レナードペア

レナードペアとは
３重対角行列とは、対角成分およびそのすぐ上とすぐ下の成分以外は
すべてである正方行列のこと。３重対角行列が既約であるとは、対角
成分のすぐ上およびすぐ下の成分がすべてでないこと。
を考える。の
定義を体とし、上の線形空間
線形変換が次の２条件を満たすとき、を
上のレ
ナードペアという。
あるの基底が存在し、この基底に関して、を表す行列は対角
行列であり、を表す行列は既約な３重対角行列である。
あるの基底が存在し、この基底に関して、を表す行列は対角
行列であり、を表す行列は既約な３重対角行列である。
とし、
レナードペアの例
とおく。を
の線形変換とみなす。体の標数がではない
とき、は既約な３重対角行列となる。従っての標準基底
は条件を満たす。条件を満たす基底としては、例えば
をとるとよい。この基底に関するの行列はとなり、の行列は
となることが容易に確かめられる。従っては条件も満たす
ので、レナードペアであることがわかる。

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