2015年度数式処理実習 [第9回] 極限と微分積分 1 極限

June 11, 2015
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2015 年度数式処理実習 [第 9 回] 極限と微分積分
極限
1
sin 3x
を考えよう．x ̸= 0 の時には，f (x) はきっちり定義されているが，f (0) は定義
x
されていない (分母は 0 にできないので)．
そこで極限の概念を思いだそう．一般に，x が限りなく a に近づくとき，f (x) が限りなく α (有限
確定値) に近づくとする．この時，α を「x が a に近づく時の f (x) の極限」といい， lim f (x) = α と
x→a
書く．
上の f (x) に対して，x → 0 の時の極限値 lim f (x) を求められる人は多いと思いますが，
「極限値に
関数 f (x) =
x→0
近づく様子」を図示したことがある人はあまりいないと思います．そこで，maxima でグラフを描い
てみましょう．
3
2.5
1.5
1
0.5
(%i1) plot2d(sin(3*x)/x,[x,-5,5]);
2
sin(3*x)/x
いつも通り，~/su-shiki ディレクトリに移動し
てから，maxima を起動し，次のように打ち込み
ます．
maxima 右のグラフから，答えは 3 になりそうです．
0
-0.5
-1
-4
-2
0
x
2
4
実際に maxima で確認してみよう．極限値を求めるコマンド limit を用います．limit は，limit(関
数, 変数, 近づける値); という書式になっています．
maxima x → 0 の時の極限値を計算
(%i1) limit(sin(3*x)/x,x,0);
(%o1)
3
答えが 3 であることが確認できました．
次に，右極限及び左極限という概念も思い出しましょう．x が右側から a に近づく時に，f (x) が α
に近づくとします．この時，α を右極限といい， lim f (x) = α と書きました．(なお，a = 0 の場合
x→a+0
には「x → 0 + 0」と書く代わりに，簡単に「x → +0」と書くことが多い．)
同様に，x が左側から a に近づく時に，f (x) が α に近づくとします．この時，α を左極限といい，
lim f (x) = α と書きました．(a = 0 の場合には「x → 0 − 0」と書く代わりに，簡単に「x → −0」
x→a−0
と書くことが多い．)
上の例では，右極限も左極限も 3 になりますが，念のため maxima で確認してみましょう．右極限
sin 3x
を求めます．maxima で右極限を求めるには，オプション plus をつけます．同様に，左
lim
x→+0
x
極限はオプション minus をつけます．
maxima (%i1) limit(sin(3*x)/x,x,0,plus);
(%o1)
3
x → +0 の時の極限を計算
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June 11, 2015
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sin 3x
も計算してみましょう．
x→−0
x
左極限 lim
maxima
x → −0 の時の極限を計算
(%i1) limit(sin(3*x)/x,x,0,minus);
(%o1)
3
やはり，右極限も左極限も 3 になることが確認できました．
20000
1
を考えましょう．
x−2
1
まず，
を 1.9 ≤ x ≤ 2.1 で図示してみると
x−2
maxima 次に lim
15000
x→2
10000
1/(x-2)
5000
0
(%i1) plot2d(1/(x-2),[x,1.9,2.1]);
-5000
右図から，x = 2 の部分でグラフは上下にちぎれ
てしまい，右極限と左極限は異なっていることが
分かります．
-10000
-15000
-20000
1.9
1.95
2
x
2.05
1
を計算してみると，
x→2+0 x − 2
2.1
実際，右極限 lim
maxima
(%i1) limit(1/(x-2),x,2,plus);
(%o1)
inf
inf は inﬁnity の略で，無限大 (∞) を表しています．
1
左極限 lim
を計算してみると，
x→2−0 x − 2
maxima
(%i1) limit(1/(x-2),x,2,minus);
(%o1)
minf
1 変数関数の微積分
不定積分
積分の計算には integrate というコマンドを用います．不定積分を計算するには，
integrate(関数, 積分する変数);
∫
2
とします．例えば，ax + bx + c の変数 x による不定積分
ます．
minf は minus inﬁnity の略で，マイナス無限大 (−∞) を表しています．
1
1
= ∞， lim
= −∞ であることが分かりました．
図と maxima の計算から， lim
x→2−0 x − 2
x→2+0 x − 2
2
(ax2 + bx + c)dx は，次のように計算し
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maxima
(%i1) integrate(a*x^2+b*x+c,x);
3
2
a x
b x
---- + ---- + c x
3
2
(%o1)
なお，maxima では積分定数を付けてくれないので，自分で補わなければなりません．答は，
∫
(ax2 + bx + c)dx =
ax3 bx2
+
+ cx + C
3
2
ここで C は積分定数，となります．
定積分
定積分の場合は
integrate(関数, 積分する変数, 開始値, 終了値);
∫
という書式になります．例えば，広義積分
0
∞
∫ ∞
1
exp(−x2 )dx は次のように計算します．
2 dx =
x
e
0
maxima (%i1) integrate(exp(-x^2),x,0,inf);
(%o1)
∫
従って
0
∞
√
1
π
です．
2 dx =
x
e
2
sqrt(%pi)
--------2
微分
微分の計算には diff を用います．diff の書式は，diff(関数, 微分する変数); です．英語で微分
のことを diﬀerential と言いますが，diﬀ はその略です．
sin 2x の x での 1 階微分は，次のように計算します．
maxima (%i1) diff(sin(2*x),x);
(%o1)
2 cos(2 x)
このように，たとえ変数が x だけしかなくても，必ず「x で微分する」ことを明示しなければいけま
せん．
2 回以上微分する時は，オプションをつけます．例えば，sin 2x の x での 2 階微分なら
(%i1) diff(sin(2*x),x,2);
(%o1)
maxima
- 4 sin(2 x)
とします．
では，sin 2x の x での n 階微分を計算してみましょう．この時は，場合分けが必要になるはずです
が，どうなるでしょうか？
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maxima
(%i1) diff(sin(2*x),x,n);
n
d
--- (sin(2 x))
n
dx
(%o1)
n
d
sin 2x という「答えといえば答えだけど…」という出力が返ってきます．残念ながら，場合分け
dxn
まではやってくれません．
2 変数関数の偏微分
3
2 変数関数 f (x, y) = xy の，x に関する偏微分は次のように計算します．
maxima
(%i1) diff(x*y,x);
(%o1)
y
同様に，f (x, y) = xy の，y に関する偏微分は次のように計算します．
maxima
(%i1) diff(x*y,y);
(%o1)
x
レポート課題
4
• http://www.cis.fukuoka-u.ac.jp/˜kawakubo/ の今日の所の sm140000 09.pdf の設問に答えよ．
• sm140000 09.tex (sm140000 09.pdf の原稿ファイル) をダウンロードし，˜/su-shiki ディレクト
リに保存せよ．
• ファイル名「sm140000 09.tex」の「sm140000」の部分は各自の学籍番号に変更すること．ま
た，Emacs でファイルの中身を編集し，上段の氏名欄に自分の学籍番号と氏名を書くこと．
• Maxima を用いて問題を解け．解答は原稿ファイルを編集して LATEX で作成せよ．
• PDF ファイルを作成し，印刷したものを提出すること．締切は 6 月 25 日．
• 疑問点等があれば，書いて下さい．
復習：PDF ファイル作成に使うもの．Maxima 用の端末とは別に，もう一つ端末を起動します．
kawakubo>
kawakubo>
kawakubo>
kawakubo>
LATEX タイプセットなど
cd⊔ ~/su-shiki
emacs⊔ &
platex⊔ sm140000_09.tex
dvipdfmx⊔ sm140000_09.dvi
← ˜/su-shiki に移動
← emacs をバックグラウンドで起動
← sm140000 09.tex を platex でタイプセット
← sm140000 09.dvi から sm140000 09.pdf を作成

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