補足プリント３：数学公式・順列・組み合わせ 松井宗也 南山大学経営学部 平成 27 年 4 月 29 日 0.1 数学公式・順列・組み合わせ 順列：順番に並べる並べ方 1⃝ 2⃝ 3 を並べる。先頭の選び方は 3 通り、次にくるのは残った 2 つのどれかだから 2 通り。最後は ⃝ 残った 1 つの選び方 1 通り。従って 3×2×1=6 通りとなる。n 個の異なったものの並び方も同様に考えて n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1 = n! 通り。記号 ! は階乗と呼ぶ。n 個の異なったものから r 個選び並べる並べ方は 1 番目、2 番目、. . .、r 番目に選ばれるものの候補の数を掛けあわせれば良い。r 番目には n − r + 1 個の候補があることに 注意して n! n Pr = n × (n − 1) × · · · × (n − r + 2) × (n − r + 1) = (n − r)! となる。P は Permutation を表す。 組み合わせ：n 個の異なるものから順番を考えずに r 個選び出す選び方。 1⃝ 2⃝ 3 から 2 つを選んで並べる並べ方は 3 P2 = 6 通り、 ⃝ 1 ⃝, 2 ⃝ 1 ⃝, 3 ⃝ 2 ⃝, 1 ⃝ 2 ⃝, 3 ⃝ 3 ⃝, 1 ⃝ 3 ⃝. 2 ⃝ 並び方の順序を考えないとすると、2 つものの並び方の 2! 分だけ余計に掛け算されている。したがっ て 6/(2!) = 3 通りが組み合わせの総数となる。より一般に n 個の中から r 個選んで並べた場合には、 選ばれた r 個の並び方の総数は r! だから、1 つの r 個からなる組み合わせにつき並び方が r!、つまり 同じ組み合わせが r! 個あることになる。従って組み合わせの総数は n Cr = n Pr r! = となる。C は Combination を表す。0! は 1 に注意。 1 n! r!(n − r)!
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