解答と解説

平成２６年度
東大寺学園中学校
１
(2) 問題の条件を図に書きこむ
(3) 1.5 m：4 m＝3：8 より，色のついた部分を取り出した図は下の図のよ
12 cm
A
解答解説(1/2)
入学試験問題（算数）
うになります。
D
と，右の図のようになります。
3 ＋□
3 ＝○
4 ＋□
1
○
より，○
1 ＝□
2 なので，
△ABP：△CDP＝□
6 ：□
3 ＝2：1
△ABP＝12×12×
F
4
○
12 cm
1.5 m
P
3
□
1
□
とに着目し，池のまわりの長さを○
3 として，問題の条件を状況図に整理
すると，下の図のようになります。
《2 回目∼3 回目》
《1 回目∼2 回目》
B君
A君
9：04
2 人合わせて○
2
6m
△
D 3.6 m
6
○
G
C
まず，影の長さは光源からの距離に比例することに着目すると，上図で，
25
＝9 m です。
☆＝3.6×
10
次に，斜線部分の三角形の相似(相似比は 9.5：15＝19：30)に着目すると，
30
45
45
33
△＝1.5 m×
＝
m なので，FG＝1.5＋
＝ 3 m です。
19
19
19
38
A
３
(1)① 三角形 ABC の内側で，
9：30
2 人合わせて○
3
2 人合わせて○
3
10
○
C
B
☆
9m
E
9m
1.5 m
です。
(3) A 君が池のまわりを一周するのにかかる時間が 60÷5＝12 分であるこ
《スタート∼1 回目》
15
○
4m
3
○
1
2
× ＝48 cm2
2
3
0.5 m
1 (cm2)
○
円 P が通らなかった部分は
D
右の図の斜線部分のように
上の状況図より，2 人合わせて○
8 (＝○
2 ＋○
3 ＋○
3 )進むのにかかった時
なります。
間が 30−4＝26 分より，最初に出会う(2 人合わせて○
2 進む)までにかか
2
った時間は 26× ＝6.5 分＝6 分 30 秒なので，最初に出会ったのは
8
9 時 4 分＋6 分 30 秒＝9 時 10 分 30 秒です。
F
E
B
C
A
② 円 P を三角形 DEF の外
(4) 4 つの整数を○
1 ，○
1 ＋□，○
1 ＋△，○
1 ＋☆（0≦□≦△≦☆≦4)と
して，問題の条件を整理すると，
4 ＋□＋△＋☆＝190⇔(12≧)□＋△＋☆＝190−○
4 (≧0)
○
より，○
1 ≧(190−12)÷4＝44.5，○
1 ≦190÷4＝47.5 なので，
1 は 45 以上 47 以下の整数です。
○
1 ＝45 のとき，45×4＋□＋△＋☆＝190⇔□＋△＋☆＝10 より，
○
(□，△，☆)＝(3，3，4)，(2，4，4)なので，2 通り
4 (cm2)
○
側の辺にそって一周させ
たとき，円 P が通らなかっ
D
た部分は右の図の色のつ
いた部分となります。
E
F
C
B
(2) (1)の①②の図で，点 A，B，C 近くの『斜線部分』と『色のついた部分』
が相似（相似比は 1：2，面積比は○
1 ：○
4 ）であることに着目すると，
1 ＝46 のとき，46×4＋□＋△＋☆＝190⇔□＋△＋☆＝6 より，
○
円 P が通らなかった部分の面積について，次の式が成立します。
(□，△，☆)＝(0，2，4)，(1，1，4)，(0，3，3)
1 ＋△DEF＝47.86 cm2，○
4 ＋△DEF＝53.44 cm2
○
(1，2，3)，(2，2，2)なので，5 通り
消去算の考え方を用いると，
1 ＝47 のとき，47×4＋□＋△＋☆＝190⇔□＋△＋☆＝2 より，
○
(□，△，☆)＝(0，0，2)，(0，1，1) なので，2 通り
1 ＝(53.44−47.86)÷(4−1)＝1.86 cm2 なので，
○
△DEF＝47.86−1.86＝46 cm2 です。
以上より，全部で 2＋5＋2＝9 通りあります。
A
(3) (1)②の図を用いると，三
角形 ABC の周りの長さと，
２
三角形 DEF の周りの長さ
問題の条件を整理すると，下の図のようになります。
D
の差は右の図の太線部分
F
となります。
0.5 m
を一か所に引っ付けて考
3
1.5 m
3.6 m
A
1.8 m
3m
1.5 m
B
2
D
えると，太線部分は半径 2
E
A'
2 cm
の面積は
G
4 ＋2×2×π＝20 cm2
○
○
です。右の図のように
O
B'
C'
△OA'B'，△OB'C'，△OC'A'
1.5 m：1.8 m＝○
5 ：○
6 より，
に分けて考えると，
太線部分を取り出した図は右の図
20 cm2＝△A'B'C'＝△OA'B'＋△OB'C'＋△OC'A'
のようになります。右の図で，
5
○
6 ＝3.6＋3−1.8＝4.8 m なので，
○
AC(○
6 ＋1.2 m)＝6 m です。
1.5 m
1.5 m
1.8 m
(2) 右の図より，
＝4.8÷6×5＝4 m です。
C
の周りとなり，その三角形
C
F
B
cm の円に外接する三角形
3.6 m
(1) 1.5 m：3.6 m＝○
5 ： 12
光源の高さ(○
5 )
E
ここで，右の図の太線部分
3.6 m
A
3m
12
○
B
6
○
＝A'B'×2×
1
1
1
＋B'C'×2× ＋C'A'×2×
2
2
2
＝A'B'＋B'C'＋C'A'
C
なので，三角形 ABC の周りの長さと三角形 DEF の周りの長さの差は
20 cm です。
平成２６年度
東大寺学園中学校
入学試験問題（算数）
解答解説(2/2)
４
E
(3)① 三角すい ACFH の体積は，
(1) 2 回のスイッチの押し方は，「赤赤」，
「赤青」，
「青赤」，
「青青」の 4 通
H
直方体 ABCD-EFGH の体積から，
りあります。実際に動かすと，
「赤赤」…A→C→A
「赤青」…A→C→C
4 すみの三角すいの体積を
「青赤」…A→E→A
「青青」…A→E→C
引けばよいので，
となるので，点 A，点 C が答えです。
4 cm
F
求める体積は，
2×3×4−(2×3×
(2) スイッチを 2 回押すのを 1 セットと考えると，点 P や直線がどこにあ
1
1
×4× )×4
2
3
A
G
D
3 cm
2 cm
＝8 cm3 です。
っても，
「□赤」…元の位置に戻る
B
「□青」…時計回りに 2 マス移動する
となります。条件より 1 回目は赤なので，点 P は点 C にあります。よっ
② 三角すい ACFH と
て，残り 4 回（2 セット）で，点 G に移るためには，2 セットとも「□
三角すい BDEG の
青」になればよいので，5 回のスイッチは「赤□青□青」と表せます。
共通部分は右の図のような
よって，スイッチの押し方は
八面体になるので，
「赤赤青赤青」，「赤赤青青青」，「赤青青赤青」，「赤青青青青」
F
A
1
1
3×4× ×2×
2
3
(3) 1 回目のスイッチの色で場合分けします。
H
2 cm
求める体積は，
となります。
C
E
G
D
4 cm
＝4 cm3 です。
（ⅰ）1 回目のスイッチが赤のとき
点 P は最初，点 C に移るので，残り 12 回（6 セット）で点 E に移る
B
ためには，
C
3 cm
5 セットが「□赤」，1 セットが「□青」
となります。これらのセットの並び方は 6 通りあり，それぞれの□に
(4) EH を 2：1 に分ける点を T，T を通り EH に垂直な平面を STUV とす
は赤または青の 2 通りずつの入れ方があるので，スイッチの押し方は
ると，求める部分は，三角すい ACFH を面 STUV で切断してできる切
6×26＝384
断面と，三角すい BDEG を面 STUV で切断してできる切断面の共通部
通りあります。
（ⅱ）1 回目のスイッチが青のとき
分となります。
T
E
点 P は最初，点 E に移るので，残り 12 回（6 セット）で点 E に移る
T
E
H
H
ためには，
6 セット全部が「□赤」または，6 セット全部が「□青」
2 cm
2 cm
のいずれかです。よって，（ⅱ）と同じように考えると，スイッチの
U
F
押し方は，
A
2×26＝128 通りあります。
S
D
以上，（ⅰ）（ⅱ）の結果より，スイッチの押し方は全部で
U
F
GA
D
S
G
4 cm
4 cm
384＋128＝512 通り
となります。
E
５
R2
R1，R2 とすると，点 R が動いて
共通部分は右の図の斜線部
できる線は右の図の直線 R1R2 と
2
なります。三角形 A R1R2 と三角
形 ACH の相似（相似比は 2：3） A
F
G
R
2
2
る線の長さは CH の倍です。
3
3
1
C
A
2
B
R
1
G
D
E
A
2
Q
C
F
P
B
E
H
R
1
G
D
A
1
B
E
4
cm
3
求める面積は面 DCGH の方向か
4 cm
ら見て考えると，長方形の面積か
ら，直角三角形 4 つ分の面積を引
けばよいので，
4
8
2
4
2×4−( × ＋ × )
3
3
3
3
5
＝ 3 cm2 です。
9
F
A
2 cm
B
4
cm
3
D
R
2
Q
C
H
F
G
Q
C
2
cm
3
H
8
cm
3
G
D
2
cm
3
C
C
1
○
T
2
○
5
2
7
× ＝ 1 cm2
9
4
9
1
○
です。
Q
(2) 点 R の動いてできる範囲は右下の図のように，
平行四辺形となります。
H
V
3 cm
2
○
U
V
R1
B
E
S
分となるので，その面積は
D
に着目すると，点 R が動いてでき
B
C
H
1
(1) AC，AH を 2：1 に分ける点を
F
V
3 cm
B
5
3 cm 2
9

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