3.2.3 ベルヌーイの定理 3.2 運動流体 運動の法則に従って運動する 連続の式 • 流れの断面積が変化したとき，密度一定ならば管の細い ところは流れが速い S1v1 S2v 2 体積 V1 S1v1 流速v1 流体の圧力は流速で変化する 粘性がなく，乱れのない定常流において流体に 速度変化がある（加速度a がある） ⇒ 流体に力 F がはたらく（ F = ma ） ⇒ 圧力差が生じる 圧力小 流速v2 体積 V S v 2 2 2 断面積 S1 断面積 S2 定常流 S1v1 S2v 2 流速大 流速小 １つの流れのどの地点においても p1がした仕事＝ 力×距離 運動エネル ギーの変化 1 1 S 2v 2 v 22 S1v1 v12 2 2 S 2v 2 gh 2 S1v1 gh1 流速v1 流速小 3.2.3 ベルヌーイの定理 力学的エネルギー保存の法則 連続の式 圧力大 圧力大 3.2.3 ベルヌーイの定理 p1S1v1 p 2S 2v 2 加速度 加速度 圧力p2 圧力p1 1 2 1 v1 gh1 p 2 v 22 gh 2 一定 2 2 高さが同じ２地点（h1= h2）で比較すると p1 位置エネル ギーの変化 流速v2 断面積S1 p1 1 2 1 v1 p 2 v 22 2 2 圧力高 圧力低 圧力高 断面積S2 問 3-11 ベルヌーイの定理によると，同じ流れの中で は，流速の速いところの圧力は 低 く，遅い ところの圧力は 高 い． 穴から噴き出す水の速度 ベルヌーイの定理が成り立つ 液面 速度 v 0 圧力 gh p 0 吹き出し口 速度 v 圧力 p0 p 0 gh p 0 v 2gh p0 h 大気中に 吹き出す 1 v 2 2 重力による落下速度と同じ 1 問3-12 ダムの水面から 20m 下の穴から水が噴き出す 速度を求めよ．また，穴の面積が 1.0m2 とすると， 毎分の流出量はいくらか．g ＝ 10.0 m/s2 とする． 『ダムの表面の水』と『吹き出している水』に ついて，ベルヌーイの定理をはてはめると， B点 A点 A点 1 p 0 gh p 0 v 2 2 よって速度 v は， B点 v 2gh 圧力の高い方から低い方に力を受ける • 霧吹き，揚力，変化球 速い 圧力低 翼の揚力 流れが速いと圧力は低い ので水が吸い上げられる v 2 10 20 20 m/s 問 3-13 v1 ＞ v2 地点２ 地点１ なら， 粘性（ねばねばさ） 粘性流体の流れ → 壁近くでは流れが遅い • 流速の違う面の間で力をおよぼし合う（一種の摩 擦力） • 面の面積 S 摩擦力 F と流速の勾配 dv の関係 dy 流速v 摩擦力F 壁から離れる F dv S dy ほど速い流れ • 圧力差がなくなる と流れは止まる 遅い 圧力高 Ｕ字管で液面より高さ h〔m〕だけ出口を 低くする Ｕ字管内の圧力を比較 入口側： p 出口側： p0 大気圧 p0 p gh p 0 壁面から の距離 y U字管 p p p0 h 力が釣り合わないので 液は出口側に流れる この面の圧力に注目 p1 ＜ p2 である 3.2.4 速い サイフォン ＞それぞれの船の両側の水の流速を比べてみる． 船に挟まれた部分（地点１）は幅が狭くなるので， 内側の水の流速が速くなり，ベルヌーイの定理の 示すように流速の遅い外側（地点２）の方が圧力 が高く，船は内側に押される． 1 1 v12 gh1 p2 v 22 gh 2 2 2 1 1 2 2 h1 = h2 より，p1 v1 p2 v 2 2 2 圧力低 回転する ボール Q 20 1 60 1.2 103 m 3 /分 p1 圧力高 遅い h v 流量 Q は， 3.2.3 ベルヌーイの定理で説明できる現象 p0 3.2.5 粘性と流量（ハーゲンポアズイユの法則） 粘性流体は圧力差がないと流れは止まる 単位時間の流量 Q〔m3/s〕は Q r 4 p 8l 半径 r のパイプ ここで，Δp ＝p1－p2 流速v 粘性大 → 流量小 管径小 → 流量小 長さl 圧力p1 圧力p2 壁 2 問 3-14 Q r 4 p 8l ハーゲン・ポア ズイユの法則 血管の太さは r であるから，r が 1/2 になると単 位時間の流量 Q は 1/16 になる．このとき以前と 同じ流量を得るためには圧力差 Δp を 16 倍にす ればよい． 3
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