自発的対称性の破れと
南部-Goldstone モード
日高義将
(理研仁科センター)
二期メンバー
2011年4月-2012年3月
橋本
木村
前沢
飯田
矢崎
畔柳
村田
檜垣
Polchinski
８章まで読んだ
自発的対称性の破れと
南部-Goldstone モード
1203.1494 [hep-th], Phys. Rev. Lett. 110, 091601 (2013).
UV理論
IR理論
SSB+真空: Chiral Lagrangian
物質中: 流体力学,.....
南部-Goldstoneの定理
Nambu(’60), Goldstone(61), Nambu, Jona-Lasinio(’61), Goldstone, Salam, Weinberg(’62)
Lorentz対称性を持った真空
大域的対称性の自発的破れ
破れた対称性(生成子)の数 = NGモードの数
分散関係
きっかけ
2002~2004年あたりの理研の研究会?
橘さんがNielsen-Chadhaの論文を紹介(？)
Nucl. Phys. B 105, 445 (1976)
Ntype-I + 2Ntype-II
Type-I: ! / k
2n+1
NBS
Type-II: ! / k
2n
高密度QCD物質(K中間子凝縮相したカラー超伝導相)
Miransky, Shovkovy hep-ph/0108178
SU(2)xU(1)→U(1)
3つの破れた生成子 T1 , T2 , Y
T3
２つのNGモード ! ⇠ k ! ⇠ k
2
非自明なNGモードの例
強磁性体中のスピン波
hsz (n)i = m
スピン対称性の破れ
スピン波(マグノン)
Bloch (1930)
0 2
! = ±v k
cf. 反強磁性
2つのNGモード ! = ±v|k|
hsz (n)i = ( 1)n m
自発的対称性の破れと
NGモードの数，分散の関係は
よくわかっていなかった．
NG定理の一般化
Nielsen - Chadha (’76)
Ntype-I + 2Ntype-II NBS
2n+1
2n
Type-II: ! / k
Type-I: ! / k
Schafer, Son, Stephanov, Toublan, and Verbaarschot
h[iQa , Qb ]i = 0
NNG =
h[iQa , Qb ]i 6= 0
(Qa , Qb )
Nambu (’04)
正準関係
Watanabe - Brauner (’11)
NBS
NNG
1
rankh[iQa , Qb ]i
2
(’01)
NBS
最近の進展
有効ラグランジアンの方法 Watanabe, Murayama (’12)
森の射影演算子法
NBS
NNG
YH (’12)
1
= rankh[iQa , Qb ]i
2
Ntype-A + 2Ntype-B = NBS
Ntype-B
1
= rankh[iQa , Qb ]i
2
連続対称性の自発的破れの定義
自発的対称性の破れは，ある電荷Qaについて
h[iQa , i (x)]i ⌘ tr⇢ [iQa , i (x)] 6= 0
となる局所場Φiが少なくとも一つは存在することで定義
真空: ⇢ = |⌦ih⌦|
exp( (H µN ))
媒質中: ⇢ =
tr exp( (H µN ))
もし電荷がwell-definedならば，[iQa , ⇢] = 0
h[iQa ,
i (x)]i
= tr⇢[iQa ,
i (x)]
= tr[⇢, iQa ] i (x) = 0
cyclic property
自発的対称性の破れ 電荷がill-defined
連続対称性の自発的破れ
場の場合
F[ ]
F[ ]
縮退を伴う
Ward-Takahashi Identity
@F
@ i@
j
h[iQa ,
j ]i
=0
並進対称性が残っている場合弾性を伴う
格子の場合
⇡a
スピンの場合
自由エネルギー
ギャップレスな励起が現れる
= 南部-Goldstone(NG)モード
Nambu(’60), Goldstone(61), Nambu, Jona-Lasinio(’61),
スピン波(マグノン)
格子振動(フォノン)
NGモードとは？
電荷密度は保存則により必ず遅い
i
ja
i
例) 媒質中 = @ na
拡散方程式 @t na (t, x) = @i2 na (t, x)
対称性が自発的に破れると
電荷密度と弾性変数が正準共役
cf. Nambu (’04)
相対論的な場合
Jaµ = F⇡ @ µ ⇡a
南部-Goldstoneの定理の仮定
真空のLorentz対称性は破れていない.
k=0
2
k =0
(非相対論的:時間と空間は対等でない)
通常スカラー場が凝縮
NGモードはLorentzスカラー
(非相対論的:4元ベクトルの凝縮もあり)
電荷密度も凝縮可能!
2種類の励起
Type-A
Type-B
単振動
歳差運動
Type-A→Type-B転移の古典模型
コマが付いた振り子
回転対称性は重力による陽な破れ
z軸の周りの回転は対称性がある
x, y軸に沿った対称性は破れている
破れた対称性の数は2つ
もしコマが回っていたら，
もし，コマが回っていなければ，
一つの独立な(歳差)運動
ふたつの独立な振動が存在．
{Lx , Ly } = Lz 6= 0
最近の発展
Watanabe, Murayama (’12), YH (’12)
内部対称性の自発的破れに伴うNGモードは
2つの振動のタイプに分類できる:
Type-A
Type-B
単振動
歳差運動
Ntype-A = NBS
NBS
2Ntype-B Ntype-B
NNG
1
= rankh[iQa , Qb ]i
2
1
= rankh[iQa , Qb ]i
2
Type-A (B)は Type-I (II) NG モードか？
Type-A NG モード
電荷密度と弾性変数が正準共役
i k
Type-B NG モード
2
Type-A = Type-I
Hayata, YH (14)
電荷密度と電荷密度が正準共役
i |k|
4
Type-B = Type-II
Hayata, YH(14)
2種類の励起
重力
Type-A
Type-B
単振動
歳差運動
!⇠
p
p
g ⇠ k2
! ⇠ g ⇠ k2
Watanabe-Murayamaの方法
Watanabe, Murayama (’12)
可能な有効Lagrangianを書き下す.
1
ḡab a b
a b
L = ⇢ab ⇡ ⇡˙ +
⇡˙ ⇡˙
2
2
Leutwyler( 94)
gab
a
b
@i ⇡ @i ⇡
2
+higher
Lorentz対称性がない場合
時間の1階微分の項も可能
作用が対称性の変換の元で不変．
⇢ab /
0
ih[Qa , jb (x)]i
Watanabe, Murayama (’12)
電荷の分類
交換関係の期待値
破れた電荷
局所演算子
A
Qb
B
Qb
Type-A QA
a
0
0
B
Type-B Qa
0
A
i
B
i
0
0
h[iQB
a,
B
i ]i
or 0
B
h[iQa ,
B
i ]i
6= 0
B
i はgappedになる．
YH (12’), Hayata, YH (’14)
“Almost NG modes”
有効Lagrangian approach:
Kapustin ( 12), Karasawa, Gongyo ( 14)
=
6 0
Gapped partnerの例
フェリ磁性
スピンの大きさが同じなら
反強磁性: 2つのType-A
スピンの大きさが異なる
フェリ磁性:
1つのtype-B
1つのgapped mode
さらなる拡張について
様々な対称性の破れ
カイラル対称性
U(1)対称性
スピン対称性
CC by-sa Aney
CC by-sa Didier Descouens
ガリレイ対称性
並進対称性
並進対称性
CC by-sa Roger McLassus
CC by-sa Elijah van der Giessen
並進対称性
回転対称性
時空対称性の破れの例1
格子振動
並進(3つ)，回転(3つ)，ガリレイ(3つ)
９個破れている.
しかし, NGモードは並進の3つ.
回転とガリレイ変換に対応した
ギャップレスモードは？
ない
時空対称性の破れの例2
例: 弦
秩序変数 h (x)i
6 0
並進: h[Px , ]i = i@x h i =
6 0
回転: h[Lz , ]i = iy@x h i =
Low - Manoharの議論
Low, and Manohar (’02)
y
Lz
2つの破れ
NGモードは一つ
x
回転は並進を使って書けるので独立でない．
Px
string h (x)i
非自明な例: 液晶
ネマティック相
空間回転 O(3)→O(2)
２つの破れた生成子
２つの弾性変数
スメクティック-A 相
回転の破れ O(3)→O(2)
並進の破れ
３つの破れた生成子
１つの弾性変数
残り回転は重たいモードに
Inverse Higgs 機構
Ivanov, Ogievetsky ( 75), Low, Manohar (’02) Nicolis et al ( 13)
Endlich, Nicolis, Penco ( 13) Watanabe, Brauner (’14) YH, Noumi, Shu (’14)
⇠=e
µ
a
a
ix Pµ iT ⇡ (x)
e
Volkov ( 73), Ogievetsky ( 74)
Maurer-Cartan 1形式
↵=
i⇠
1
d⇠ =
ie
iT a ⇡ a
µ
µ
(d + iPµ dx )e
a
iT a ⇡ a
µ
= Pµ dx + [T ⇡, iPµ dx + d] + · · ·
µ
a
a
= Pµ dx + T (@µ ⇡ +
ba b
µ
fµ ⇡ )dx
Inverse Higgs mechanism
平らな方向が破れた対称性の
数に等しくない
Hayata, YH (’14)
+ ···
F[ ]
分散関係
例)液晶 (Type-A)
ネマティック相:
NBS = NEV = 2
回転 O(3)→O(2)
j
Li (x) = ✏ijk x T
2
2
!
=
ak
+
ibk
分散関係:
Hosino, Nakano(’82)
実部と虚部が同じオーダー(減衰振動)
a = 0 の時, 過減衰
例) 表面張力波 (Type-B)
cf. Takeuchi, Kasamatsu ('13) Effective Lagrangian: Watanabe, Murayama ( 14)
1
h[Pz , N ]i =
6 0
V
!⇠k
3/2
0k
(x)
i = 1, 2
分散関係
Solution to dense QCD in 1+1 dimensions
Bringoltz, 0901.4035: ‘t Hooft model, with massive quarks.
Works in Coulomb gauge, in canonical ensemble: fixed baryon number.
Solves numerically equations of motion under constaint of nonzero baryon #
Finds chiral density wave.
N.B.: for massive quarks, should
have massless excitations, but with energy
+,-./0-12345/354,167138,19:#1;465<=12303,>1? A!"1#1!'!"
~1/Nc.
@
!=±
q
akz2
+
4
bk?
&'&)
⇥⇥
B.1$)1/6<=,<203,D1A1!"
１次元的な秩序
5 ⇥⇤
&'&
&'!)
&
!'()
!'(
!'"
!'&
⇤
!
⌅⇥
BC8.40-1/6<=,<203,D1A1!"
!!'&
!
"!
#!
$!
%!
&!!
*!"
24
液晶(smectic-A相)
s
!=±
2 (ak 2 + bk 4 )
k?
z
?
2
k? + kz2
トポロジカルソリトン
並進と並進
NATURE | Vol 465 | 17 June 2010
例) 2+1D skyrmion, Kelvin wave
c
Watanabe, Murayama ('14)
Kobayashi, Nitta ( 12)
[Px , Py ] / N
x並進
[010] [100]
y並進
topological number
Yu, et al Nature 465, 901 (2010)
f
並進と内部対称性
例) domain wall in nonrelativistic massive CP1 model
30 nm
[Pz , Q] / N
z並進
U(1)電荷
data: helical structure at zero magnetic field (d), the skyrmion
structure for a weak magnetic field (50 mT) applied normal to
topological number
Kobayashi, Nitta ('14)
並進と内部対称性の破れ
Kobayashi, Nitta 1402.6826
CP1模型
domain wall解の周りのNGモード
[Q, Pz ] = 0
Magnon
Type-A
Ripplon
Type-A
[Q, Pz ] 6= 0
Ripplon-Magnon
Type-B
NG mode in Active matter
CC BY-SA 2.0
(フォッカープランク)方程式に
対称性があるが保存しないの自発的破れ
拡散モードが現れる
2
Minami, YH (’15)
! = ik
（保存系の場合:伝搬モード）
まとめ
Ntype-A = NBS Ntype-B
1
Ntype-B = rankh[iQa , Qb ]i
2
分散関係
内部対称性
Type-A
! = ak
Type-B
0 2
!=ak
時空対称性
ibk
2
0 4
ib k
一般ルールは？
Effective theory for spacetime symmetry breaking
YH, Noumi, Shu (’14)
Super symmetry in condensed matter
Type-B NG fermion Satow, Blaizot, YH (’15)
光(フォトン)はNGモードして解釈可能？
Ferrari, Picasso (’71), Hata (’82), Kugo, Terao, Uehara (’85), Hayata, YH (’14)
SSB of Generalized Global symmetry
Gaiotto, Kapustin, Seiberg, Willett ( 14)
空気中を伝わる音波は？ 自発的？
Fermi流体のゼロ音波は？
トポロジカル絶縁体のエッジモードは？
Generalized Global symmetryとの関係は？
音波と光の類似性
音波
1
1
H=
e e+
pi pi
2
2h
{ e(x), pi (x)}P =
h@i (x
y)
pi = h@i ✓
光
1 2 1 2
H = Ei + B i
2
2
[Bj (x), Ei (y)] = i✏ikj @k (x
Bi = ✏ijk @j Ak
y)
これから
量子非平衡系
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