神奈川県立教育セソター 研究集録８：１テ∼２４ １９８９ 、． 図形に対する直観的な見方 ・考え方を 「証明」に生かす指導法の研究 田村 鷹和 １ 岸 美登武 ２ 目を向け 、論理的に考察する力を着実に身につげる は じ め に ことへの数学教育の理念が感じられる構成にな った 数学のさまざまなｒ証明問題」に対する中学校 といえる ・ 。 高等学校生徒の “苦手意識 ”は 、指導する多くの教 標記の研究テーマは 、このような背景から生まれ 員カミ 指摘する問題点の１つである た。 旬 解決しようとする題材都 、まず視覚でとらえら なお 、本研窄を進めるにあたり次の先生方にご協 れ、一見 、考え易い “雰囲気 ”が漂う図形教材にお 力をいただいた 。’ 深く感謝の意を表したい いてさえ 、． 。 調査研究協力員山口明伸茅 ヶ崎市立松林中学校 ひとたび「論証」の世界へ踏み込まなけ れぱならない学習状況に身を置くと 、この “苦手意 岩瀬勝彦 小田原市立橘中学校 苦悩する生徒 ”と化してしまう 金子典子 厚木市立睦合中学校 識’’ は頭をもたげ のである ’‘ 山下光雄 県立相模原高等学校 。 図形教材に限らず 、「論証」を核にして学習する 平田治夫県立横浜目野高等学校 ・高 市川陽一 県立平塚江南高等学校 場面での生徒の “証明嫌い ”は 、現在の中学校 等学校生徒の顕著な意識倹向である 長期研疹員 加藤俊廣 横須賀市立馬堀中学校 。 教育セソター 嘱託 松下昭彦 論証指導は 、図形の性質を考える呼面幾何」を とおＬて行うのが最も効果的であるという声はよく 研 究 の 経 過 聴かれることであるが 、生徒の “証明嫌い ”をまず 中学校の図形教材をもとになくすことが 、その前提 次の（１）から（５）までの流れにそ って研究を進めた であると考えた （１）中学校 。 。 ・高等学校の数学教科書の分析 図形に対する「直観的な見方 ・考え方」を「図形 （２）論証の過程における「直観的な見方 ・考え方」 の論証」へと発展させて 、「証明」の第一歩を刻むの の位置づげに関する分析と指導法 は中学校数学であるから 、本来は 、中学校生徒カミ自 （３）推論の構造を明確にする図の作成と指導法 力で論証をつくりあげていく姿勢が身につげほよい （４）間題の転化 ・発展の可能性に関する考察 のであろう 。そして 、それを高等学校教材ｒ図形と （５）授業実践による生徒の反応の分析 方程式」へと関連を図りながら進めていくことがで 研 究 の 内 容 きれぼ 、論証の意義は自然に理解されると思われ １ｒ直観的な見方 ・考え方」と図形の論証との関連 る。 高等学校における今回の学習指導要領改訂により とらえ難い「直観的な見方 ・考え方」が推論の過 選択科目の「数学Ａ」に「平面幾何」がふくまれる ことにな った 。中学校の基礎の上にた ってｒ基本的 程に円滑に投影され 、ｒ見方」からｒ考え方」への広 がりが一つの体系づげられたものとして指導する教 な定理」「合同 ・相似変換」の内容を中心に「平面図 員に認識されれぱ 、困難と思われている論証教材の 形の性質」とｒ平面上め変換」が取り扱われる 。中 学校 ・高等学校生徒の弱点ともいえるｒ論証」にも 学習指導も少しは改善されるであろう 。 論証の手１頂とｒ見方 ・考え方」の結びつきの様相 を表にまとめ 、それをもとに作成した系統的な図に 第一研修室長 よる指導法を構築した 第一研修室 研修指導主事 一１７一 。 ここでは 、「見方」をｒ考え方」と区別してとら （１）論証の過程におげるｒ直観的な見方 ・考え方」の 位置づげ え、 ｒ直観的友見方」からｒ直観的な考え方」への推 ｒ直観」が主に視覚などの情的な感覚をとおして 」移が図られると考えた ものの本質をとらえることであるとするな ．らぽ 、直 このようなことを前提にして 、図形に関する命題 におげる論証の手順及びその過程での「直観的な見 対象となるものに接し 、まず 、そのものがもつ 接、 性質を “見る ”という点で 、ｒ直観的な見方」は思 考過程の第一段階の方法とも考えられるであろう 【陥睡の迦醐こおける 方・ 考え方」との関連を分析し 、また 、それぞれの 段階におげる指導法を次のような表にまとめた 。 ｒ直Ｉ呪的な」見＝…テ “の手口 ■口坊な見方 。 ・ …夢え〕…チ」 の一立冒づ一ナ】 直口軸な看え方 口８のｍ ６］旧□〕を８み 、８ら回壱か簑 ．モの上 と厘１ま示 にしるしなどを●含ハ九て価定をａ入する ． 臭艘１二肚かげないよう右国讐かいて不合口‘＝ 気づいたら圓をか宕竈して固に＾１がないカ心 ｝する 。 指 口 法 ■も讐本となる回は全佑のパランス屯どを尋 えながら 、ささ‘＝与えておく ． ． 榊化への 辺の＾さ寺夫，さを変えたｏ ．特別む位■■ 方甘醐 倶にしたりする ． 榊化しても臼的を曼ける■がら直何かを； え５ 柵化することにより ．靹た・こ全件がｈわｏ ， 朱匁の郁伽こロロの手がかりがつかめることに 気づかせる ．●舎．＝よって瞠 ．先入８となって ． 二の ’こだわＯ ＾があとまで１穿１を及ぽすこと も竃こ０６るので ．イ的な固とのかかわりを． 忘れ榊 、ようにす５ ’Ｉ，・罰な５１ 醐を一、 くつか‘二笏１，したｏ‘合したｏする 脚＝田する など 、全体かち脇を見たｏ 、広く■口したり 佐口の蜴 する 内在する竈 性口の分コ ． 国影の位□や■を三えても■わら＾■係かカ るものを見いだす の■■保を見つサさせる 辺また肚凸 、位口などに，目して虎り立つ■ がらをすぺて列讐する ‘二かか’，昌ものと ． かかオ，りの；‘一、 ものを｛｝け ． 合臥相仇円＾＾ 、外蟹円 、早行など相亙 ． ． どのようなことがいえる机どのよう在こと 楓、 えたらよいか ．予８や方向づけを行う ． ． 及獺 成ｏ立 うているいくつかの■がらのうち齢 る． かカ曲りの軸竈なもの直 ．’時 ，９饒するが あとで竈悟する船もあることを顯させる 口■の性口 ． 忽■ｏな脇を＾‘し ．畝■■像すると思 や定邊の邊 …われる部分にのみ竈目する ．このとき 、以軸に 鉋・ 竈眉 用いたことのある性口 ・定竈喧どのようなむ面 であつた加蟹り逗る 定１名 ・内宕を蜆い起こす ．また 、．恵臭．二竈 用の欄□を示Ｌ 、肚 ．６，と螂舎して０、 く・ 兵饒や竈れがわかるように次々‘二１黎したと 用１畔；雇号 １己号‘二よろ鶉引のｎ１画化を国ろうとする ’二よる表易 ・ 明ら洲＝成ｏ立つ■ホら羊成り立つことが予 ２される■がらを 、相互に傍ぴつきがあるかど うか饒■されるまでに至らないまま ．配号仏 籔式化された諺で■き並ぺる 吻ｉ匠く１二唾 ’つぷや など自由‘こ■サる余１…Ｉを閉し 一曽りの６３をか’、 て｝、 く． ｛｝ や’． ておく ． ．’ ． 醐＾ ． ［ゆえに」 丁山であるから」 一｝と一から」 ここで」尋 ．搬蜆をどを含む文竈ヨ現‘こつ’ いても竈倉させ丁ロニ磁させる ． ． 榊の尭時 行｛づまったと竈 、再口 、方向峨をしよう 螂法が雌であうたり 、並○していウたりす ，何的 ・代甘的 ・口析的な讐ホ自性亘などを とする 竈九柵竈一二竈＾ ’「Ｅｏ、｛５とき肚見…ｏし‘ｏつ一、 るとき 、より卿化された方註があるかどうか を児き‘コ砧 、１白のＩ日慣を見つ‘テようとする ・旧 箇‘＝至ったと昔肚 、コ１…を見直し 、ＩＥ明１二０倶 閉のｏコとして竈用しようとする胴肚帖に 閉蜘＝もたせておく ． ている方向へそのままロロを国る 。 ． のある蘭述のみを裏し ．幻口慣なものを日噴す るなど■寝する ． “作 ・鉱曇 角の犬告さや辺の艮さなどを疫えて躬たに回 など１＝よる をか，２す 暑化 ・冤目 もとの６口について 、獺日の途中でいえそう でいえなかったことなどを威ｏ立た世るよう１二 。 ●き饒える 臼カをうける■カ；ちを口 ・と；１…ｒｒ 、口放して粂 伜をゆるやかにしたり砺たな条件を付加したり する ． 『もしこうだったらどのようなことが成り立 っか」というような「ｏ舎分け」を頒‘こ入机 たいくづかのｏ示をさせて丁つくる暮ぴｊ 『冤 見像藺〕する■ぴ」を味わわせる ． 内容に臼■した康史肪背景をめぐる錺口など も８りまぜる ． 。 （２）論証指導の具体的な方法 ア 推論図の作成 右のようた間題 が与えられたとき ・■＾三＾閉岬つカ昌 、 ｏ． 「直角三角形が３ ． ’３切の＾吉がわかつてい君 ‘，…＾噌＾咀Ｃで ．‘＾Ｏ■邊＾かち ■迎田ｏヒ帆 、史口●を＾ｏと寸昌 。 ‘＾三■形 ．８０ １Ｉ一 了ム＾ｏ皿血ムｏ＾皿』讐‘口せよ ．１ 伽１〕 虫＾■瓜よＯ 『２＾相鶉」 つある」「３辺の 帥以舳１榊￡も乱い 』１帖｝ 長さがわか ってい ｏ●● ｏ１ る」など 、最初に いくつかの着眼を ○固｛■擾とす昌円□上の忠 拮董定， Ｃ 固 １●● 醐 してそれを「証明」 ・△＾日Ｏ＋△＾ＣＤ； △＾回Ｃ 三甲方の定珂より １ １ ．△＾目Ｃ＝一・１０ ・＾”，｝６ ，８ ２ ２ のよりどころにし Ｅ Ｄ， ＣＤ ｅよｏ ＾Ｄ ょうと考える 。 伽２） この「直観的な見方」から「直観的な考え方」 三甲カの定１』＝り 閑辺切比那毎しい」 ＥＤ ，ＣＤ ，＾Ｄ よＯ厄明 へそして 、「論証」の考え方へと進んでいく様 子を矢印で示すと右の図のようになる 。 一１８一 ここでは 、この図を「推論図」と名づげること ２ 中学校 ・高等学杖における図形の胎湿教材 にする 。いわぱ 、「直観」からｒ論証」への過程を 示す “デ ヅサソ ”または “ラフスケ ヅチ ”ともい うぺきものである 前項の（１）で示した表をもとに 、（２）におげる方法 により作成した指導内容のモデルを次に記す 。 このようた「推論図」は 、仮定から結論に至る 流れを示すものであり 、その証明の構造 、系統を 分析するのにはきわめて好都合である 。 （１）中学校の題材からの開発と授業実践 次ぺ 一ジの【第１図】に示す間題は 、長さや角の 相等を直接 、示すのではなく 、証明すべき事添らが 。 図形の論証に関する個 々の間題について 、「推 和の形にな っているために分析する力が要求される 論図」を作成しておげば 、生徒一人びとりのｒ直 点で 、他の多くの問題とは異なる性格をもつ 観的た見方 ・考え方」がどの類型に属するか 、的 ア 推論図の作成 確な判断ができるメリヅトがある いくつかの証明を試み 、その流れを次の【第１ 。 推論の過程で “つまずき ”があれぱ適切な示唆 を与えることもでき 、流れの修正やその後の展望 図】のようにまとめた 。 。 イ 発展 ・拡張への動機づけ などが円滑に行われ 、証明の構想を立て易くさせ 間題にある図を 、Ｂ Ｃの中点を中心にして点対 る学習の基盤づくりも可能となる 称の移動を行い 、もとの図と移動後の図を合わせ 。 イ 発展 ・拡張への動機づげ てかき並ぺ整理した後 、下の左図のように辺の長 １つの間題から 、条件を変えて新しい間題をつ さ くっ たり 、他の定理とのかかわりを調ぺたりする かき 、冶図のように分割を行う など 、さ重ざまな広がりは 、発見的研究 、アイデ この２つの合同な正方形を比校して 、分割した アの発意を促す貴重な蓄積となる それぞれの図から 、合同な４つの直角三角形を差 。 ｃを与える 。この図と合同な正方形を ｂ， ａ， 。 例えぱ上の間題では 、次のような発展淋考えら し引いた残りの正方形の面積について考察するこ れる とにより 、ａ２ ＋ｂ』ｃ２ が得られる 。 。 ｏ ｒ三平方の定理」の証明 すなわち 、これは「三平方の定理」の証明にほ △ＡＢＣ ｏ勺 △ＤＢＡからＡＢ ２＝ＢＤ ・ＢＣ かならない △ＡＢＣ ｏｏ △ＤＡＣからＡＣ …＝ＣＤ ・ＢＣ 淡得られ 、この２つの式の辺 々を加え 。 ！一〇一 、、一 ’’’、 ’ ＡＢ 呈十ＡＣ ２＝（ＢＤ＋ＣＤ） ・ＢＣ＝ＢＣ ， ’ 一 ｏ ｂ ■ ／ １ を導くことができる 、 ’ ’、 ｏ ２次方程式〆 ＝乞あの幾何学的解法 １ ． 、 ’． 、 １ １ 、 ‘ ’ ’ ’ 、 、一 、｝ ｏ ’ 、 ’’ 、一 一８二 １‘ ／ ノ ｏ ’ ’’ ・＼ト ’一 ’ ’ 、 ， ■ 一 ’ 、 ’ 、七 ’ ， ■阜■止．、 ／ １︺ ’ ｏ 一 Ｃ＝５ ■ ｏ ’ ｝ 、 、 として ｏ ’ １１ ’一 １ ’ １ 、 、 、 ’ ｏｏ 、 、 １ Ｂ ｏ ’ ８ Ｂ Ｄ＝ｏ １ ’ ’ ． 。 ． トー一一一 トー 、 ｌｌ 、 、 ’ Ｄ 止一 、’ 、 ’ 、一一〇一’’ Ｃ＝口 十５ を直径とする 半円をかき Ｄを通りＢ ピタゴラス 学派の人たちまたはピタゴラス （Ｂ 、 に垂直な直線 のような方法で定理の成り立つことに気がついた と半円との交 点をＡとすると 、Ａ １Ｄ淋求める解である ．Ｃ ．５７２∼４９２）自身が 、どのようにしてこ の定理を証明したかその詳細は不明であるが 、上 Ｃ のではないかといわれている 。 なお 、『原論』の第１巻命題４７では 、別の方法で 。 なお 、『原論』では第２巻命題１４でこの「幾何 証明が行われている 学的解法」の内容を取り上げているが 、第２巻 また 、第６巻には「直角三角形において 、直角 ではまだ相似の理論を扱 っていないので 、長方 に対する辺あ上にかかおた図形は 、直角をはさむ 形の面積に等しい正方形の面積をつくる命題と して 、別の方法によりこれを証明Ｌている 。 ２つの辺の上に 、それと相似にかかれた図形の和 に等しい」という命題３１も載せられている 。 一１９一 。 、 、 ・ ’ ・− ＼ ！’ ‘ 、 ’ ’ ，。 ’ ’、 三 ． 、 ’’ ・固工婁竺・風⋮固 −同劇−−圃 乙Ｊ帖一侭ｅ包一Ｑ宗ぺ︸回ふイ６蟹Ｑ刈︷口刈“本 レ■ “ Ｓ Ｑ 垣 竈 ｑ →オ・二︸一 田 ﹂ Ｈ ま ぺ ︷ ︵ イ ６ ︽ 匝如ｅ出“舳“ｏ →−，ｎＮる船“⋮ぐ口 ■ ２０ ４園丁−一急婁笥引﹂→ ｏ〕ｌｌ く因∼一」 二Ｊ帖名∼ギ︸為侭ｅ露べ ○イ蟻罰侭︽Ｑ侭ｅｎ剛 ︹ｏｏ堕︶ ｌｌ＋一 ＾Ｎ雌︺ ＋＋｛ ． １ ・ １ ↑ 、⋮〆∴け、川、、川川、一、、榊 、十﹄“−十〇 レい料央Ｊ ｏ＾﹄．− ムー１、 ｏ“︷・、 ﹄１１−“ ＾− ○イ ー１１１， ｏ 竃︸竈 −べ１１︷１ ■Ｈ坦導鴉 ↓ １ 昏憎ｏ半＾肋旺 匝如ｅ黛侭⋮侭担 ｑ’︺ ︻図Ｈ搬︼ 葦ぎ§ 十 ウ 授業実践の考察 を記入することができない著も多い 前記アをもとに 、次の方 々に授業をＬていただ ・ 証明の方法は１通りではないということに気 いた づき 、いろいろ試みていた 。 。 。 平成元年２月１目 図から多くのことを読み取れる者は 、それな 厚木市立睦合中学校 金子典子教諭 りに推論の過程に生かＬていた （調査研究協力員） （２）高等学校の題材からの発掘と授業実践 平成元年２月２日 高等学校教科劃こ見られる「２定点からの距離の 茅 ヶ崎市立松林中学校 高橋正人教諭 比が一定となる点の軌跡の方程式」では 、平面幾何 その緒果 、次のことに気づいた 的要素をふくまず 、中学校での既習事項との関連性 。 。 問題を図に表すことができない者が多い 。ま がやや希薄である 。そこで 、次のような問題を取り た 、作図しても 、一般的な場合の図がかげない 上げ 、「平面幾何」として推論させる 。 作図した図のなかに 、点の名称や直角の記号 。 ア 捷論図の作成 【第２図】 【第２図】 △ＡＢＣ‘＝却 、てＺ＾の二勃じと辺Ｂ Ｏの韮点をＤとおくとＯ Ａ亘＝＾Ｃ，ＢＤ：】〕Ｃ ・号しい■がある ．■さの；しい三■形が２つあ看 ０ 仁 舳榊何舳 函→ 蜘をつ榊・鵬する 弩を榊〕 Ｏ〕 ＡＢ： ｛〕＝ＢＤ ＤＣ 傭ユ〕 Ａ 側 Ａ］；＝＾Ｃ＝亘Ｄ… Ｐ１Ａ Ｃ ｛〕 “１〕＝２〕１＝軍ず昌】 Ａ亘 ＡＣ＝‘〕 ＤＣ Ｂ Ｐ＝Ｃ 一 Ｐ ＡＢ：ＢＤ ＝ＡＣ：ＣＯ 帽４〕 ムＡ】ヨＰ △ＣＰＤ ムＡＣＤ唖△ＢＰＤ △ＡＢＤ ■さの｛しい 面竈の比直勘の比 三＾影が２つわ暑 ＡＢ＝ＢＤ＝ＣＰ：ＰＤ ＡＯ＝ＣＤ＝ＢＰ：ＰＤ ０５ ム＾Ｃｌ〕＝珂Ｄ ＤＣ 苧４。辮 Ｉ’ 「 、屏、、 ムＡＢ竈：△＾ＣＤ ヨＡＢｌＡＣ イ 発展 ・拡張への動機づげ ○ 上の２つの二等分藤に関する事淡らを用いる ○ 類似間題として之ＢＡ Ｃの外角の二等分線に と ついて 之ＣＡＥ＝之ＦＡＥ ｎ）カ」定であるような点Ａは ，線分Ｂ Ｃをｍ： ならぱ ＡＢ： ｎの比に内分する点Ｄと外分する点Ｅを繕ぶ線分 、２定点Ｂ ，Ｃからの距難の比 ｍ：ｎ（ｍ≠ を直径とする円周上にあることがわかる ＝Ｂ Ｅ： 。 ｏ ＢＣをｍ：ｎの比に内分する点をＤ ，外分する が成り立つこと 点をＥとするとき 、点Ｄ ，Ｅは線分ＢＣをｒ調和 淡わかる 。 目 Ｏ Ｃ に分げる」といい 、４点 Ｂ ，Ｃ：Ｄ ，Ｅは「調 和点列をなす」という 一２１一 。 １ １ ２ このとき 、一十一＝一が成り立つ ＢＤ ＥＥ ＢＣ すなわち 、ＢＤ をなす ，Ｂ Ｃ ウ 授業実践の考察 。 平成元年１月３１目 、県立相模原高等学校にお ，ＢＥの逆数が等差数列 いて 、前述アとの関連を図りながら 、調査研究 。 ○ ピタゴラスは 、次のような音楽に関する優れた 業績も残している 。 彼は 、ある長さに切 った絃を張 って音を出し 協力員山下光雄教論に授業をしていただいた 直 その結果 、生徒の反応は次のとおりであ った 。 ・ 導入としての座標を用いた解法では 、ほとん 、 ２ 次にその長さの一の絃を張 って音を出せぱもとの ３ 音より５度高い音が出る 。また 、最初の絃の長さ どの生徒が正解であ った 。 初等幾何的に考えたとき １ 、・ 図形上の関係や結 の一の絃を張 って音を出せば 、最初の音より８度 論への見通しがつかめず 、推論の糸口がみつげ 高い音が出ることを発見した ２ １ すなわち 、これらの３つの数 １ ，一 一の間 ３ ２ ３ には 、その逆数 １ ，一 ２が等差数列をなすと られなか った ２ 。 中学校での図形教育が基本的なことだけで終 わ っているせいか 、図形に対する発想が乏しい ２ いう関係がある 。このように 、逆数が等差数列を 題材からの開発 ・発掘を教科書をもとに行 った 。 が、 ’’’‘一ドー一 ’ ’’ソー ６二 ‘ドー一 一 、 次に 、中学校 、高等学校についてそれぞれ２例 ずつ「推論図」のみを示す 、 、 １ ２ １ 。 （１）中学校の題材からの開発 【第３図 ，第４図】 ２ ３ 【第３図】 Ａを鵬とする二割三￡影ＡＢＣ‘＝おいて ．Ｂ ．ＣよＯ対辺 ■ＡＣ ・州醐肥 ・Ｃ眺肌酬の顯榊とす脈 ＰＢ＝ＰＣ ・亘■が６る ・舎同セ三カ房がいくつかある ・二鋤三勾形←■■→廣倉が等しい ・醐Ｉよ三＾影の■さでも６る ・ ‘Ｐ喧コ仙である〕 ム 傭１〕 △ＰＢＣは二等辺三角形より旺１月 ムＢＣ亘呈△ＣＢＤ 合同な三■房 値角三＾形で倶切と１虚創 △ＡＢ口冒△＾ＣＥ 恒＾三貧影で伺辺と１睨＾， 偏２〕 ＾】ヨＥＰ亘△ＣＤＰ ｛１辺と両借の角相等〕 よｏ匝 △ＡＤＰ畳 △ＡＥＰ 岨角三倉形で匂辺と！辺〕 嗜＾吐尋しい 。 ３ 中学校 ・高等学校の邊材と推諭図 なすとき 、もとの数列はふつうｒ調和数列をな す」といわれる 。 俸鮒徽 △ＢＣＤ ｏｏ △ＣＢ】… 姑応する３鼠の角が等し ‘２■相等〕 匡憂ヨー→・・鵬１棚に搬 則は三角形の■さ 面竈からＢＤ ＝ＣＥ 他のいずれかの曇件と置き換えられる〕 一２２一 ■咀 ＡＰ ｔＰＱ〕は薗四を量副＝二勃する 【第４図】 Ａ１ヨを■呂とす；円Ｏの貞亘Ｉ：室サ看肚上１：点Ｃをと昌 ． ムＣの申貞をＭ ．ＭＢと円Ｏとの変 、百を］〕とするとＯ △Ａ亘Ｃ帥△眉ＤＡ であ；ことをＩ１…呵せよ ． ・則←→竈呂Ｉ：１■ ・亘昼せ見込ｏ＾一 一→口’ ・三＾影の迦の中貞 偏１〕 舳 ■呂に１■ 之ＣＢ＾！ＺＲ ＾＾ＢＣは口￡三■房 閂Ｉ二内簑する ムＭ＾Ｂ吐＝劔三＾這 伸心直Ｍ〕 副旦号しい ２￡相筍よＯ匝明 之ＭＡ】…１之阯亘＾ ｛■臼と１蠣＾ｊ ■岨号しい △Ｍ回Ｃ‘＝靭…￡房 之ＭＢＣ’Ｚ以ＣＢ 対＾８ば号Ｌい 景方影Ａ亘ＣＰホでＯ看 “２｝ ２＾相等よＯ旺Ｉ児 蝿定口 工直角と１睨角〕 之ＭＥＣ ＝之ＢＡＤ ＾ＭＢ豆８△皿ＣＨ 工２団と畦さｏ自の相言〕 之皿ＣＢ！之ＭＢＣ 三＾毘の辺の申点 組畠の定寝 申、 ＾ＭＢＣ吐＝等辺…￡形 岨亘ホ劇を皇直１＝二勧〕 ＾”Ａ月！ △ＭＢＨ 偏３〕 ｛２辺と吐さＯ｛ゆ相等〕 ２＾塙等より旺明 之ＣムＢ；ＺＡＢｌ〕 ｛亘角と１以＾〕 ムＭ＾Ｂ庄＝等辺三＾影 帆Ｈが圃老量直１：二鋤〕 （２）高等学校の題材からの発掘 【第５図 ，第６図】 【第５図】 に 釦８の定口 ．ム → 回Ｈ 旧Ｐ＝２ １ 日Ｏ：ＯＭ ，２＝１ Ｌ−１則 ｏ 『■［』■一 ．差 仁 相何セ三＾屠出ある ＾ＢＣＯ蜆＾ＭＮＧ ‘●■肚里”］ ２つの申‘目Ｍ ．Ｃ肺肚 ・３鉋１二吐モれぞれ中点Ｌ Ｍ ．Ｎがあ看 亙いに２１１１：内分する ・１辺と脱桝席れ 乱い三舳獅帥蝸 ■交点Ｇはモれぞれ２＝１Ｉ＝内全す看一口よ０９…由る〕 。 ．ム 菟 甲行‘の蛍＾‘旦 ９０ ｃｏ蜆 ０Ｍ咄Ｐｏ喧肺四辺房 ■‘■， ｏ 互い１＝中点で虫わ； ｏ ．ぷ 杷ｏな三＾竃と中貞■臼定２よ５ ００＝ＯＣ＝ ＭＰ：”Ｐ ＥＯ：ＯＣ＝ＮＰ＝ＭＰ ＢＯ ！：Ｏ白１；ユ 亘Ｏ＝ＯＣ 伽１〕 。 耐の暑Ｌい 三■影那心暑 ｒ呂申‘１圭モ九ぞ九 ２：ユの内分点で交わる」 よｏ旺明 ＾＾Ｍ６一＾ＣＭＯ ．必 ＾ＢＣＯ＝２ムＯＭＯ ｛獺〕 ｒ ム＾ＣＯ＝＾１ヨＣＯ △＾ＣＯ！ ＾Ａ亘Ｏ 直 ＾ｏ共坦よｏ■さは等しい ＾＾日Ｃ呂＾日ＣＯ ６が２！１にカ分す昌 ことを子篶して ．ぷ 一 ．孝 ＾Ｏ！ Ｏ Ｐとｆ＾ ＯＡＯＣＰ畦平行四辺形 靱拮走冒よｏ 中． 順２〕 ｒ亘‘Ａ０瞠申‘となる」 申点■拮定臼よ０ Ｅ０自ｏ Ｐ ＯＯ１ヨＰＣ肚輔四翅影 よｏＩｉ１明 ○肚ＢＣの申点と在る ＮＣ〃亘Ｐ 阯Ｂ〃ＣＰ １ △＾ＰＭ 目＾ＣＢＭ △ＡＲＮ冒△ＥＣ月 ＾Ｐ＝目Ｃ，＾Ｒ ＢＯ＝ＯＣ ムＡＰＯ蜆＾ＯＢＯ ム＾ＲＯ ｏｏ ＾ＯＣＯ 一２３一 ＢＯ＝ ＯＣ 自戸＾：亘＾ 【第６図】 、之 ＾＾３００□’＾から舳■甘くと 旭 １“ム６ Ｉ１２工Ａ” ↓８甘〕 ’醐吉舳呈軸棚一雌竺コ 、 、一 ． 必。 一口１〕 “・■ 値阯 一十’ １〕＾ ・ ｛ ＾Ｃ ｌ；｛Ｃｕ ，一’ ・，十ｂ １；・総 ｌ Ａ凹１６’ １＋ｈ， よｏ喧｝ ｛口２〕 亘。 ム８ｍ ｛ Ａ亘１６｛＾凹十皿貫 １ガ十． ｈ“ ムＣ岨 １■ 止一』 １ →（：監餓馴 ｏよｏ■‘■砂｛ ＾圃 １■ ｕ蛆 ▲ｃ ！■ 仏Ｈ 一岨一〕１ ＾、１ 筥” ＝阯齪 １１＋』 １１ よｏ‘｝ 亘． ○恥〃皿馳■申削定口よ０ ｈ＝２ｈ 豆 １Ｈｌ−Ｏ飢 ■’ 皿よ筥口■｛甘く １． Ｃ３〕 → ＾亘 １＝工＾Ｃ−２’，１＋一２ｈ ＾Ｍ ，＝工＾Ｃ一‘〕１＋ｈ 鰐撒ロコ ム［自’、 てＡ阯に■■ｏｍ．二 亘、 ＣよＯ，‘讐ひ｛ 】ヨ〃 ｌｌＣＭ １＝ ・プ 宝１ が十ｈ“ よｏ唖｝ 恥’ 臣！ 臨■ 酬 Ｈ１ 、 ．々 研 究 の 考 察 お わ り に 本研究をとおして明らかにな 「子どもたちがあれほどまでに『図形』が好き とおりである 一っ た事がらは 、次の だっ たのに 、どうして中学校へ進むと『証明』が苦 。 ・ 図形に関するいくつかの性質 ・定理な・ どを根拠 手とな ってしまうのか」という小学校教員の疑問 にして推論を行い 、結論までに到達する過程に “ 学ぶ意義 ｝を見いだすことができるか 、また は、 な機会によく聴かれる言葉である 、 補助線などによる “ひらめき ｝をもとにして次 々 に解明されていくときの自力解決の方法に ‘‘ をもつことができるかどうか 、「直観的な見 方・ 考え方」はこの２面の学習価値を支える重要 な要素とな っている 。 操作活動での興味 ・関心が論証へ円滑に結びつか ない厳しい現実の姿淋ここには存在するようである 成就 感” 当教育センターの研修講座をはじめ 、いろいろ 。 本研究では 、「直観的な見方 ・考え方」という キーワードを 、幾度も語り尽くされ 、記述されてき た形がい化された用語としてではなく 、生徒が「証 。 いろいろな「着眼」「発想」が結論を導く証明の 明」という現実的解決を迫られている状況のなか 出発点となることを 、生徒にわからせるこ ’と氷で で、“ 惜的なひらめき ”を “知的な論誕 ”へとどの きれ暗 、それが論証に対する学習の動機づげにな ように結合 ・発展させていけぼよいか 、という課題 り得る に取り租むたあの重要概念と考えた 。したが って 。 教科書の図形に関するどの問題に対しても「推． 論図」を作成してお庁ぱ 、生徒の多様な考えに対 応した指導ができて有効である 「操作 ・実験」などをとおして「直観的な見方 、 ・考 え方」を深めることの意義を認めながらも 、作業な どをもとにｒ証明」に生かす指導の在り方を探ると 。 高等学校における現行の「図形と方程式」にか いうことでは衣く 、「証明は 、はじめに直観ありき」 かわる題材のなかに初等幾何的な解決が図れるも というごく素朴な視点から 、論理的な推論へと展開 のがあるので 、その教材化により「論証」への興 を図る指導法の研究として位置づげた 。「推論図」 味 ・関心をひきだすことができる は、 。 図形の論証指導を中学校にのみ委ねるのではな く 、これからは高等学校におげる『数学Ａ」の 「平面幾何」指導がその役割を担うようになり 生徒のさまざまな発想を大釧 こしながらその解 法につきあうことができる「指導資料」とＬても重要 なものであるという認識をもち 、丁寧に作成した 。 これからの学習指導要領の動向をも考えながら授 、 中学校とは異なるアプ ローチで論証の意義を理解 業笑践をとおして 、ｒ推論図」の活用方法など本研 させる契機となる可能性があ 究の成果を検証していきたいと考えている ・る 。 一２４一 。
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