encontrar otros juegos y material
adicional en los siguientes libros:
Fernando Blasco, “Matemagia”, Temas de Hoy, 2006.
Martin Gardner, “Mathematics, Magic and Mystery”, Dover, 1956.
William Simon, “Mathematical Magic”, Dover, 1964.
o portales de internet:
Rincón matemágico del Portal Divulgamat:
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent&section=1
1&category=63&Itemid=67
Portal Automagia:
http://www.automagia.com
Card Colm: columna bimensual de artículos sobre magia matemática escritos por Colm
Mulcahy:
http://www.maa.org/columns/colm/cardcolm.html
Scam School: colección de videos protagonizados por el mago Brian Brushwood donde
realiza y explica diversos juegos matemáticos:
http://revision3.com/scamschool/episodes
Teach by magic: colección de videos educativos, de nivel elemental, donde se explican
conceptos matemáticos sencillos mediante juegos de magia y rompecabezas:
http://www.teachbymagic.com
Matemágicas: portal elaborado por Juanse Barrero con una gran variedad de juegos
matemáticos clasificados por categorías:
http://magia.educacia.com/paginas/inicio/index.php
Mathématiques magiques: excelente y muy completo portal en francés (con algunos
contenidos traducidos al español) de Thérèse Eveilleau:
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr
Si necesitas ayuda, no dudes en consultarme: [email protected]
5
1.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Juego 1: tarjetas binarias
Material necesario:
Seis tarjetas numeradas como se indica en las figuras.
TARJETA 1
1
3
5
17 19 21
33 35 37
49 51 53
7
23
39
55
9
25
41
57
11
27
43
59
13
29
45
61
15
31
47
63
TARJETA 2
2
3
18 19
34 35
50 51
6
22
38
54
7
23
39
55
10
26
42
58
11
27
43
59
14
30
46
62
15
31
47
63
10
26
42
58
11
27
43
59
12
28
44
60
13
29
45
61
14
30
46
62
15
31
47
63
34
42
50
58
35
43
51
59
36
44
52
60
37
45
53
61
38
46
54
62
39
47
55
63
TARJETA 3
4
5
6
20 21 22
36 37 38
52 53 54
7
23
39
55
12
28
44
60
13
29
45
61
14
30
46
62
15
31
47
63
TARJETA 4
8
9
24 25
40 41
56 57
TARJETA 5
16 17
24 25
48 49
56 57
19
27
51
59
20
28
52
60
21
29
53
61
22
30
54
62
23
31
55
63
TARJETA 6
32 33
40 41
48 49
56 57
18
26
50
58
Instrucciones:
♦ Piensa un número comprendido entre 1 y 64.
♦ Busca el número pensado en cada una de las tarjetas.
♦ Suma los primeros números de las tarjetas que contienen el número pensado.
♦ El resultado de la suma es precisamente el número.
Versión interactiva: programa “binarias.html“.
Explicación:
¿Cómo se construyen las tarjetas? ¿Por qué funciona el juego? ¿Cómo se puede adaptar a
conjuntos mayores de números?
Referencia:
Rincón matemágico de Divulgamat, número 13.
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/TarjetBin.html
6
Juego 2: tarjetas ternarias
Material necesario:
Cuatro tarjetas numeradas como se indica en las figuras.
01
10
19
28
37
46
55
64
73
02 04 05 07
11 13 14 16
20 22 23 25
29 31 32 34
38 40 41 43
47 49 50 52
56 58 59 61
65 67 68 70
74 76 77 79
Tarjeta 1
08
17
26
35
44
53
62
71
80
03
12
21
30
39
48
57
66
75
04 05 06 07
13 14 15 16
22 23 24 25
31 32 33 34
40 41 42 43
49 50 51 52
58 59 60 61
67 68 69 70
76 77 78 79
Tarjeta 2
08
17
26
35
44
53
62
71
80
09
15
21
36
42
48
63
69
75
10 11 12 13
16 17 18 19
22 23 24 25
37 38 39 40
43 44 45 46
49 50 51 52
64 65 66 67
70 71 72 73
76 77 78 79
Tarjeta 3
14
20
26
41
47
53
68
74
80
27
33
39
45
51
57
63
69
75
28 29 30 31
34 35 36 37
40 41 42 43
46 47 48 49
52 53 54 55
58 59 60 61
64 65 66 67
70 71 72 73
76 77 78 79
Tarjeta 4
32
38
44
50
56
62
68
74
80
Instrucciones:
♦ Piensa un número comprendido entre 1 y 81.
♦ Busca dicho número entre las tarjetas anteriores.
♦ Basta que me digas en qué tarjetas está el número pensado y de qué color está dicho número
en cada tarjeta para adivinar inmediatamente el número.
♦ Basta sumar los valores menores de cada tarjeta que contiene el número pensado,
multiplicando previamente por dos los que correspondan a números en negro. Por ejemplo, si
el número pensado es 35, como está en negro en las tarjetas 1 y 2 y en rojo en la tarjeta 4, se
deben sumar 1x2+3x2+27.
Referencia:
Rincón matemágico de Divulgamat, número 73.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=1
0885:73-junio-2010-las-tarjetas-ternarias&catid=63:el-rincatemco&directory=67
7
2.
TARJETAS PERFORADAS
Juego 1: con siete tarjetas
Material necesario:
Siete tarjetas como las indicadas en las imágenes (las zonas sombreadas deberán recortarse):
TARJETA 1
TARJETA 2
SI
1
5
9
13
17
21
25
29
2
6
10
14
18
22
26
30
3
7
11
15
19
23
27
31
SI
4
8
12
16
20
24
28
32
1
5
9
13
33
37
41
45
65 66
6 9 70
73 74
77 78
81 82
85 86
8 9 90
93 94
67
71
75
79
83
87
91
95
2
6
10
14
34
38
42
46
3
7
11
15
35
39
43
47
4
8
12
16
36
40
44
48
68
72
76
80
84
88
92
96
65
69
73
77
97
101
10 5
10 9
ON
TARJETA 4
SI
SI
2
10
18
26
34
42
50
58
68
72
76
80
10 0
10 4
10 8
112
ON
TARJETA 3
1
9
17
25
33
41
49
57
66 67
70
71
74 75
78 79
98 99
10 2 103
10 6 10 7
110 111
1
5
17
21
33
37
49
53
5
6
13
14
21 22
29 3 0
3 7 38
45 46
53 54
61 62
65
73
81
89
97
10 5
113
121
ON
66 69
74 77
8 2 85
90 93
98 10 1
10 6 10 9
114 117
12 2 125
2
6
18
22
34
38
50
54
3
7
19
23
35
39
51
55
4
8
20
24
36
40
52
56
70
78
86
94
10 2
110
118
126
65
69
81
85
97
10 1
113
117
66 67 68
70
71 72
8 2 83 8 4
8 6 8 7 88
98 99 10 0
10 2 10 3 10 4
114 115 116
118 119 120
ON
8
TARJETA 5
TARJETA 6
SI
SI
1
9
17
25
33
41
49
57
3
11
19
27
35
43
51
59
1
9
17
25
33
41
49
57
5
7
13
15
21 23
29 31
37 39
45 47
53 55
61 63
65
73
81
89
97
10 5
113
121
67 69
75 77
83 8 5
91 93
99 10 1
107 10 9
115 117
123 125
2
10
18
26
34
42
50
58
3
11
19
27
35
43
51
59
4
12
20
28
36
44
52
60
65
73
81
89
97
10 5
113
12 1
71
79
87
95
10 3
111
119
127
66 67
74 75
82 83
90 91
98 99
10 6 10 7
114 115
122 12 3
68
76
84
92
10 0
10 8
116
12 4
ON
ON
TARJETA 7 (por delante)
TARJETA 7 (por detrás)
SI
3
7
11
15
19
23
27
31
2
6
10
14
18
22
26
30
1
5
9
13
17
21
25
29
NO
4
8
12
16
20
24
28
32
65
69
73
77
81
85
89
93
4
8
12
16
20
24
28
32
66
70
74
78
82
86
90
94
3
7
11
15
19
23
27
31
67
71
75
79
83
87
91
95
2
6
10
14
18
22
26
30
68
72
76
80
84
88
92
96
1
5
9
13
17
21
25
29
98
10 2
10 6
110
114
118
122
126
97
10 1
10 5
10 9
113
117
121
125
36
40
44
48
52
56
60
64
99
10 3
10 7
111
115
119
123
12 7
35
39
43
47
51
55
59
63
10 0
10 4
10 8
112
116
120
124
128
33 34
37 38
41 42
45 46
49 50
53 5 4
57 58
61 62
36
40
44
48
52
56
60
64
35
39
43
47
51
55
59
63
34
38
42
46
50
54
58
62
33
37
41
45
49
53
57
61
Instrucciones:
♣ Un espectador piensa un número comprendido entre 1 y 128.
♣ Comprueba si su número está en cada una de las tarjetas.
♣ Cada vez que una tarjeta contenga su número, deja dicha tarjeta sobre la mesa, con los
números hacia arriba, y con el símbolo “SÍ” en la parte superior.
♣ Las tarjetas que no contengan su número también se dejan sobre la mesa, con los números
hacia arriba, pero con el símbolo “NO” en la parte superior.
♣ Todas las tarjetas se colocan en un mismo montón. La última tarjeta que se comprueba es la
que no está perforada (y que contiene por detrás todos los números, sin que lo sepa el
espectador).
♣ Cuando el espectador ha terminado, el mago recoge el paquete y sólo tiene que mirar la parte
de atrás. El número pensado es el único que se verá a través de la ventana dejada por el resto
de las tarjetas.
9
Juego 2: con cuatro tarjetas
Material necesario:
Tres tarjetas (recortadas por las zonas sombreadas) como las mostradas en las figuras y una cuarta
tarjeta de claves.
Tarjeta 1 (por delante)
Tarjeta 1 (por detrás)
Tarjeta 2 (por delante)
Tarjeta 2 (por detrás)
10
Tarjeta 3 (por delante)
3
4
5
6
Tarjeta 3 (por detrás)
1
2
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
Tarjeta clave
Instrucciones:
♣ Un espectador piensa un número comprendido entre 1 y 64.
♣ Se le muestra cada una de las tres tarjetas y se le pide que las coloque en un solo montón de
modo que, en cada tarjeta, quede derecho y a la vista el número pensado.
♣ Al colocar el grupo de tarjetas sobre la tarjeta clave, el número pensado será el único que
quede a la vista a través de las ventanas.
Explicación:
¿Cómo intervienen las simetrías del cuadrado para conseguir todas las posibilidades?
11
Juego 3: tarjetas factoriales
Material necesario:
Cuatro cartulinas como las ilustradas en las figuras recortadas de modo que formen cuatro
dodecágonos del mismo tamaño. Las regiones impresas en negro también deberán recortarse
para formar diferentes agujeros en las cartulinas.
Instrucciones:
♣ Deja sobre la mesa la primera cartulina, que llamaremos "cartulina clave".
♣ Pide a un espectador que piense un número entre 1 y 24, mientras le entregas las otras tres
cartulinas.
♣ El espectador mira la primera cartulina y compara el valor del número pensado con uno de los
que aparecen escritos en la cartulina (par o impar). Dejará esta cartulina sobre la mesa, encima
de la "cartulina clave", haciendo coincidir la base de ésta con el valor que corresponda a su
número.
12
♣ A continuación realizará la misma operación con las dos cartulinas restantes. Girando
adecuadamente cada una de las cartulinas, hará coincidir la base de la "cartulina clave" con el
valor que corresponda al número pensado.
♣ Al final, el número pensado por el espectador será el único que se ve a través de los agujeros
de las cartulinas.
Referencias:
“Mathematical Recreations and Essays”, de W.W. Rouse Ball y H.S.M. Coxeter. Dover (1987).
http://www.gutenberg.org/ebooks/26839
“Mathematical Recreations“ de M. Kraitchik. Norton (1942).
“Juegos basados en sistemas de numeración”, de Jesús García Gual.
http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/ReunionValencia2010/Juegos-Numeracion.pdf
Rincón matemágico de Divulgamat, número 51.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=1
0653:51-junio-2008-bricomatemagia&catid=63:el-rincatemco&directory=67
Versión interactiva: Programa “BinaryCards.exe“.
13
3.
EL JUEGO DE LOS MONTONES DE GERGONNE
Juego 1: las 21 cartas
Material necesario:
Una baraja de cartas.
Instrucciones:
♥ Separa 21 cartas cualesquiera de una baraja y reparte con ellas sobre la mesa tres montones
de 7 cartas cada uno.
♥ Mientras repartes, piensa una de las cartas y recuerda en qué montón se encuentra.
♥ Recoge los tres montones, de modo que el montón que contiene la carta elegida quede en
medio de los otros dos.
♥ Repite el proceso anterior dos veces más (repartir las cartas en tres montones, una a una),
colocando siempre el montón que contiene la carta elegida entre los otros dos.
♥ Después de recoger por última vez las cartas, busca la que ocupa el undécimo lugar y
comprueba que se trata de la elegida.
Versión interactiva: Programa “21cartas.exe“.
Explicación:
¿Cuáles son las distintas posiciones que ocupa la carta elegida durante el proceso? ¿Se puede
hacer el juego con una cantidad diferente de cartas? ¿Es posible llevar la carta elegida a cualquier
otra posición modificando el proceso de recogida de los montones?
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
Matemagia básica, de Carlos Vinuesa. La Gaceta de la RSME, vol. 14 (2011), 133-147.
Gergonne’s magic trick, portal Cut-the-knot.
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Magic/GergonneMagic.shtml
Why the 21 card trick works,
http://h2g2.com/dna/h2g2/alabaster/A544989
14
Juego 2: las 52 cartas
Material necesario:
Una baraja francesa.
Instrucciones:
♥ Un espectador nombra un número entre 1 y 52 y piensa una carta de la baraja francesa (de 52
cartas), sin nombrarla.
♥ El mago reparte todas las cartas de la baraja, una a una, formando cuatro filas sobre la mesa y
el espectador indica en qué montón se encuentra la carta pensada.
♥ Se juntan los cuatro montones y se realiza el proceso anterior tres veces más. En cada reparto,
el espectador sólo indica en qué montón está la carta pensada.
♥ Se agrupan por última vez los cuatro montones y el espectador busca la carta que ocupa el
lugar indicado por el número elegido al principio del juego. Dicha carta es precisamente la
pensada por el espectador.
Explicación:
Dependiendo del número elegido por el espectador, el mago recompone los montones de una
manera específica después de cada reparto. Así consigue que la carta elegida ocupe la posición
deseada. ¿Cuál es el método de recomposición de los montones?
15
4.
EL PROBLEMA DE BACHET
Juego 1: adivinación doble
Material necesario:
Programa “Parejas.exe“.
Instrucciones:
♠ En la pantalla del ordenador verás un conjunto de números agrupados en parejas. Piensa en
cualquiera de las parejas.
♠ En la pantalla siguiente, verás los números ordenados en un rectángulo. Debes señalar las filas
que contienen a los números de la pareja pensada.
♠ A pesar de la cantidad de combinaciones posibles, el ordenador adivinará los números
pensados.
El juego puede realizarse sin ayuda del ordenador si descubres la forma de colocar las parejas en el
segundo reparto. Este es el proceso que debe seguirse.
♠ El mago toma 20 cartas y, agrupadas en parejas, las muestra sobre la mesa.
♠ Pide a un espectador que piense en una de las parejas y recuerde las cartas que la componen.
♠ Recoge todas las cartas en un paquete, sin separar las parejas.
♠ Extiende a continuación todas las cartas sobre la mesa formando un rectángulo de 4 filas y 5
columnas.
♠ Pregunta en qué filas se encuentran las cartas previamente elegidas.
Con la información proporcionada, es posible conocer el valor de ambas cartas.
Explicación:
¿Cómo deben colocarse las 20 cartas para que cada pareja ocupe una única combinación de filas
en la distribución y así poder asignar una pareja concreta a cada selección de filas por parte del
espectador? ¿Y si se hace el juego con 30 cartas? ¿Y si varios espectadores eligen distintas parejas
de cartas?
Referencias:
Bachet’s magic trick, portal “Cut-the-knot“.
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Magic/Bachet.shtml
Rincón matemágico de Divulgamat, número 3.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=4
033:3-marzo-2004-un-problema-divertido-y-deleitable&catid=63:el-rincatemco&directory=67
Rincón matemágico de Divulgamat, número 40 (versión online).
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/bachet1.html
16
Juego 2: mutus-nomen-dedit-cocis
Material necesario:
Una baraja de cartas.
Instrucciones:
♠ El mago retira 20 cartas de la baraja. Va tomando grupos de 2 cartas con las caras hacia arriba
y las va echando en la mesa mientras le pide al espectador que piense en un grupo de 2 cartas,
sin nombrarlas.
♠ A continuación el mago recoge las 20 cartas formando un montón, sin alterar el orden de los
grupos. Ahora, teniendo en mente estas cuatro palabras:
MU T U S
N OM E N
D E D I T
C O C I S
y formándose una imagen mental con ellas, el mago va colocando las dos cartas de un mismo
grupo en el lugar donde se encuentran dos letras iguales del esquema anterior, quedando al
final sobre la mesa un cuadrado de cartas.
♠ Es decir, el mago toma la primera carta de montón y la coloca en la mesa cara arriba en el
lugar que le corresponde a la M de MUTUS y la segunda carta, que será pareja de la primera, la
coloca en el lugar de la M de NOMEN, o sea en la segunda fila y en el centro. La tercera carta
que muestra, la coloca en el lugar de la primera U de MUTUS y la siguiente en el lugar de la
segunda U de MUTUS. Y así sucesivamente, hasta finalizar todas las cartas.
♠ Por último, pregunta al espectador en qué filas se encuentran las dos cartas pensadas. Según
la respuesta que dé, el mago anuncia inmediatamente las dos cartas pensadas por el
espectador.
♠ Por ejemplo, si las dos cartas están en la tercera fila, se trata de la primera y tercera, en la
posición indicada por la letra D de DEDIT.
Explicación:
¿Qué particularidad especial tienen las palabras escogidas? ¿Cuál es la biyección entre cada letra y
las distintas parejas de filas en las que pueden estar las cartas pensadas? ¿Podrías encontrar otra
biyección y otro conjunto de palabras asociadas?
17
5.
CORRECCIÓN DE ERRORES
Juego 1: detector de mentiras
Material necesario:
Programa “Detector.exe“.
Instrucciones:
♦ En la pantalla del ordenador verás un grupo de cartas. Piensa una de ellas.
♦ Ya sabes que las cartas tienen diferencias que permiten distinguirlas unas de otras. De modo
que si te hago una serie de preguntas, cuya respuesta consista simplemente en decir SÍ o NO,
es fácil llegar a adivinar la carta pensada.
♦ Sin embargo, vamos a complicar un poco el proceso: te voy a hacer una serie de preguntas y te
permito que una de las respuestas, como máximo, sea falsa.
♦ A pesar de todo, al final, si me has mentido, sabré en qué pregunta lo has hecho e, incluso,
adivinaré tu carta.
Explicación:
¿Cómo interviene la teoría de códigos correctores de errores? ¿Cómo se construyen los códigos de
Hamming para esta situación?
Referencias:
Códigos secretos y teoría de información en la magia, de P. Alegría. SIGMA vol. 26 (2005), 117-130.
Un juego de buscar el número, de Thomas Berry
http://ldc.usb.ve/~berry/demo/sdem4.html
Juego 2: descubrir al mentiroso
Material necesario:
El mago y dos voluntarios.
Instrucciones:
♦ Dos colaboradores escogen (de forma secreta para el mago) ser SINCEROS o MENTIROSOS. El
mago adivinará quién dice la verdad y quién miente después de sólo dos preguntas. Es
importante que los espectadores sean siempre fieles a su papel (si son sinceros siempre
contestan la verdad y si son mentirosos, siempre mienten).
♦ En primer lugar, cada espectador elige su papel y se lo comunica al otro.
♦ La clave para adivinar el papel de cada espectador es que el mago haga a uno de ellos (y luego
al otro) la misma pregunta:
− ¿Habéis elegido ambos el mismo personaje?
Explicación:
¿Cómo descubrir si los espectadores mienten o dicen la verdad según las respuestas recibidas?
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Juego 3: deletrea tu mentira
Material necesario:
Una baraja francesa.
Instrucciones:
♦ Entrega la baraja a un espectador para que realice las siguientes operaciones:
♦ Reparte sobre la mesa tres montones de tres cartas cada uno.
♦ Toma uno cualquiera de los montones, mira y recuerda la carta que está a la vista (la carta
inferior) y deja el montón sobre cualquiera de los otros dos.
♦ Toma el montón de seis cartas y déjalo sobre el restante.
♦ Recoge el montón de nueve cartas y deletrea la carta que has visto (supongamos que es el
siete de picas), de la siguiente manera:
♦ Repartiendo cartas sobre la mesa, una a una, deletrea el valor de la carta. Por ejemplo, si es un
siete, reparte una carta por cada letra de la palabra S-I-E-T-E. Pero, ¡atención!, puedes mentir
sobre el valor de tu carta. Si lo prefieres, reparte cartas como si fuera un C-U-A-T-R-O o un UN-O, lo que se te ocurra. Al terminar, deja las cartas que te quedan en la mano sobre el
montón de la mesa.
♦ Recoge de nuevo las cartas y deletrea la palabra D-E repartiendo dos cartas sobre la mesa.
Deja de nuevo las cartas de la mano sobre las de la mesa.
♦ Vuelve a recoger las cartas y deletrea el palo de la carta. Si fuera de picas, reparte cartas, una a
una, mientras deletreas P-I-C-A-S. En esta ocasión, también puedes mentir sobre el palo de la
carta. Si te apetece, deletrea R-O-M-B-O-S o T-R-E-B-O-L-E-S o C-O-R-A-Z-O-N-E-S, a tu
elección. Deja otra vez las cartas de la mano sobre las de la mesa.
♦ Recoge las cartas de la mesa y, como no has podido resistirte a mentir en algún momento,
deletrea la palabra F-A-L-S-O repartiendo una carta por cada letra. La última carta repartida es
la elegida.
Explicación:
¿Funciona con cualquier carta? ¿Por qué?
19
6.
CARTAS EN FILA
Juego 1: la fila de diez
Material necesario:
Programa “Diez.exe”.
Instrucciones:
♣ El mago entrega diez cartas a un espectador para que las mezcle y las coloque en una fila sobre
la mesa.
♣ El mago ahora vuelve cara abajo cuatro de las cartas y la disposición final de todas las cartas
las transmite al ordenador.
♣ A pesar de que las cuatro cartas vueltas pueden estar en colocadas de 24 formas diferentes, el
ordenador adivina la posición exacta de todas ellas.
El problema que se plantea es elegir adecuadamente las cuatro cartas que se deben girar para que
el ordenador conozca su disposición.
Explicación:
¿Cuál es el teorema matemático en que se basa este juego? ¿Con qué otras cantidades de cartas
puede realizarse?
Referencias:
Códigos secretos y teoría de la información en la magia, de Pedro Alegría.
SIGMA vol. 26 (2005), 117-130.
A little Erdös/Szekeres magic, de Colm Mulcahy.
http://www.maa.org/columns/colm/cardcolm200506.html
20
Juego 2: la fila de nueve
Material necesario:
Nueve cartas de un mismo palo, del as al nueve.
Instrucciones:
♣ Coloca en una fila sobre la mesa, de izquierda a derecha, y en orden creciente, las cartas del as
al nueve (o nueve tarjetas numeradas).
♣
♣
♣
♣
♣
Retira una carta de cualquier esquina (tú eliges).
Vuelve a retirar una carta de la esquina que prefieras (aumenta el número de posibilidades).
Retira por última vez una carta de cualquier esquina.
Suma los valores de las tres cartas retiradas.
Divide el resultado por 6 -¡la división es exacta!- y busca la carta de la mesa que ocupa el lugar
indicado por el cociente (contando de izquierda a derecha). ¡Estoy seguro que esa carta es el
cuatro!
Explicación:
¿Qué propiedades de la divisibilidad se utilizan en este juego?
Referencias:
Magia y agujeros negros, de Pedro Alegría.
SIGMA vol. 30 (2007), 117-129.
Rincón matemágico de Divulgamat, número 32.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=1
0631:32-octubre-2006-la-fila-de-nueve&catid=63:el-rincatemco&directory=67
21
7.
EL JUEGO DE CARTAS DE CHENEY
Juego 1: las cinco cartas
Material necesario:
Un mago y su asistente.
Instrucciones:
♥ Con el mago de espaldas o en un lugar alejado, el asistente entrega la baraja a un espectador
para que seleccione libremente cinco cartas cualesquiera.
♥ El asistente entrega una de ellas al espectador para que la oculte.
♥ El asistente deja las otras cuatro cartas sobre la mesa en un orden adecuado.
♥ El mago se acerca, observa las cuatro cartas y adivina la carta que oculta el espectador.
Explicación:
¿Qué carta debe entregarse al espectador? ¿En qué orden deben colocarse las otras cuatro cartas
para que el mago adivine la carta oculta? ¿Cómo interviene la Combinatoria en el proceso?
Versión interactiva: Programa “Cinco.exe”.
Juego 2: las cuatro cartas
Material necesario:
Programa “Cuatro.exe”.
Instrucciones:
♥ Un espectador selecciona libremente cuatro cartas de una baraja francesa.
♥ De ellas, tú te quedas con tres y le entregas una al espectador.
♥ Las tres cartas que tienes debes transmitirlas al ordenador poniendo cada una en un hueco,
pudiendo ser que una o dos se pongan boca abajo.
♥ Basta ahora hacer clic en el botón para que el ordenador adivine la carta que tiene el
espectador.
Explicación:
¿Cómo hay que colocar las tres cartas para que el ordenador pueda saber la carta que se ha
quedado el espectador?
Referencias:
Códigos secretos y teoría de la información en la magia, de Pedro Alegría.
SIGMA vol. 26 (2005), 117-130.
The best card trick, de Michael Kleber. Mathematical Intelligencer, vol. 24 (2002).
All you need is cards, de Brain Epstein. Puzzlers‘ tribute: a feast for the mind (AK Peters, 2002).
http://www.mulawa.net/mulawa/magic/5cards.html (versión online).
http://itunes.com/apps/pidaymagic (app gratuito para iphone).
22
8.
LA MEZCLA FARO
Juego 1: orden en el Universo
Material necesario:
Nueve cartas del mismo palo.
Instrucciones:
♠ Coloca las cartas del as al nueve en un montón sobre la mesa según el orden indicado en la
figura (el as será la carta que muestre su cara).
♠ Corta por cualquier lugar y completa el corte.
♠ Manteniendo las cartas caras abajo, separa las cartas en dos montones, repartiendo sobre la
mesa, alternativamente, una carta a la izquierda y una a la derecha.
♠ Junta los montones colocando uno de ellos sobre el otro.
♠ Repite las mismas operaciones anteriores dos veces más (con el objeto de desordenar
completamente las cartas).
♠ Observa la carta superior del paquete y pasa de arriba abajo tantas cartas como indique su
número.
♠ Abre en abanico todas las cartas.
¿No es sorprendente? Las fuerzas del Universo logran finalmente el orden inicial.
Explicación:
¿En qué consiste una mezcla faro o mezcla perfecta? ¿Qué propiedades matemáticas de dicha
mezcla hacen que todas las cartas vuelvan a ordenarse? ¿Qué propiedades similares se cumplen
para cantidades diferente de cartas?
Juego 2: la Luna
Material necesario:
Ocho cartas, siete de las cuales serán negras y una roja.
Instrucciones:
♠ Mezcla cara arriba las ocho cartas. Bien mezcladas.
♠ Reparte las cartas sobre la mesa en dos montones, alternativamente a la derecha y a la
izquierda, y fíjate bien en qué montón está la carta roja, pero no me lo digas.
♠ Mezcla el paquete que contiene la carta roja, vuelve a dejarlo sobre la mesa y coloca el otro
paquete sobre éste.
♠ Vuelve a repartir sobre la mesa dos montones de forma alternada y vuelve a fijarte en qué
montón está la carta roja. No me des ninguna pista.
♠ Mezcla el paquete que no tiene la carta roja y colócalo, esta vez caras abajo, sobre el otro.
Parece imposible saber cómo están las cartas y, en efecto, es imposible.
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♠
♠
♠
♠
Reparte por última vez dos montones sobre la mesa, alternativamente a derecha e izquierda.
Coloca el paquete que no tiene la carta negra sobre el otro (sin voltear las cartas).
Recoge todas las cartas y gira todo el paquete.
Ahora cierra los ojos y deja fluir tu subconsciente. Separa la primera carta y sóbala un poquito.
¡No, apártala! No es tu carta.
♠ Separa la siguiente y manoséala también. ¡No la mires! Tampoco es la que buscamos.
♠ Separa la siguiente. ¡Ahora sí, siento que sientes algo especial! ¡¡ES LA CARTA ROJA!!
Explicación:
¿Qué efecto producen los sucesivos repartos sobre la carta roja? ¿Puedes modificar el método de
alguna forma para que la carta pase a ocupar otra posición diferente?
Juego 3: con ocho cartas
Material necesario:
Ocho cartas, siendo la superior de dorso distinto que las demás y un sobre donde está escrito el
valor de la carta de distinto dorso.
Instrucciones:
♠ Abre las cartas en abanico, caras hacia el espectador (sin dejar ver que la primera tiene distinto
dorso), para que elija una de ellas libremente, sin nombrarla, y recuerde también el lugar que
ocupa (empezando a contar desde la carta superior, que es la de distinto color).
♠ Cierra el abanico y desplaza las cartas como sigue: la primera carta la desplazas hacia arriba, la
segunda hacia abajo, la tercera hacia arriba, la cuarta hacia abajo, y así sucesivamente.
♠ Extrae las cartas que sobresalen por arriba y pregunta al espectador si está su carta entre ellas.
Si su respuesta es SÍ, devuelves ese grupo de cartas SOBRE el resto recomponiendo el paquete.
Si su respuesta es NO, recompones el paquete devolviendo este grupo BAJO el otro.
♠ Repite el proceso dos veces más: separar el paquete en dos montones, carta hacia arriba, carta
hacia abajo, …, extraer el montón superior, preguntar al espectador si su carta está entre ellas,
devolver este paquete sobre o bajo el otro (según que su respuesta sea positiva o negativa) y
recomponer el paquete de ocho cartas.
♠ Anuncia a continuación que la carta pensada ocupa ahora la posición superior. Abre las cartas
en abanico, caras hacia el público, para comprobar este hecho. Mientras tanto, calcula
disimuladamente el lugar que ocupa ahora la carta de distinto dorso.
♠ Puedes entonces anunciar que sabes el número pensado por el espectador, ya que coincide
con la posición de la carta de distinto dorso.
♠ Incluso puedes demostrar que sabías qué carta ocuparía la posición del número pensado por el
espectador. Muestra el sobre y deja que comprueben lo escrito. Termina haciendo creer que
puedes cambiar el dorso de la carta elegida.
Explicación:
¿Qué propiedades de la mezcla faro se aplican en esta situación? ¿Con qué otra cantidad de cartas
se consigue el mismo efecto?
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
24
9.
LA MEZCLA AUSTRALIANA
Juego 1: predicción cartomágica
Material necesario:
Una baraja de cartas.
Instrucciones:
♦ El mago escribe una predicción en una hoja de papel, pide a un espectador que nombre un
número, digamos entre 10 y 30, y reparte sobre la mesa tantas cartas como el número elegido.
♦ Mezcla dichas cartas y entrega el paquete al espectador para que realice las siguientes
operaciones:
Colocar la carta superior en la parte inferior del paquete.
Retirar la siguiente carta.
Repetir los pasos 1) y 2) hasta que sólo quede una carta en el paquete.
♦ El mago muestra ahora el contenido de la predicción y confirma que coincide con la única carta
que ha quedado en el proceso de eliminación.
Explicación:
¿Cómo determinar de antemano la carta que quedará al final del proceso? ¿Qué relación tiene la
aritmética binaria con la mezcla descrita? ¿Se puede hacer con cualquier cantidad de cartas?
Juego 2: por teléfono
Material necesario:
Una baraja francesa (con 52 cartas).
Instrucciones:
♦ El mago pide a un espectador que elija tres cartas de una baraja francesa y que, con el resto,
forme tres montones sobre la mesa (caras abajo). De izquierda a derecha: montón A con 10
cartas, montón B con 15 cartas y montón C con 15 cartas. Quedarán en la mano nueve cartas.
♦ A continuación, le indica que realice las siguientes operaciones:
Dejar la primera carta elegida sobre el montón A y taparla con algunas cartas de B.
Dejar la segunda carta elegida sobre el montón B y taparla con algunas del montón C.
Dejar la tercera carta elegida sobre el montón C y taparla con las nueve restantes.
Reunir de nuevo los montones, colocando el B sobre el A y el C sobre el resto. A
continuación pasar cuatro cartas de arriba abajo.
Hacer dos montones sobre la mesa repartiendo sucesivamente una carta cara arriba (en un
montón) y una carta cara abajo (en otro montón), una carta cara arriba (en el primer
montón) y una carta cara abajo (en el segundo montón) hasta que se acaben las cartas.
Ninguna de las elegidas está cara arriba.
Repetir el proceso de eliminación con el montón de cartas cara abajo. Nuevamente
ninguna de las elegidas está cara arriba.
Repetir el mismo proceso hasta que sólo quedan tres cartas caras abajo. Al volverlas
resultan las tres elegidas.
25
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
Entre la matemática y la magia: la leyenda de Josefo y la mezcla australiana, Pedro Alegría.
Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias, vol. 9 (2012), 410-421.
Rincón matemágico de Divulgamat, número 28.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=1
0627:28-mayo-2006-salvado-por-las-matematicas&catid=63:el-rincatemco&directory=67
The Down Under deal, Colm Mulcahy. Card Colm, MAA (2005).
http://www.maa.org/columns/colm/cardcolm200504.html
26
10.
EL PRINCIPIO DE GILBREATH
Juego 1: colores simpáticos
Material necesario:
Una baraja de cartas.
Instrucciones:
♣ Prepara un grupo de 20 cartas, 10 rojas encima y 10 negras debajo. Ábrelas en abanico dorsos
hacia ti y pide a un espectador que empuje ligeramente hacia arriba 10 cartas cualesquiera.
♣ Simulando que te aseguras de que haya exactamente 10 cartas, las vas retirando del paquete y
dejando caras abajo sobre la mesa (así se invierte el orden de las mismas). Cierra el abanico de
las otras 10 y deja también el paquete al lado del anterior.
♣ Asegura que, a pesar de la elección libre del espectador, los colores de las cartas de cada
montón están ordenados: si en un montón una carta es roja, la correspondiente del otro
montón es negra.
♣ Comprueba lo dicho mostrando por pares las cartas de cada montón.
Explicación:
¿Qué información sobre la distribución inicial de una baraja permanece tras una mezcla
americana?
Juego 2: números irracionales
Material necesario:
Una baraja de cartas mezclada de forma que todas las cartas estén alternadas, una cara arriba,
una cara abajo, y así sucesivamente.
Instrucciones:
♣ Entrega la baraja a un espectador para que haga una mezcla por hojeo (o mezcla americana).
Enseña el efecto producido: ya no habrá uniformidad entre cartas cara arriba y cartas cara
abajo.
♣ Coloca la baraja en una bolsa o lugar oculto y pide a un espectador que seleccione un número
irracional (digamos pi).
♣ Ahora vas sacando cartas por parejas, con el siguiente resultado: las tres primeras parejas
contienen dos cartas del mismo sentido (ambas cara arriba o ambas cara abajo); la siguiente
pareja contiene dos cartas de sentido contrario; las siguientes cuatro parejas contienen cartas
del mismo sentido; la siguiente pareja contiene dos cartas de sentido contrario; así
sucesivamente. Pide al espectador que escriba los números correspondientes: 3 – 1 – 4 – 1 …
♣ El resultado final contiene las primeras cifras del número pi.
Explicación:
Como aplicación del principio de Gilbreath, cuando el espectador realiza la mezcla, al cortar por
dos cartas del mismo sentido, sabemos que cada pareja contiene dos cartas de sentido contrario.
27
Al colocar las cartas en la bolsa, sólo tenemos que girar una de las cartas de la pareja cuando
queremos que salgan en el mismo sentido, y las sacamos como están cuando queremos que
aparezcan en sentido contrario.
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
The first Norman invasion, Colm Mulcahy. Card Colm, MAA (2005).
http://www.maa.org/columns/colm/cardcolm200508.html
28
11.
EL PRINCIPIO DEL NUEVE
Juego 1: la numeración de los euros
Material necesario:
Un billete de cualquier cantidad de euros y el programa “billete.html”.
Instrucciones:
o Las indicadas en el programa. El ordenador adivinará una cifra del billete conocidas las demás.
Explicación:
¿Qué papel juega la letra en la numeración de los billetes? ¿Cómo se relaciona con la regla de
divisibilidad del nueve? ¿Puedes realizar el juego sin necesidad del programa de ordenador?
Referencias:
Rincón matemágico de Divulgamat, número 69:
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/69seriebillete.html
Juego 2: con todas las cifras
Material necesario:
Programa “decimales.html”.
Instrucciones:
o Las indicadas en el programa.
Explicación:
¿Qué propiedad aritmética se aplica en este juego? ¿Cómo se relaciona con la regla de divisibilidad
del nueve? ¿Puedes realizar el juego sin necesidad del programa de ordenador?
Referencias:
Rincón matemágico de Divulgamat, número 29:
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/decimal.html
Juego 3: la prueba del nueve
Material necesario:
Programa “pnueve.html”.
Instrucciones:
o Las indicadas en el programa.
29
Explicación:
¿Hay alguna relación entre este juego y el anterior? ¿Puedes realizar el juego sin necesidad del
programa de ordenador?
Referencias:
Rincón matemágico de Divulgamat, número 15:
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/PruebaNueve.html
Juego 4: la tabla del nueve
Material necesario:
Una cartulina impresa como la figura adjunta:
Instrucciones:
♥ Escribe en una hoja de papel un número de dos cifras (por ejemplo, 15).
♥ Escribe debajo la suma de las cifras del número anterior (en nuestro ejemplo, 1+5=6).
♥ Realiza la resta entre los números escritos (15 - 6 = 9).
♥ Busca en la tabla el símbolo correspondiente al resultado de la operación.
♥ Estoy seguro que has caído en el tres de corazones.
Explicación:
¿Por qué se obtiene el mismo resultado final para cualquier elección inicial? ¿Cómo harías para
poder repetir el juego?
Referencias:
Rincón matemágico de Divulgamat, número 44:
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/TablaNueve.html
An arithmetic magic trick, portal Cut-the-knot.
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Magic/MindReaderNine.shtml
30
Juego 5: con calculadora
Material necesario:
Una calculadora de bolsillo y una baraja.
Instrucciones:
♥ Entrega la calculadora a un espectador para que elija los tres dígitos de cualquier fila, columna
o diagonal del cuadrado formado por las cifras del 1 al 9 y que escriba en un papel esas tres
cifras en el orden que quiera (por ejemplo, si elige la columna central, puede escribir
cualquiera de los números 852, 825, 582, 528, 285 ó 258). A continuación debe pulsar la tecla
de multiplicación “x”.
♥ Pide a un segundo espectador que realice la misma operación con otra fila, columna o diagonal
diferente y que pulse la tecla de igual “=”.
♥ Entrega la baraja a un tercer espectador para que busque y retire cartas de cualquier palo pero
cuyo valor coincida con las cifras del resultado final (por ejemplo, si el resultado es 45660,
sacaría un cuatro, un cinco y dos seises pues no hay cartas con valor igual a cero).
♥ Pide ahora al espectador que oculte una de dichas cartas y te muestre las demás. Casi
inmediatamente puedes adivinar el valor de la carta oculta.
Explicación:
¿Por qué el resultado de la multiplicación es siempre múltiplo de nueve? ¿Qué propiedad cumplen
los múltiplos de nueve? ¿Qué pasa si se quita una cifra a un múltiplo de nueve?
31
12.
EL PRINCIPIO DE PARIDAD
Juego 1: una en cada mano
Material necesario:
Dos monedas, una de 1 euro y una de 2 euros.
Instrucciones:
♠ Coloca en una mano una moneda de un euro y en la otra una moneda de dos euros.
♠ Multiplica por cinco el valor de la moneda de la mano derecha y por ocho el valor de la
moneda de la mano izquierda.
♠ Suma ambos resultados.
♠ Basta que me digas el resultado de la suma para saber qué moneda tienes en cada mano.
Explicación:
¿Se pueden cambiar los números con los que multiplicar los valores de las monedas? ¿Se pueden
cambiar los valores de las monedas?
Referencias:
Two numbers guessing game, portal Cut-the-knot.
http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/rapid/TwoNumbers.shtml
Rincón matemágico de Divulgamat, número 47.
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/MagiaRenacimiento.html
Versión interactiva: “chuquet.html”.
Juego 2: encuentra la dama
Material necesario:
Siete cartas, una de las cuales será la dama de corazones.
Instrucciones:
♠ Coloca las siete cartas sobre la mesa, en una fila caras arriba.
♠ Vamos a numerar las posiciones de las cartas empezando a contar desde la izquierda. De esta
manera, sabrás el lugar que ocupa la dama pero yo no puedo saberlo.
♠ Por si acaso tengo alguna información, vas a mezclar más la dama. Para ello, cada vez que te
pida mover la dama, lo que harás será intercambiar la posición de la dama con la de cualquier
carta adyacente a ella (es decir, con la de su derecha o con la de su izquierda).
♠ En primer lugar, mueve la dama tantas veces como el lugar que ocupaba inicialmente. Es decir,
si la dama estaba al principio en quinto lugar, contando desde la izquierda, vas a intercambiar
la dama con una carta adyacente a ella cinco veces.
♠ A continuación mueve la dama dos veces más. Creo que en este momento, no has colocado la
dama en ninguna de las esquinas, de modo que retira las cartas de la izquierda y la derecha.
Seguiremos el juego sólo con cinco cartas.
32
♠
Mueve la dama tres veces más. ¡Vaya!, creo que ha vuelto a huir de las esquinas. Si es así,
retira del juego las cartas de los extremos. Ya sólo quedan tres cartas y la dama entre ellas.
♠ Mueve ahora la dama una vez. Es seguro que ahora no está en el extremo izquierdo así que
retira la carta de la izquierda.
♠ Mueve la dama una última vez. A pesar de todos sus movimientos, sé que está a la derecha.
Explicación:
¿Cómo varía la paridad de las distintas posiciones de la dama durante el proceso? ¿Puedes
cambiar el proceso para descubrir la dama?
33
13.
PRINCIPIO DE LOS DOBLECES
Juego 1: X-O-X
Material necesario:
16 fichas o cartulinas que tienen dibujado el símbolo X en una cara y el símbolo O en la otra.
Instrucciones:
♦ Coloca las fichas en un cuadrado de 4x4 de forma que muestren alternativamente X y O, como
se ve en el cuadro siguiente:
X
O
X
O
O
X
O
X
X
O
X
O
O
X
O
X
♦ Supón que es un papel que se puede doblar por las líneas de puntos. Dóblalo por la línea que
quieras. Supongamos que lo haces por la roja. Tendrías que dar la vuelta a cada ficha de la fila
superior y colocarla sobre la que está justo debajo (así la ficha que mostraba el símbolo X
mostrará ahora el símbolo O y viceversa).
♦ Sigue “doblando” por cualquiera de las líneas restantes, sucesivamente, hasta que queden
agrupadas todas las fichas en un solo montón.
♦ Y ahora fíjate lo que ha pasado: si extiendes las fichas, ¡todas muestran el mismo dibujo! Se
verán por un lado todas las X y por el otro todas las O.
Alternativa:
♦ Coge un trozo de papel cuadrado. Dóblalo por la mitad y marca bien el pliegue. Ahora dobla
cada mitad otra vez por la mitad, marcando los pliegues. Repite lo mismo en el otro sentido, y
tendrás un papel “dividido” en 16 cuadraditos. Rellénalo alternativamente con X y O.
♦ Ahora dices que lo vas a ir plegando por donde te indiquen, hasta dejarlo reducido a un
paquetito del tamaño de un cuadradito.
♦ Pide que te digan por dónde lo tienes que doblar, y dóblalo por ahí. En esta primera ocasión
hay 6 posibilidades (3 en horizontal y 3 en vertical). Sigue preguntando y doblando, hasta que
quede del tamaño de un cuadradito.
♦ Ahora, con una tijera corta, o pide que corten, los bordes del cuadradito. ¡OJO! Sólo los
bordes. Si extiendes los cuadrados resultantes, las X estarán en un sentido, por ejemplo cara
arriba, y las O estarán en el otro sentido.
34
Explicación:
¿Qué efecto en la paridad de los símbolos produce el giro de las fichas? ¿Y sobre la posición de las
fichas en el cuadro? ¿Por qué cada símbolo está separado un número impar de lugares con fichas
del símbolo contrario y un número par de veces con fichas del mismo símbolo? ¿Qué pasa si,
inicialmente, se colocan los símbolos X a un lado y los símbolos O al otro? ¿Se te ocurren otras
variantes, otros tamaños del cuadro?
Juego 2: el cuadrado mágico
Material necesario:
Una hoja de papel cuadrada y un sobre cerrado en cuyo interior hay una hoja de papel donde está
escrito el número 68.
Instrucciones:
♦ Dobla el papel por la mitad y marca bien el pliegue. Ahora dobla cada mitad otra vez por la
mitad, marcando los pliegues. Repite lo mismo en el otro sentido, y tendrás un papel
“dividido” en 16 cuadraditos. Escribe en cada cuadradito un número del 1 al 16 de forma que
quede un cuadrado mágico (aprende algún método sencillo para realizarlo). Una disposición
válida sería la siguiente:
1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
3
2
16
♦ Entrega al espectador la hoja de papel para que lo vaya plegando por las zonas dobladas, hasta
que quede un paquete del tamaño de un cuadradito. Mientras lo hace, explica que el sobre
contiene una predicción.
♦ Recorta con unas tijeras los bordes del cuadradito para poder separar sus 16 capas. Al
extenderlas, pide al espectador que sume los números que están cara arriba. Por último, pide
que comprueben que dicha suma coincide con la predicción contenida en el sobre.
Explicación:
¿Por qué siempre se obtiene el mismo resultado? ¿Qué similitudes o diferencias tiene este juego
respecto al anterior? ¿Qué pasa si el cuadrado mágico es de orden impar?
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
35
14.
CUADRADOS MÁGICOS REVERSIBLES
Juego 1: elige y tacha
Material necesario:
Una hoja de papel.
Instrucciones:
♣ Dibuja un cuadrado de tamaño 4 x 4 y rellena todos los cuadros con las cifras 1 al 16, siguiendo
el orden natural, como se indica a continuación.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
♣ Señala un número cualquiera del cuadrado y tacha los demás números que estén en la misma
fila y columna que el número señalado.
♣ Repite esta operación tres veces más: cada vez elegirás un número que no esté ya elegido ni
tachado (en el último paso sólo puedes elegir un único número, pues todos los demás ya han
sido elegidos o tachados).
♣ Finalmente, suma los cuatro números elegidos.
A pesar de la libertad con la que has realizado las operaciones, soy capaz de adivinar que el
resultado de la suma es 34.
Explicación:
¿Qué números son los que quedan seleccionados al final? ¿Por qué es constante su suma,
independientemente de su elección? ¿Qué propiedades generales poseen las matrices que
cumplen dicha propiedad? ¿Puedes encontrar fácilmente matrices de este tipo y tamaño
arbitrario?
Versión interactiva: programa “matrix.exe“.
Juego 2: el calendario
Material necesario:
Un calendario de pared (donde aparezca un mes en cada página).
Instrucciones:
♣ Forma un cuadrado de tamaño 4 x 4.
36
♣ Encierra en un círculo cualquier número del cuadrado elegido y tacha todos los números de su
misma fila y columna.
♣ Encierra en un nuevo círculo cualquier número no tachado y tacha todos los que se
encuentren en su misma fila y columna.
♣ Repite el proceso hasta que queden seleccionados cuatro números.
♣ Suma los cuatro números seleccionados.
Conocida la suma, el mago es capaz de saber los números que forman el cuadrado elegido.
Explicación:
¿Qué operación debes realizar para conocer los números del cuadro, dada la suma? ¿Qué
característica general presenta la disposición de los números en los calendarios? ¿Cómo varían las
operaciones si se construyen cuadrados de tamaño 3 x 3?
Versión interactiva: programa “calendar.html“.
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
Rincón matemágico de Divulgamat, número 66.
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/66anticalendar.html
37
15.
EL CARTEL MÁGICO
Juego 1: supermemoria
Material necesario:
Una hoja grande de papel o cartel impreso según la siguiente imagen:
31
18
10
27
14
31
18
10
27
14
31
18
12
24
16
28
20
12
24
16
28
20
12
24
13
30
22
9
26
13
30
22
9
26
13
30
19
11
23
15
32
19
11
23
15
32
19
11
25
17
29
21
8
25
17
29
21
8
25
17
31
18
10
27
14
31
18
10
27
14
31
18
12
24
16
28
20
12
24
16
28
20
12
24
13
30
22
9
26
13
30
22
9
26
13
30
Instrucciones:
♥ Muestra el cartel y asegura que eres capaz de memorizar todos sus números.
♥ Contigo de espaldas, indica a tu amigo que, con algún papel adhesivo, debe cubrir uno
cualquiera de los números del cuadro. Una vez realizado, te vuelves de cara y, de un rápido
vistazo, averiguas el número oculto.
♥ Explica que vas a intentar algo más difícil: calcular la suma de los cuatro números que formen
un cuadrado. Te vuelves otra vez de espaldas y pides a tu amigo que elija ahora un cuadrado
de tamaño 2 x 2, sume los valores de los cuatro números y oculte todos los números de dicho
cuadrado. Al volverte cara al cuadro puedes adivinar rápidamente la suma de dichos números.
Explicación:
¿Qué características especiales tiene el cuadrado de números con las que conocer cualquier
número oculto? ¿En qué lugar del cuadro tienes alguna pista para saber rápidamente la suma de
los cuatro números de un cuadrado arbitrario?
38
Juego 2: el megacuadrado
Material necesario:
Programa “cartelon.html”
Instrucciones:
o Las indicadas en el programa.
Explicación:
¿Cómo afecta el método de selección de los números de cada fila y columna en el resultado final
de la suma? ¿Qué proceso de formación se ha utilizado en la construcción del megacuadrado?
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
39
16.
EL JUEGO DE LAS PESADAS
Juego 1: el problema de la moneda falsa
Material necesario:
Acceso a la página
http://www.iespravia.com/rafa/la%20moneda%20falsa/monedas.htm
Instrucciones:
Te entregan una cantidad de bolas idénticas en tamaño y apariencia pero una de ellas es
ligeramente más pesada o más ligera que el resto. ¿Cómo descubrir la bola falsa con el menor
número de pesadas en una balanza? ¿Es posible saber también si la falsa es más pesada o más
ligera que el resto?
Explicación:
¿Cuál es el número máximo de monedas para las que dos pesadas son suficientes? ¿Y para tres
pesadas? ¿Cuál es la relación del problema con la aritmética ternaria?
Referencias:
Rincón matemágico de Divulgamat, número 54.
http://divulgamat2.ehu.es/html/archivos/2008octubre.html
Juego 2: la carta falsa
Material necesario:
Las trece cartas de picas, un clip y el programa “13cartas.exe” (sólo funciona con Windows XP).
Instrucciones:
Pide a un espectador que siga las instrucciones indicadas en el programa y responda
sinceramente. La rutina tiene tres partes de modo que, cuando el ordenador pregunte ¿una vez
más?, el espectador debe responder "sí" para verlo completamente.
Explicación:
¿Son suficientes tres pesadas para distinguir si un objeto es más pesado o más ligero entre un
conjunto de trece objetos? Si no se sabe que el objeto falso es más pesado o más ligero que los
demás, ¿son suficientes tres pesadas para distinguirlo?
Referencias:
http://www.online-visions.com/effects/0806werner.html
Rincón matemágico de Divulgamat, número 98.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=1
4470:98-octubre-2012-pesando-cartas&catid=63:el-rincatemco&directory=67
40
17.
APUESTAS GANADORAS
Juego 1: con números primos
Material necesario:
Una baraja de cartas.
Instrucciones:
♦ Entrega a un espectador un número primo p de cartas (por ejemplo, p = 5, 7, 11, 13, 17, …)
para que elija una de las cartas y la coloque sobre las demás. A continuación debe elegir un
número n menor que p y realizar las siguientes operaciones.
Pasar una a una n cartas de arriba abajo del paquete y girar cara arriba la carta que ha
quedado encima, dejándola nuevamente arriba.
Repetir el proceso anterior: pasar n cartas de arriba abajo de la baraja y girar la nueva carta
superior, dejándola otra vez arriba. No importa si la carta está cara arriba o cara abajo:
simplemente se gira la carta que corresponda.
♦ Después de que el espectador haya realizado la operación p – 1 veces, se habrán girado p – 1
cartas. Casualmente, o quizá mágicamente, todas las cartas giradas estaban cara abajo. Sólo
queda una carta cara arriba.
♦ Pero hay más, ¡la única carta cara arriba es la elegida!
Sugerencias:
El juego se puede presentar como una apuesta: Se van a pasar tantas cartas de arriba abajo como
el número pensado y, si la última está cara abajo, pierde el espectador y la gira cara arriba,
poniéndola arriba. Si ya está cara arriba, pierde el mago. La primera vez va a perder el espectador
seguro, pero el proceso se va a repetir hasta que pierda el mago o estén todas cara arriba. La
apuesta será de 50 euros del mago contra 1 céntimo del espectador la primera vez, contra 2
céntimos la segunda, etc.
Para controlar las ganancias y pérdidas del espectador, se puede utilizar el programa
“cararriba.exe”.
Explicación:
¿Puede ser múltiplo de p alguno de los valores n, 2n, 3n, …, (p – 1)n (con n < p)? ¿Qué efecto
produce esta propiedad en el proceso anterior?
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
41
Juego 2: apuesta exponencial
Material necesario:
Una baraja de cartas. Puedes apoyarte también en el programa “cararriba.exe”.
Instrucciones:
♦ Pide a un espectador que separe doce cartas de la baraja y escoja un número del uno al doce
(digamos por ejemplo el seis). A continuación reparte sobre la mesa dos manos de cartas, cara
abajo, alternativamente a izquierda y derecha, pero reparte cara arriba la carta que ocupa el
lugar elegido (en nuestro ejemplo será la sexta). Por último, coloca el primer montón sobre el
segundo para recomponer el paquete.
♦ Ahora viene la apuesta: el proceso anterior se realizará sucesivas veces; cada vez que la sexta
carta repartida esté cara arriba, entregarás al espectador 100 euros; sin embargo, si dicha
carta está cara abajo, el espectador te entregará 1 euro la primera vez, 2 euros la segunda, y
así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez que eso suceda.
♦ Intenta explicar bien que, a medida que el juego avanza, el espectador tiene más posibilidades
de ganar pues cada vez hay más cartas cara arriba y arriesga cantidades ostensiblemente
menores que tú. Trátale de convencer de la gran ventaja que tiene pues no tocarás las cartas
en ningún momento (pero evidentemente sí controlarás que todo se realice con precisión).
Ya puedes imaginar que no perderás nunca y el espectador pierde en total 1 + 2 + 4 + 8 + … + 1024
= 2047 euros.
Explicación:
¿Por qué funciona con cualquier número? ¿Tienen que ser 12 cartas? ¿Qué tipo de mezcla se
realiza con la baraja durante el proceso?
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
Blog “magiaporprincipios.blogspot.com“, agosto de 2011.
http://magiaporprincipios.blogspot.com.es/2011/08/apuesta-exponencial-perdedora.html
42
18.
CURIOSIDADES NUMÉRICAS
Juego 1: el número cíclico
Material necesario:
Un sobre alargado y una tira de papel de longitud igual al doble que la del sobre en la que están
escritas las cifras 1 4 2 8 5 7, y se han pegado los extremos para formar una banda circular. La
banda se dobla por la mitad y se introduce en el sobre, como se indica en la figura.
Una baraja en la que las cartas 1, 4, 2, 8, 5, 7, 3, 6 y 9 del mismo palo, por ejemplo de picas, están
en la parte inferior (en ese orden).
Un dado imaginario, unas tijeras y una calculadora.
Instrucciones:
♠ Deja a la vista el sobre cerrado indicando que contiene una predicción.
♠ Entrega la baraja a un espectador para que haga una mezcla americana (que consiste en dividir
la baraja en dos partes y, arrastrando cada paquete con los pulgares, imbricar entre sí los dos
montones). A continuación, con las cartas caras arriba, debe separar las seis primeras cartas de
picas que se encuentre, con valor numérico, y formar una fila sobre la mesa. Con esto
conseguirás que dichas cartas sean precisamente 1-4-2-8-5-7. Anota el número obtenido en
una calculadora.
♠ Entrega el dado imaginario a otro espectador para que lo lance y anuncie el valor obtenido.
Multiplica dicho valor por lo anotado en la calculadora.
♠ Pide el sobre y utiliza las tijeras para cortar la cinta por el lugar adecuado para mostrar una tira
de papel que contiene el mismo número que el resultado del producto.
Explicación:
¿Qué efecto produce la multiplicación del número 142857 por alguno de los valores entre 1 y 6?
¿Qué relación tiene este número con el periodo de 1/7? ¿Puedes encontrar otros números con
esta propiedad?
43
Juego 2: divisiones exactas
Material necesario:
Una calculadora.
Instrucciones:
♣ Escribe en la calculadora un número de tres cifras y, a continuación, el mismo número. De este
modo obtienes un número de seis cifras.
♣ Divídelo por 7. ¡Sale exacto!
♣ Divide el resultado por 11. ¡Nuevamente la división es exacta!
♣ Divide el nuevo resultado por 13. ¡Otra vez exacto!
♣ Como sorpresa final, resulta que el número obtenido después de dividir por dichos divisores
vuelve a ser el de partida.
Explicación:
¿Qué propiedades de divisibilidad se deducen del resultado anterior? ¿Puedes encontrar
propiedades similares con números de dos cifras, o de cuatro cifras? ¿Cómo lo adaptarías para
inventar un juego de magia?
Juego 3: el 1089
Material necesario:
Una hoja de papel.
Instrucciones:
♣ Escribe en la hoja un número de tres cifras distintas.
♣ Debajo del número anterior escribe el mismo número pero con las cifras escritas de derecha a
izquierda (por ejemplo, si el primero es 365, el segundo será 563).
♣ Resta ambos números, olvidándote del signo.
♣ Debajo del resultado, escribe el mismo número obtenido pero con las cifras escritas de
derecha a izquierda.
♣ Suma estas dos cantidades.
♣ ¡El resultado es 1089!
Explicación:
¿Por qué debe tener el número inicial las tres cifras distintas? ¿Por qué sale siempre el mismo
resultado? ¿Hay algún resultado similar con números de cuatro cifras?
Referencias:
La matemagia desvelada, de Juan Carlos Ruiz de Arcaute y Pedro Alegría.
Revista SIGMA, 21 (2002), 145-174.
Circo matemático, de Martin Gardner. Alianza Editorial, 1989.
44
19.
AGUJEROS NEGROS
Juego 1: cuadro de colores
Material necesario:
La imagen de la figura.
5 13 15 4
6 16 8 7
10 1 2 9
12 11 14 3
Instrucciones:
Muestra el cuadro a todos los espectadores y les pides que sigan las siguientes indicaciones.
♥ Selecciona cualquier cuadro.
♥ Desplázate horizontal o verticalmente hasta el número impar más próximo (si ya estás sobre
un número impar, no debes moverte).
♥ Desplázate a izquierda o derecha hasta el número par más próximo.
♥ Desplázate arriba o abajo hasta el número impar más próximo.
♥ Desplázate diagonalmente hasta el número par más próximo.
♥ Desplázate abajo o a la izquierda hasta el número impar más próximo.
♥ Observa el color del cuadro en que te encuentras. Irremediablemente has caído en un agujero
negro (el único cuadro de color negro).
Explicación:
¿Qué alternativas se ofrecen en cada paso del proceso? ¿Hay verdadera libertad de movimientos?
¿Podrías adaptarlo a otra distribución de números?
45
Juego 2: otro cuadro de colores
Material necesario:
La figura ilustrada en la figura adjunta:
Instrucciones:
Observa el tapiz de la figura. Vas a recorrerlo de forma completamente libre pero, para
asegurarnos de que disfrutas de todos los colores, obedece las siguientes indicaciones (en cada
paso vas a empezar desde el lugar al que has llegado en el paso anterior):
♥ Colócate en cualquier cuadro amarillo.
♥ Desplázate a izquierda o derecha hasta cualquier cuadro morado.
♥ Desplázate hacia arriba o hacia abajo hasta cualquier cuadro verde.
♥ Desplázate ahora diagonalmente hasta cualquier cuadro rojo.
♥ Desplázate por último a izquierda o derecha hasta cualquier cuadro amarillo.
¿Te ha parecido que actuabas con libertad? No es así, he estado influyendo en tu mente. Sé dónde
has terminado el recorrido. Se trata del cuadro amarillo de la fila inferior.
Explicación:
A pesar de que las instrucciones no parecen restrictivas, ¿por qué se puede controlar el resultado
final?
Referencias:
Magia por principios, de Pedro Alegría (2008).
Rincón matemágico de Divulgamat, número 31.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=1
0630:31-septiembre-2006-el-cuadro-de-colores&catid=63:el-rincatemco&directory=67
46
Juego 3: el ciento veintitrés
Material necesario:
Una hoja de papel.
Instrucciones:
Escribe un número arbitrario
Cuenta el número de cifras pares,
de cifras impares
y el total de cifras.
Forma un nuevo número con estos valores, en ese orden.
Repite las operaciones anteriores con el número obtenido,
sucesivas veces …
hasta que no haya variación en el resultado.
Comprueba entonces que has llegado al número 123.
EJEMPLO
2335839304304
6
7
13
6713
1
3
4
134
123
123
Explicación:
¿Cuál es el argumento que explica esta propiedad? ¿Puedes encontrar otras propiedades
similares?
Referencias:
Magia y agujeros negros, de Pedro Alegría. Revista SIGMA 30 (2007), 117-129.
Rincón matemágico de Divulgamat, número 33.
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=1
0632:33-noviembre-2006-agujeros-negros-numericos&catid=63:el-rincatemco&directory=67
47
20.
CON MONEDAS
Juego 1: nueve mágico
Material necesario:
16 monedas iguales dispuestas como en la figura adjunta.
Instrucciones:
♠ Piensa un número mayor de 9.
♠ Desde la moneda número uno, recorre tantos pasos como indica el número pensado. Una vez
dentro del círculo, seguirás el movimiento contrario al de las agujas del reloj. Si el número
pensado es menor o igual a 16, llegarás a la moneda marcada con dicho número. Si es mayor
que 16, seguirás dando vueltas al círculo hasta llegar a una de las monedas. Por ejemplo, si has
pensado el 22, a la cuenta de 17 llegarás a la moneda número 4, a la cuenta de 18 llegarás a la
moneda número 5, y así sucesivamente, a la cuenta de 22 llegarás a la moneda número 9.
♠ Desde esta última posición, recorre nuevamente el círculo de monedas, esta vez en el sentido
de las agujas del reloj, y tantos pasos como el número pensado al principio.
Ahora puedo saber que has llegado a la moneda marcada con el número 13.
Explicación:
¿Cómo cambia el resultado final si aumentas o disminuyes el número de monedas que componen
el círculo? ¿Y si cambias el número de monedas que forman la cola del nueve?
Referencias:
Rincón matemágico de Divulgamat, número 63:
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=1
0031:63-julio-2009-concurso-del-verano-2009&catid=63:el-rincatemco&directory=67
48
Juego 2: cara o cruz
Material necesario:
Unas cuantas monedas.
Instrucciones:
♠ Pide a un espectador que saque unas cuantas monedas y las deje sobre la mesa.
♠ Secretamente cuenta el número de monedas que están de cara: si hay un número par,
recuerda el número cero; si hay un número impar, recuerda el número uno.
♠ Vuélvete de espaldas y pide al espectador que vaya volviendo una a una las monedas que
desee, indicándote únicamente con la palabra “VOLTEO“ cada vez que vuelva una moneda.
♠ Secretamente, cambia el valor del número que has pensado cada vez que el espectador vuelva
una moneda, pasando alternativamente del uno al cero.
♠ Cuando el espectador lo desee, tapa una de las monedas. Entonces te vuelves de cara. Cuenta
ahora el número de monedas de cara (como antes, si es par, recuerda el cero y, si es impar,
recuerda el uno). Compara el valor obtenido con el que has recordado con la cuenta anterior.
Si coinciden, la moneda oculta está de cruz; si no, está de cara.
Puedes repetir el juego con cualquier conjunto de monedas.
Explicación:
¿Cómo afecta la paridad del número de monedas de cara con cada volteo? ¿Se puede repetir el
juego con una cantidad diferente de monedas?
49

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