Bul l . o fYa ma ga t aUni v. , Na tSc i . , Vo l . 1 ８, No ２ ., Fe b. 2 0 1 ５ 4 m次の特殊な相結魔方陣について 内田 伏一* ( Re c e i ve dJ ul y7 ,2 0 1 4 ) Abs t r ac t Ac o mpa c tma gi cs qua r eo fo r de rni sama gi cs qua r ewhe r et hef o urc e l l so f a l l2 ×2 s qua r e sc o nt a i ne d wi t hi ni ta r es umme dt o4 / no ft he ma gi c c o ns t a nt . I nt hi spa pe r ,wec o ns i de rt wot ype so fc o mpa c tma gi cs qua r e so fo r de r4 m. Theo nei sac o mpa c tma gi cs qua r eo fo r de r4 m di vi de di nt om2 pa r t so f pa ndi a go na lma gi cs qua r e so fo r de r4 ,a ndt heo t he ri sac o mpa c tma gi c s qua r eo fo r de r4 m whi c hha ss i mi l a rpr o pe r t yt oFr a nkl i n' sma gi cs qua r e . 0. はじめに 本稿において，2 つの型の 4m 次相結魔方陣について考察する． その 1 つは，汎 4 方陣集合型相結 4m 方陣についてである．若干の知られている実例を紹介 し，その特徴的性質を整理し，このような魔方陣の簡明な作り方を示す．この結果，すべての m > 1 に対して，汎 4 方陣集合型相結 4m 方陣が存在することも保証される． 2 つ目は，フランクリン型の相結 4m 方陣についてである．条件 斜 を満たす相結 4m 方陣を 導入し，フランクリンが予期しなかったような優れた性質を有することを解説する．このよう な魔方陣についても簡明な作り方を示す． 1. 相結魔方陣 2 方 4 格の (2 × 2 小正方形に属する)4 数の和が，その 2 方 4 格をどこにとっ ても一定である場合，その魔方陣を相結魔方陣であるといい，4 数の和の一定値を相結定和と 呼ぶ．色々な性質を備えた魔方陣を作成する際に，相結性は重要な概念の 1 つとして，古くか ら活用されている．この相結性は偶数次の魔方陣にのみ意味のある性質である． 相結性がもつ顕著な性質で利用頻度の高いものを，ここに示しておく． 1) 相結魔方陣から 3 × 3 小正方形を任意に抜き出した図 1.1a において，等式 a1 + b2 = a2 + b1 · · · (s1 ) が成り立つ． a1 a2 a1 x1 a2 x2 x3 x 4 b1 x5 b2 図 1.1a b1 b2 図 1.1a * 山形大学名誉教授 １９ 内田 伏一 等式 (s1 ) が成り立つことを示すため，図 1.1a を利用する．相結性により， (a1 + x1 + x2 + x3 ) + (b2 + x3 + x4 + x5 ) − (a2 + x1 + x3 + x4 ) − (b1 + x2 + x3 + x5 ) = 0. よって，a1 + b2 − a2 − b1 = 0 を得る．これを変形して，等式 (s1 ) を得る． この等式 (s1 ) を変形して，a1 − b1 = a2 − b2 または a1 − a2 = b1 − b2 と置いて考察すること によって，次の図 1.1b において，等式 a1 + b3 = a3 + b1 , a1 + c2 = a2 + c1 , a1 + c3 = a3 + c1 · · · (s1 ) が成り立つことが分かる． a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 図 1.1b c3 2) 相結魔方陣から 4 × 4 小正方形を任意に抜き出した図 1.1c において，等式 a1 + a2 + b1 + b2 = S · · · (s2 ) が成り立つ．ここに，S は相結定和である． a1 a2 b1 a1 x3 y1 b1 b2 図 1.1c x1 x 2 x4 x 5 y2 y3 y5 y6 図 1.1c a2 x6 y4 b2 等式 (s2 ) が成り立つことを示すため，図 1.1c を利用する．相結性により， a 1 + x1 + x3 + x4 a 2 + x2 + x5 + x6 b1 + y1 + y2 + y5 b2 + y3 + y4 + y6 x4 + x5 + y2 + y3 =S =S =S =S =S x 1 + x2 + x4 + x5 y2 + y3 + y5 + y6 x3 + x4 + y1 + y2 x5 + x6 + y3 + y4 =S =S =S =S が成り立つ．左側の 5 式の和から右側の 4 式の和を引いて，等式 (s2 ) を得る． さらに，図 1.1d における等式 (s2 ) などを得る． a1 a3 b1 b3 図 1.1d ２０ 4 m次の特殊な相結魔方陣について a1 + a3 + b1 + b3 = S · · · (s2 ) 相結魔方陣についての性質 (s1 ), (s1 ) を利用して，相結魔方陣は汎魔方陣である ことを示し てみよう． 相結 8 方陣の場合を例に，図 1.2ab を使って示そう．1 つの汎対角線上の数の和と，その中の 1 つの数を通り直交する汎対角線上の数の和が一致することを示すのである． a1 b1 a2 d3 c1 b2 a3 d4 c5 d5 c6 b7 b4 d6 h2 d2 c4 a6 c8 d8 図 1.2a e2 g4 b5 d7 f1 h3 c3 a5 c7 b8 c2 b3 a4 e1 d1 b6 h4 f6 e8 g3 f4 e5 h6 g7 f8 g2 e4 g6 h1 f3 h5 f7 a8 f2 e3 g5 a7 g1 f5 e6 h7 g8 図 1.2b e7 h8 等式 (s1 ), (s1 ) を繰り返し使用して，次の等式を得る． a1 + a5 = c1 + c5 , a2 + a4 = b2 + d4 , a6 + a8 = b6 + d8 , a3 = a3 , a7 = a7 b1 + b3 = c1 + a3 , b4 + b8 = d4 + d8 , b5 + b7 = c5 + a7 , b2 = b2 , b6 = b6 c2 + c8 = b2 + d8 , c3 + c7 = a3 + a7 , c4 + c6 = d4 + b6 , c1 = c1 , c5 = c5 d1 + d7 = c1 + a7 , d2 + d6 = b2 + b6 , d3 + d5 = a3 + c5 , d4 = d4 , d8 = d8 e1 + e7 = h1 + f7 , f1 + f5 = h1 + h5 , g1 + g3 = h1 + f3 , h2 + h8 = g2 + e8 , e2 + e6 = g2 + g6 , f2 + f4 = g2 + e4 , g4 + g8 = e4 + e8 , h3 + h7 = f3 + f7 , e3 + e5 = f3 + h5 , f6 + f8 = g6 + e8 , g5 + g7 = h5 + f7 , h4 + h6 = e4 + g6 , e4 f3 g2 h1 = e4 , = f3 , = g2 , = h1 , e8 f7 g6 h5 = e8 = f7 = g6 = h5 これらの等式より a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 , b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 , d1 + d2 + d3 + d4 + d5 + d6 + d7 + d8 持 の値はいずれも c1 + b2 + a3 + d4 + c5 + b6 + a7 + d8 と等しい値をもち， e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 + e7 + e8 , f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 + f8 g1 + g2 + g3 + g4 + g5 + g6 + g7 + g8 , h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 + h8 の値はいずれも h1 + g2 + f3 + e4 + h5 + g6 + f7 + e8 と等しい値を持つ，ことが分かる． この中で，a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 と h1 + g2 + f3 + e4 + h5 + g6 + f7 + e8 は，主 対角線上の数の和と副対角線上の数の和であり，この 2 つの値は魔方陣の定和に等しい． 上に示した結果は，右下がりの汎対角線上の数の和がいずれも魔方陣の定和に等しくなるこ とを示している．全く同様の考察によって，左下がりの汎対角線上の数の和も魔方陣の定和に 等しくなることが分かる．よって，相結魔方陣は汎魔方陣であることが示された． ２１ 内田 伏一 文献 [4] においても，相結魔方陣は汎魔方陣であることを証明しているが，あまり見通しの良 い証明ではなかったので，改良した証明を述べてみた．文献 [2],[3],[5] には相結性を持つ方陣と 完全方陣 (汎魔方陣) とが一緒に記述されている項がたくさんあるが，相結魔方陣は完全方陣で あるとの記述は見当たらない．これは，フランクリンの魔方陣などのように，相結性を満たす 方形 (対角線和が定和に一致しない) などが扱われている故かと思われる． 2. 4 方陣集合型相結 4m 方陣 まず，文献 [2] に記載されている 2 つの 4 方陣集合型相結 16 方陣とその解説を紹介しよう． 1 188 205 120 5 180 201 128 9 192 197 116 13 184 193 124 239 52 86 137 35 256 154 69 235 56 94 129 39 252 146 77 231 60 82 141 43 248 158 65 227 64 90 133 47 244 150 73 図 2.1a 222 103 18 171 218 111 22 163 214 99 26 175 210 107 30 167 2 187 206 119 6 179 202 127 10 191 198 115 14 183 194 123 237 88 33 156 233 96 37 148 229 84 41 160 225 92 45 152 51 138 255 70 55 130 251 78 59 142 247 66 63 134 243 74 224 101 20 169 220 109 24 161 216 97 28 173 212 105 32 165 3 186 207 118 7 178 203 126 11 190 199 114 15 182 195 122 240 85 36 153 236 93 40 145 232 81 44 157 228 89 48 149 50 139 254 71 54 131 250 79 58 143 246 67 62 135 242 75 221 104 17 172 217 112 21 164 213 100 25 176 209 108 29 168 4 238 49 223 185 87 140 102 208 34 253 19 117 155 72 170 8 234 53 219 177 95 132 110 204 38 249 23 125 147 80 162 12 230 57 215 189 83 144 98 200 42 245 27 113 159 68 174 16 226 61 211 181 91 136 106 196 46 241 31 121 151 76 166 1936 年ころ 境新 作 1 255 30 228 9 247 22 236 17 239 14 244 25 231 6 252 254 227 4 29 225 256 31 2 246 235 12 21 233 248 23 10 238 243 20 13 241 240 15 18 230 251 28 5 249 232 7 26 図 2.1b 32 226 3 253 24 234 11 245 16 242 19 237 8 250 27 229 33 223 62 196 41 215 54 204 49 207 46 212 57 199 38 220 222 36 193 63 214 44 201 55 206 52 209 47 198 60 217 39 195 61 224 34 203 53 216 42 211 45 208 50 219 37 200 58 64 194 35 221 56 202 43 213 48 210 51 205 40 218 59 197 65 191 94 164 73 183 86 172 81 175 78 180 89 167 70 188 190 68 161 95 182 76 169 87 174 84 177 79 166 92 185 71 163 93 192 66 171 85 184 74 179 77 176 82 187 69 168 90 96 162 67 189 88 170 75 181 80 178 83 173 72 186 91 165 97 158 131 128 159 100 125 130 126 129 160 99 132 127 98 157 105 150 139 120 151 108 117 138 118 137 152 107 140 119 106 149 113 142 147 112 143 116 109 146 110 145 144 115 148 111 114 141 121 134 155 104 135 124 101 154 102 153 136 123 156 103 122 133 1938 年 安部元章 作 図 2.1a の 16 方陣の特徴的な性質は，次の通りである． 1. 完全方陣であり定和は 2056 である． 2. 上下左右に 4 等分すれば 16 個の定和 514 の完全 4 方陣に分割される． 3. 相結魔方陣であり，相結定和は 514 である． 4. 16 個の 4 方陣の同じ位置にある数は連続する 16 個の数 (作り方の特徴) である． 5. 相隣る 4 個の 4 方陣で 8 方陣 (9 個) を作れば，どれも定和 1028 の完全方陣である． ２２ 4 m次の特殊な相結魔方陣について 6. 相隣る 9 個の 4 方陣で 12 方陣 (4 個) を作れば，どれも定和 1542 の完全方陣である． 7. 全 16 方陣，任意に取り出した 12 方陣，8 方陣，4 方陣の 4 隅の数の和は，どれも 514 で ある． 図 2.1b の 16 方陣の特徴的な性質は，次の通りである． 1. 完全方陣であり定和は 2056 である． 2. 上下左右に 4 等分すれば 16 個の定和 514 の完全 4 方陣に分割される． 3. 相結魔方陣であり，相結定和は 514 である． 4. 相隣る 4 個の 4 方陣で 8 方陣 (9 個) を作れば，どれも定和 1028 の完全方陣である． 5. 相隣る 9 個の 4 方陣で 12 方陣 (4 個) を作れば，どれも定和 1542 の完全方陣である． 6. 広い意味でのフランクリン型が成り立つ． 図 2.1ab はどちらも素晴らしい作品である．汎 4 方陣集合型の相結 16 方陣であることのみを 念頭に作成すれば，結果として，上記の特徴的性質を持つことになる．この事実を把握して作 成したものと思われる． 次に，盆出芸の 24 次超完全方陣 (作者の命名による) を文献 [3],[5] から引用し，その解説と共 に紹介しよう． 1 288 391 474 7 282 385 480 13 276 379 486 19 270 373 492 25 264 367 498 31 258 361 504 432 186 433 103 42 576 247 289 426 192 439 97 48 570 241 295 420 198 445 91 54 564 235 301 414 204 451 85 60 558 229 307 408 210 457 79 66 552 223 313 402 216 463 73 72 546 217 319 図 2.1c 535 330 145 144 529 336 151 138 523 342 157 132 517 348 163 126 511 354 169 120 505 360 175 114 41 248 431 434 47 242 425 440 53 236 419 446 59 230 413 452 65 224 407 458 71 218 401 464 392 473 2 287 386 479 8 281 380 485 14 275 374 491 20 269 368 497 26 263 362 503 32 257 146 143 536 329 152 137 530 335 158 131 524 341 164 125 518 347 170 119 512 353 176 113 506 359 575 3 430 184 290 286 435 105 185 393 40 574 104 472 249 291 569 9 424 190 296 280 441 99 191 387 46 568 98 478 243 297 563 15 418 196 302 274 447 93 197 381 52 562 92 484 237 303 557 21 412 202 308 268 453 87 203 375 58 556 86 490 231 309 551 27 406 208 314 262 459 81 209 369 64 550 80 496 225 315 545 33 400 214 320 256 465 75 215 363 70 544 74 502 219 321 24 次超完全方陣 537 328 147 142 531 334 153 136 525 340 159 130 519 346 165 124 513 352 171 118 507 358 177 112 39 250 429 436 45 244 423 442 51 238 417 448 57 232 411 454 63 226 405 460 69 220 399 466 394 471 4 285 388 477 10 279 382 483 16 273 376 489 22 267 370 495 28 261 364 501 34 255 148 141 538 327 154 135 532 333 160 129 526 339 166 123 520 345 172 117 514 351 178 111 508 357 573 292 183 106 567 298 189 100 561 304 195 94 555 310 201 88 549 316 207 82 543 322 213 76 5 284 395 470 11 278 389 476 17 272 383 482 23 266 377 488 29 260 371 494 35 254 365 500 428 182 437 107 38 572 251 293 422 188 443 101 44 566 245 299 416 194 449 95 50 560 239 305 410 200 455 89 56 554 233 311 404 206 461 83 62 548 227 317 398 212 467 77 68 542 221 323 1973 年 539 326 149 140 533 332 155 134 527 338 161 128 521 344 167 122 515 350 173 116 509 356 179 110 盆出 37 396 252 469 427 6 438 283 43 390 246 475 421 12 444 277 49 384 240 481 415 18 450 271 55 378 234 487 409 24 456 265 61 372 228 493 403 30 462 259 67 366 222 499 397 36 468 253 芸作 150 139 540 325 156 133 534 331 162 127 528 337 168 121 522 343 174 115 516 349 180 109 510 355 571 294 181 108 565 300 187 102 559 306 193 96 553 312 199 90 547 318 205 84 541 324 211 78 図 2.1c の 24 次方陣の性質は次の通りである． 1. 全体として見れば，定和 6924 の 24 次完全方陣である． 2. 罫線で区切った 36 個の 4 次配列はすべて完全方陣である． 3. 罫線で区切った 25 個の 8 次配列，16 個の 12 次配列，9 個の 16 次配列，4 個の 20 次配列も すべて完全方陣である． ２３ 内田 伏一 4. 任意の 2 次配列の 4 数の和はすべて一定 1154 である．すなわち，この 24 次方陣は相結魔 方陣である． 5. 任意の 4 次配列，6 次配列，8 次配列，· · · ，24 次配列 (偶数次配列) の 4 隅の数の和はすべ て一定 1154 である． 6. 上下左右の 4 方向の ”フランクリン型 ”が成立する． 文献 [3],[5] にはこのように説明されている．この 24 方陣は，汎 4 方陣集合型相結魔方陣であ り，これもまた，素晴らしい作品である． 3. 汎 4 方陣集合型相結 4m 方陣の作り方 筆者は文献 [4] において汎 4 方陣集合型相結 8 方 陣の構造を解析し，その全体像を明らかにした．その副産物の 1 つとして，汎 4 方陣集合型相 結 4m 方陣の簡明な作成法を見つけ，web-site に公開していた． その中の 12 方陣 (m = 3) と 16 方陣 (m = 4) の例を図 3.1ab として，ここに示しておく． 1 124 30 135 2 125 29 134 3 126 28 133 66 99 37 88 65 98 38 89 64 97 39 90 115 10 144 21 116 11 143 20 117 12 142 19 108 57 79 46 107 56 80 47 106 55 81 48 4 121 33 132 5 122 32 131 6 123 31 130 69 96 40 85 68 95 41 86 67 94 42 87 112 13 141 24 113 14 140 23 114 15 139 22 105 60 76 49 104 59 77 50 103 58 78 51 7 118 36 129 8 119 35 128 9 120 34 127 72 93 43 82 71 92 44 83 70 91 45 84 109 16 138 27 110 17 137 26 111 18 136 25 102 63 73 52 101 62 74 53 100 61 75 54 図 3.1a 1 116 205 192 5 120 201 188 9 124 197 184 13 128 193 180 221 52 240 176 65 157 17 256 36 100 141 81 217 56 236 172 69 153 21 252 40 104 137 85 213 60 232 168 73 149 25 248 44 108 133 89 209 64 228 164 77 145 29 244 48 112 129 93 2 115 206 191 6 119 202 187 10 123 198 183 14 127 194 179 222 175 18 99 218 171 22 103 214 167 26 107 210 163 30 111 51 66 255 142 55 70 251 138 59 74 247 134 63 78 243 130 239 3 158 114 35 207 82 190 235 7 154 118 39 203 86 186 231 11 150 122 43 199 90 182 227 15 146 126 47 195 94 178 3.1b 223 174 19 98 219 170 23 102 215 166 27 106 211 162 31 110 50 67 254 143 54 71 250 139 58 75 246 135 62 79 242 131 238 4 224 49 237 159 113 173 68 160 34 208 20 253 33 83 189 97 144 84 234 8 220 53 233 155 117 169 72 156 38 204 24 249 37 87 185 101 140 88 230 12 216 57 229 151 121 165 76 152 42 200 28 245 41 91 181 105 136 92 226 16 212 61 225 147 125 161 80 148 46 196 32 241 45 95 177 109 132 96 図 3.1ab 共，4 隅の 4 方陣の中の 4 か所の数を太字で記している．この数から出発して左か ら右へ (右から左へ) さらに上から下へ (下から上へ)，4 方陣の同じ位置の数をたどってみれば， これらの方陣の作り方を把握できるものと思う．大きい次数の汎 4 方陣集合型相結魔方陣の作 成も容易であることが理解できよう． ２４ 4 m次の特殊な相結魔方陣について もう 1 種類の汎 4 方陣集合型相結 4m 方陣について，12 方陣 (m = 3) と 16 方陣 (m = 4) の例 を図 3.2ab として，ここに示しておく．これは，図 2.1b の安部元章による 16 方陣と似た作り方 で，数の配列が簡明になっているものである． 1 48 98 143 13 60 86 131 25 72 74 119 1 80 178 255 17 96 162 239 33 112 146 223 49 128 130 207 100 47 142 141 2 99 3 144 45 46 97 4 88 59 130 129 14 87 15 132 57 58 85 16 76 71 118 117 26 75 27 120 69 70 73 28 180 79 254 253 2 179 3 256 77 78 177 4 164 95 238 237 18 163 19 240 93 94 161 20 148 111 222 221 34 147 35 224 109 110 145 36 132 127 206 205 50 131 51 208 125 126 129 52 5 76 182 251 21 92 166 235 37 108 150 219 53 124 134 203 184 249 7 74 168 233 23 90 152 217 39 106 136 201 55 122 5 44 102 139 17 56 90 127 29 68 78 115 75 6 252 181 91 22 236 165 107 38 220 149 123 54 204 133 104 43 138 137 6 103 7 140 41 42 101 8 92 55 126 125 18 91 19 128 53 54 89 20 80 67 114 113 30 79 31 116 65 66 77 32 図 3.2a 250 9 183 72 73 186 8 247 234 25 167 88 89 170 24 231 218 41 151 104 105 154 40 215 202 57 135 120 121 138 56 199 図 3.2b 9 108 39 134 40 133 10 107 106 11 136 37 135 38 105 12 21 96 51 122 52 121 22 95 94 23 124 49 123 50 93 24 33 84 63 110 64 109 34 83 82 35 112 61 111 62 81 36 188 71 245 10 11 248 70 185 172 87 229 26 27 232 86 169 156 103 213 42 43 216 102 153 140 119 197 58 59 200 118 137 246 13 192 67 187 68 241 14 69 190 15 244 12 243 66 189 230 29 176 83 171 84 225 30 85 174 31 228 28 227 82 173 214 45 160 99 155 100 209 46 101 158 47 212 44 211 98 157 198 61 144 115 139 116 193 62 117 142 63 196 60 195 114 141 242 191 65 16 226 175 81 32 210 159 97 48 194 143 113 64 4 隅の 4 方陣の中の 4 か所の数を太字で記している．この 4 個の数たちから出発して左から右 へ (右から左へ) さらに上から下へ (下から上へ)，4 方陣の同じ位置の数をたどってみれば，こ の方陣の作り方を把握できるものと思う．この方法でも大きい次数の汎 4 方陣集合型相結魔方 陣の作成が容易であることが理解できよう． ここに，4m 次の汎 4 方陣集合型相結魔方陣の特徴的性質について，記述しておく． 1. 縦横に m 等分すれば，m2 個の汎 4 方陣に分割される． 2. 相結魔方陣である． 3. 縦横に k 個 (k = 2, 3, · · · , m − 1) の 4 方陣を貼り合わせてできる 4k 方陣も (相結魔方陣だ から) 完全方陣である．この 4k 方陣は見かけ上 (m − k + 1)2 個であるが，上 4 行を切り離 して下段に貼り合わせる操作と左 4 列を切り離して右端に貼り合わせる操作を繰り返して みれば，k の値に関係なく m2 個の 4k 次の完全方陣が包まれている． 図 3.1ab および図 3.2ab の簡明な作り方を発見するに至った背景について，12 方陣の場合を 例に説明しよう． ２５ 内田 伏一 0 bdef abce acdf def b abcdf ace d bef abcde acf ef bd abcf acde d1 abc e abcdef df abcd de abcef f acdef bdf ac be acef bf acd bde a bce adef bcdf ad bcde aef bcf abdef cdf ab ce abef cf abd cde bc ae bcdef adf bcd ade bcef af cdef abdf c abe cef abf cd abde a1 c1 f1 図 3.3a 0 bdef abc abce acdf e def b abcdef abcdf ace df d bef abcd abcde acf de ef bd abcef abcf acde f d1 bef1 abcd1 abcd1 e acf1 d1 e ef1 bd1 abcef1 abcf1 acd1 e f1 acdef bdf ac be acef bf acd bde acef1 bf1 acd1 bd1 e a abdef bc bce cdf ae adef ab bcdef bcdf ce adf ad abef bcd bcde cf ade aef abd bcef bcf cde af ad1 abef1 bcd1 bcd1 e cf1 ad1 e aef1 abd1 bcef1 bcf1 cd1 e af1 図 3.3b cdef a1 a1 bdef abdf bc1 e c1 df c a1 def a1 b abe bc1 df c1 e cef a1 d a1 bef abf bc1 de c1 f cd a1 ef a1 bd abde bc1 f c1 de cef1 a1 d1 a1 bef1 abf1 bc1 d1 e c1 f1 cd1 a1 ef1 a1 bd1 abd1 e bc1 f1 c1 d1 e bc1 a1 e bc1 def a1 df bc1 d a1 de bc1 ef a1 f bc1 d1 a1 d1 e bc1 ef1 a1 f1 c1 def a1 bdf c1 a1 be c1 ef a1 bf c1 d a1 bde c1 ef1 a1 bf1 c1 d1 a1 bd1 e 図 3.3a において，汎 4 方陣集合型相結 8 方陣の標準形 (文献 [4] 参照) が記入されている．記 述の簡略化のため，和の記号 + を省略している．例えば，abc と記入されているのは a + b + c の意味である．この図を汎 4 方陣集合型相結 12 方陣に発展させてみよう．中央の 4 列と右端の 4 列を置換すること，および中央の 4 行と下端の 4 行を置換することは汎 4 方陣集合型相結 12 方陣という性質を保った変換である． このような変換を念頭に，a, c を a1 , c1 に置き換えたり，d, f を d1 , f1 に置き換えたりして，空欄 を埋める作業を実行する．この結果，図 3.3b を得る．図 3.3b において，等式 ac = a1 c1 , df = d1 f1 が成り立つ． 図 3.1a は，図 3.3b において， a = 1, b = 9, c = 19, d = 3, e = 36, f = 75, a1 = 2, c1 = 18, d1 = 6, f1 = 72 と置いて作成し，各項に 1 を加えたものに一致している． 図 3.2a は，図 3.3b において， a = 4, b = 2, c = 40, d = 12, e = 1, f = 84, a1 = 8, c1 = 36, d1 = 24, f1 = 72 と置いて作成し，各項に 1 を加えたものに一致している． 4. フランクリン型魔方陣 文献 [2],[3],[5] に，政治家であり科学者でもあったフランクリン (1706-1790) が友人に宛てた手紙の中に記されていた 8 方形と 16 方形 (いずれも対角線和が方陣 ２６ 4 m次の特殊な相結魔方陣について の定和になっていない) がフランクリン型魔方陣として紹介されている．これは，対角線和が 方陣の定和と異なるが，たくさんの定和をもつ素晴らしいもの故である． ここに，フランクリンの 8 方形を図 4.1 として記し，その解説を紹介しておく． 52 14 53 11 55 9 50 16 61 4 3 62 60 5 6 59 58 7 8 57 63 2 1 64 図 4.1 13 51 12 54 10 56 15 49 20 29 36 46 35 30 21 28 37 43 38 27 23 26 39 41 40 25 18 31 34 48 33 32 Franklin 作 45 19 44 22 42 24 47 17 この 8 方形の行和，列和は 260 であり，相結 (すなわち 2 方 4 格の 4 数の和が 130 で一定) で ある．この他の特徴的な性質を記しておく． 1. 上下左右に 2 等分してできる 4 個の 4 × 4 の表は定和 130 の 4 方形である． 2. 上向きの山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 16+63+57+10+23+40+34+17, 53+3+4+49+48+29+30+44 など． 3. 下向きの山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 52+3+5+54+43+28+30+45, 50+1+4+51+46+29+32+47 など． 4. 右向きの山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 52+3+5+54+10+57+63+16, 61+62+12+43+23+56+2+1 など． 5. 左向きの山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 45+30+28+43+23+40+34+17, 13+62+60+11+55+8+2+49 など． 6. 上向きの 2 連山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 16+63+2+49+48+31+34+17, 50+8+57+15+18+40+25+47 など． 7. 下向きの 2 連山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 52+3+62+13+20+35+30+45, 14+60+5+51+46+28+37+19 など 8. 上向きの 2 連とんがり山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 16+63+57+15+18+40+34+17, 53+3+4+51+46+29+30+44 など 9. 下向きの 2 連とんがり山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 52+3+5+51+46+28+30+45, 55+8+2+56+41+31+25+42 など 10. 右向きの 2 連とんがり山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 52+3+5+6+58+57+63+16, 29+30+44+27+39+24+34+33 など 11. 左向きの 2 連とんがり山の形 (8 組) の 8 数の和は 260 である． 45+30+28+27+39+40+34+17, 13+62+60+59+7+8+2+49 など 残念ながら，この 8 方形では右向きおよび左向きの 2 連山の形については 8 数の和は 260 に はならない．上記の性質のうち 2，3，4，5 を満たすものを (広い意味で) フランクリン型と呼 ぶようである． なお，中国では楊輝がフランクリンより 500 年も前にフランクリン型に近い 10 方形を得てい たことが，その 10 方形とともに文献 [2] に記されている． ２７ 内田 伏一 5. 条件 斜 を満たす相結 4m 方陣 文献 [1] において，阿部楽方は図 5.1a の 8 方陣と図 5.1b の 12 方陣を提示し，これらの 2 つの方陣が次に示すような優れた性質を持っていることを紹介 している． 1 8 41 57 64 17 6 3 46 62 59 22 4 5 44 60 61 20 7 2 47 63 58 23 図 5.1a 1 111 31 141 7 117 25 135 22 132 19 129 48 25 24 33 43 30 19 38 45 28 21 36 42 31 18 39 1977 年 32 49 40 9 27 54 35 14 29 52 37 12 26 55 34 15 阿部楽方 56 16 51 11 53 13 50 10 作 34 74 107 75 108 3 36 110 143 73 106 144 38 71 37 70 109 142 2 35 39 72 4 104 77 105 78 33 6 140 113 103 76 114 68 41 67 40 139 112 32 5 69 42 28 80 101 81 102 9 30 116 137 79 100 138 44 65 43 64 115 136 8 29 45 66 10 98 83 99 84 27 12 134 119 97 82 120 62 47 61 46 133 118 26 11 63 48 13 95 86 96 87 24 15 131 122 94 85 123 59 50 58 49 130 121 23 14 60 51 16 92 89 93 90 21 18 128 125 91 88 126 56 53 55 52 127 124 20 17 57 54 図 5.1b 1977 年 阿部楽方 作 2 つの方陣ともに汎魔方陣であり，さらに次の性質を持っている．その優れた性質について， 8 方陣の場合には図 5.1c を使って，12 方陣の場合には図 5.1d を使って説明しよう． 8 方陣の場合には，◦ 印 8ヵ所の山の形 (折斜と呼ぶ) の数の和および • 印 8ヵ所の 2 連山の形 (複折斜と呼ぶ) の数の和が共に 260 で方陣の定和に一致している．さらに上下に平行移動した 8ヵ所，左右に 2 列平行移動した 8ヵ所の数の和も 260 である． また，図 5.1c を 90 °，180 °，270 °回転した図についても全く同じような性質を持つ． 12 方陣の場合には，◦ 印 12ヵ所の山の形 (折斜) の数の和および • 印 12ヵ所の 3 連山の形 (複 折斜) の数の和が共に 870 で方陣の定和に一致している．さらに上下に平行移動した 12ヵ所，左 右に 2 列平行移動した 12ヵ所の数の和も 870 である． また，図 5.1d を 90 °，180 °，270 °回転した図についても全く同じような性質を持つ． 持 12 方陣につい さらに，8 方陣の場合には類似の性質をもったものの研究が知られていたが， ては図 5.1b が初めての例であることが述べられている． ２８ 4 m次の特殊な相結魔方陣について ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ ◦ • • • • ◦ • • • • • • • • • • • • • • • 図 5.1c 図 5.1d 図 5.1a と図 5.1b の方陣について調べてみると，この 2 つの方陣はともに相結方陣であり，さ らに 斜 2 行ごと 2 列ごとに線を引いて，2 × 2 の小正方形に分割してみると， 各小正方形の斜め 2 数の和が一定の値になっている． この条件を本稿では，条件 斜 と呼ぶことにする． 条件 斜 を満たす相結 8 方陣は図 5.2a において a, b, c, d, e, f に 1,2,4,8,16,32 を代入し，各成分 に 1 を加えることによって実現できる．実際，図 5.1a の 8 方陣は図 5.2a において a = 8, b = 32, c = 16, d = 1, e = 4, f = 2 と置いたものに対応している．図 5.2a では和の記号 + を省いており，abc は a + b + c を表す． 0 def ab abdef ac acdef bc bcdef abc 63 c cdef b bdef a adef de f abde abf acde acf bcde bcf abcde abcf cde cf bde bf ade af df e abdf abe acdf ace bcdf bce abcdf abce cdf ce bdf be adf ae ef d abef abd acef acd bcef bcd abcef abcd cef cd bef bd aef ad 図 5.2a 条件 斜 を満たす相結 8 方陣に，数の置換 (2,8)(4,6) を行の置換と列の置換として続けて施し た変換を実行すると，定和点対称型相結 8 方陣に変換され，逆に定和点対称型相結 8 方陣に同 じ変換を実行すると，条件 斜 を満たす相結 8 方陣に変換されることが分かる． ２９ 内田 伏一 とくに，条件 斜 を満たす相結 8 方陣の全体と定和点対称型相結 8 方陣の全体は 1 対 1 に対 応することが分かる．この結果，条件 斜 を満たす相結 8 方陣の総数は 5,760 個であることが分 かる． 図 5.2a は，筆者が文献 [4] で考察した定和点対称型相結 8 方陣の標準形に上記の変換を施し たものである． 図 5.2b は，条件 斜 を満たす相結 12 方陣である． 1 133 3 135 7 139 8 140 9 141 11 143 12 144 10 142 6 138 5 137 4 136 2 134 25 109 27 111 31 115 32 116 33 117 35 119 36 120 34 118 30 114 29 113 28 112 26 110 73 61 75 63 79 67 80 68 81 69 83 71 84 85 72 49 82 87 70 51 78 91 66 55 77 92 65 56 76 93 64 57 74 95 62 59 図 5.2b 96 60 94 58 90 54 89 53 88 52 86 50 97 37 99 39 103 43 104 44 105 45 107 47 108 48 106 46 102 42 101 41 100 40 98 38 121 13 123 15 127 19 128 20 129 21 131 23 132 24 130 22 126 18 125 17 124 16 122 14 相結 8 方陣の場合と同じように，数の置換 (2,12)(4,10)(6,8) による変換を実行することによっ て，条件 斜 を満たす相結 12 方陣の全体と定和点対称型相結 12 方陣の全体は 1 対 1 に対応する ことが分かる．この結果，条件 斜 を満たす相結 12 方陣の総数は 3,628,800 個であることが分 かる．これは，定和点対称型相結 12 方陣の総数の計算結果による． 先に示したように，相結魔方陣は完全方陣 (汎魔方陣) である．ここでは，条件 斜 を満たす 相結 4m 方陣は，図 5.1a と図 5.1b の方陣と同じように，4 方向の山の形 (折斜) 及び m 連山の 形 (複折斜) の数の和が方陣の定和に一致することを示そう． 12 方陣の場合について説明する．下記の図では 2 × 2 の小正方形との位置関係が分かるよう に表示してある．まず，3 連山の形 (複折斜) の場合について，図 5.3a と図 5.3b の 2 つの図を準 備する． ◦ • • ◦ ◦ • • ◦ ◦ • • ◦ • ◦ ◦ • • ◦ ◦ • • ◦ ◦ • 図 5.3a ◦ • • ◦ ◦ • • ◦ ◦ • • ◦ • ◦ ◦ • • ◦ ◦ • • ◦ ◦ • 図 5.3b この図 5.3ab において，同じ記号の 12ヵ所の数の和が方陣の定和に一致することを示したい． この図 5.3a ，図 5.3b において，同じ記号の12ヵ所の数の和が方陣の定和に一致することを示 5.3a の場合には，条件 斜 によって ◦ 印の 12ヵ所および • 印の 12ヵ所の数の和が方陣の定和 図 したい． 5.3b の場合について考察しよう．次の図 5.3c を準備する． に一致することは明らかである．図 図 5.3a の場合には，条件 斜 によって 印の12ヵ所および 印の12ヵ所の数の和が方陣の定和 に一致することは明らかである．図 5.3b の場合について考察しよう．次の図 5.3c を準備する. ３０ 4 m次の特殊な相結魔方陣について a2 a3 b1 a6 a7 b4 b5 c2 c3 a10 a11 b8 b9 c6 c7 図 5.3c b12 c10 c11 図 5.3c において，相結性を使うと次の等式が成り立つことが分かる． a2 + a3 = c2 + c3 , a6 + a7 = c6 + c7 , a10 + a11 = c10 + c11 よって，次の等式が成り立つ． b1 + a2 + a3 + b4 + b5 + a6 + a7 + b8 + b9 + a10 + a11 + b12 = b1 + c2 + c3 + b4 + b5 + c6 + c7 + b8 + b9 + c10 + c11 + b12 すなわち，図 5.3c を利用すれば，図 5.3b の ◦ 印および • 印の 12ヵ所の数の和は，図 5.3a の • 印および ◦ 印の 12ヵ所の数の和に一致することになる．結局，図 5.3b の ◦ 印および • 印の 12ヵ 所の数の和も方陣の定和に一致することが分かる． 次に，山の形 (折斜) の場合について，図 5.3d と図 5.3e を準備する． ◦1 •1 •3 ◦2 ◦3 •2 •1 ◦1 ◦2 •3 •2 ◦3 •1 ◦2 ◦1 •2 •3 ◦3 ◦2 •1 •2 ◦1 ◦3 •3 ◦2 •2 •1 ◦3 ◦1 •3 •2 •2 ◦2 ◦3 ◦3 ◦2 •1 •3 •3 •1 ◦1 ◦1 図 5.3d ◦3 •2 •3 ◦2 ◦1 •1 ◦3 •3 •2 ◦1 ◦2 •1 •3 ◦3 ◦1 •2 •1 ◦2 •3 ◦1 ◦3 •1 •2 ◦2 ◦1 •1 •3 ◦2 ◦3 •2 ◦1 •3 •1 ◦3 ◦2 •2 •1 ◦1 ◦2 •3 •2 ◦3 •1 ◦2 ◦1 •2 •3 ◦3 ◦2 •1 •2 ◦1 ◦3 •3 ◦2 •2 •1 ◦3 ◦1 •3 •2 ◦2 ◦3 •1 •3 ◦1 •2 ◦3 ◦2 •3 •1 ◦1 ◦3 •2 •3 ◦2 ◦1 •1 ◦3 •3 •2 ◦1 ◦2 •1 •3 ◦3 ◦1 •2 •1 ◦2 •3 ◦1 ◦3 •1 •2 ◦2 ◦1 •3 •1 ◦3 ◦2 •2 図 5.3e この図 5.3d 5.3de，図 において，同じ記号の 12ヵ所の数の和が方陣の定和に一致することを示したい． この図 5.3e において，同じ記号の12ヵ所の数の和が方陣の定和に一致することを示 図 5.3d の場合には，条件 斜 によって同じ記号の 12ヵ所の数の和が方陣の定和に一致すること したい． 5.3e の場合について考察しよう．次の図 5.3f を準備する． は明らかである．図 図5.3d の場合には，条件 斜 によって同じ記号の12ヵ所の数の和が方陣の定和に一致すること は明らかである．図 5.3e の場合について考察しよう．次の図 5.3f を準備する． c6 c7 a1 c5 a2 c8 c4 a12 c9 b3 c2 c1 a11 b10 a4 a9 a5 a8 a6 a7 図 5.3f 図 5.3f において，相結性によって次の等式が成り立つ． ３１ c11 c12 内田 伏一 a1 + a5 = c1 + c5 , a2 + a4 = c2 + c4 , a6 + a7 = c6 + c7 , a8 + a12 = c8 + c12 , a9 + a11 = c9 + c11 この結果，図 5.3f の上下向きの山の形 (折斜) の 12ヵ所の数の和が一致することが分かる．図 5.3f を利用することによって，図 5.3e の各折斜の数の和は図 5.3d のある折斜の数の和に一致す ることが分かる．すなわち，図 5.3e の場合にも，同じ記号の 12ヵ所の数の和は方陣の定和に一 致することが分かった． ここまでの考察の結果，一般に条件 斜 を満たす相結 4m 方陣について，図 5.3a，図 5.3b を 参考に，16m(= 2 × 4m × 2) 個の m 連山の形 (複折斜) の定和性が分かり，図 5.3d，図 5.3e を 参考に，16m2 (= 2m × 4m × 2) 個の山の形 (折斜) の定和性が分かる． これは，相結 4m 方陣について 8m 個の汎斜 (汎対角線) の定和性が分かることに比べて非常 に多くの定和性が分かることを意味している． 途中の説明を省略するが，0 から始まる相結 16 方陣で，左上隅に 0 が配置され，条件 斜 を 満たすものは，図 5.4a のように表示できる． 0 N M MN n̄ n M n̄ M n m̄ m M m̄ M m ¯ M ¯ M k̄ k M k̄ M k j̄ j M j̄ M j ī i M ī Mi h̄ h M h̄ M h ḡ ḡN g gN ḡn̄ ḡn gn̄ gn ḡ m̄ ḡm g m̄ gm ḡ ¯ ḡ g ¯ g ḡ k̄ ḡk g k̄ gk ḡ j̄ ḡj g j̄ gj ḡ ī ḡi g ī gi ḡ h̄ ḡh g h̄ gh f¯ f¯N f fN f¯n̄ f¯n f n̄ f n f¯m̄ f¯m f m̄ f m f¯¯ f¯ f ¯ f f¯k̄ f¯k f k̄ f k f¯j̄ f¯j f j̄ f j f¯ī f¯i f ī fi f¯h̄ f¯h f h̄ f h ¯ ē ēN d¯ dN e eN d dN ¯ ¯ ēn̄ ēn dn̄ dn en̄ en dn̄ dn ¯ ēm̄ ēm d¯m̄ dm em̄ em dm̄ dm ¯ ē¯ ē d¯¯ d e¯ e d¯ d ¯ ēk̄ ēk d¯k̄ dk ek̄ ek dk̄ dk ¯ ēj̄ ēj d¯j̄ dj ej̄ ej dj̄ dj ¯ ēī ēi d¯ī di eī ei dī di ¯ ēh̄ ēh d¯h̄ dh eh̄ eh dh̄ dh 図 5.4a c̄ c̄N c cN c̄n̄ c̄n cn̄ cn c̄m̄ c̄m cm̄ cm c̄¯ c̄ c¯ c c̄k̄ c̄k ck̄ ck c̄j̄ c̄j cj̄ cj c̄ī c̄i cī ci c̄h̄ c̄h ch̄ ch b̄ b̄N b bN b̄n̄ b̄n bn̄ bn b̄m̄ b̄m bm̄ bm b̄¯ b̄ b¯ b b̄k̄ b̄k bk̄ bk b̄j̄ b̄j bj̄ bj b̄ī b̄i bī bi b̄h̄ b̄h bh̄ bh ā āN a aN ān̄ ān an̄ an ām̄ ām am̄ am ā¯ ā a¯ a āk̄ āk ak̄ ak āj̄ āj aj̄ aj āī āi aī ai āh̄ āh ah̄ ah この図 5.4a でも，和の記号 + を省いている．ここに， ¯ ē, f¯, ḡ, h̄, ī, j̄, k̄, , ¯ m̄, n̄, M, N a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, , m, n, ā, b̄, c̄, d, は正の整数で，次の等式を満たすものである． a + b + c + d + e + f + g = 3M, h + i + j + k + + m + n = 3N a + ā = b + b̄ = c + c̄ = d + d¯ = e + ē = f + f¯ = g + ḡ = M h + h̄ = i + ī = j + j̄ = k + k̄ = + ¯ = m + m̄ = n + n̄ = N ３２ 4 m次の特殊な相結魔方陣について 図 5.4a の各成分は (1) の中の 1 つと (2) の中の 1 つとの和の全体に一致している. ¯ ē, f¯, ḡ, M · · · (1) 0, a, b, c, d, e, f, g, ā, b̄, c̄, d, ¯ m̄, n̄, N · · · (2) 0, h, i, j, k, , m, n, h̄, ī, j̄, k̄, , 全体として 0 から 255(= 162 − 1) までの数がすべて現れるように a, b, c, · · · の値を決めること ができれば，その各成分に 1 を加えたものが求める 16 方陣である． このようにして作った定和 2056 の 16 方陣の 1 つが図 5.4b である． 1 16 49 64 81 96 97 112 129 144 177 192 209 224 225 240 241 256 193 208 161 176 145 160 113 128 65 80 33 48 17 32 4 13 52 61 84 93 100 109 132 141 180 189 212 221 228 237 244 253 196 205 164 173 148 157 116 125 68 77 36 45 20 29 6 11 54 59 86 91 102 107 134 139 182 187 214 219 230 235 246 251 198 203 166 171 150 155 118 123 70 75 38 43 22 27 7 10 55 58 87 90 103 106 135 138 183 186 215 218 231 234 247 9 250 8 199 57 202 56 167 89 170 88 151 105 154 104 119 137 122 136 71 185 74 184 39 217 42 216 23 233 26 232 図 5.4b 249 248 201 200 169 168 153 152 121 120 73 72 41 40 25 24 12 5 60 53 92 85 108 101 140 133 188 181 220 213 236 229 252 245 204 197 172 165 156 149 124 117 76 69 44 37 28 21 14 3 62 51 94 83 110 99 142 131 190 179 222 211 238 227 254 243 206 195 174 163 158 147 126 115 78 67 46 35 30 19 15 2 63 50 95 82 111 98 143 130 191 178 223 210 239 226 255 242 207 194 175 162 159 146 127 114 79 66 47 34 31 18 図 5.4b は条件 斜 を満たす相結 16 方陣だから，64 個の 4 連山の形 (複折斜) と 256 個の山の 形 (折斜) の定和性が分かる．さらに，図 5.4c に示す ◦ 印 16ヵ所の 2 連山の形の数の和で方陣の 定和に一致するものが 128(= 4 × 16 × 2) 個存在する． ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 図 5.4c このように，条件 斜 を満たす相結 4m 方陣について，m の値が大きくなれば，折斜，複折斜 の定和性だけでなく，類似の図形の定和性についての性質が次々に増えてくる． 6. 条件 斜 を満たす相結 4m 方陣の作り方 条件 斜 を満たす相結 4m 方陣の簡明な作り方 を考案した．その作り方により作成した 8 方陣，12 方陣，16 方陣を示しておく．各方陣につい て，数の配置を 1, 2, 3, · · · と 8 個，12 個，16 個を組にしてたどって確認してほしい． 最後の図 6.1c は，条件 斜 を満たす 8 方陣集合型相結 16 方陣である．上下左右に 2 等分する と 4 個の 8 方陣に分割される．シフト変換により，この他に 12 個の 8 方陣が隠れていることが 分かり，合計 16 個の 8 方陣が存在する．この 16 個の 8 方陣はいずれも条件 斜 を満たす相結 8 方陣である．これらの 8 方陣および 16 方陣は，いずれも相結魔方陣だから汎魔方陣である． ３３ 内田 伏一 1 8 49 56 41 48 25 32 1 16 225 240 209 224 49 64 65 80 161 176 145 160 113 128 241 256 17 32 33 48 193 208 177 192 81 96 97 112 129 144 57 64 9 16 17 24 33 40 7 2 55 50 47 42 31 26 1 12 121 132 25 36 97 108 85 96 73 84 133 11 143 3 144 2 134 10 13 131 23 123 24 122 14 130 109 35 119 27 120 26 110 34 37 107 47 99 48 98 38 106 49 95 59 87 60 86 50 94 61 83 71 75 72 74 62 82 15 2 239 226 223 210 63 50 79 66 175 162 159 146 127 114 255 242 31 18 47 34 207 194 191 178 95 82 111 98 143 130 14 3 238 227 222 211 62 51 78 67 174 163 158 147 126 115 254 243 30 19 46 35 206 195 190 179 94 83 110 99 142 131 4 13 228 237 212 221 52 61 68 77 164 173 148 157 116 125 63 6 58 3 15 54 10 51 23 46 18 43 39 30 34 27 図 6.1a 62 59 14 11 22 19 38 35 4 5 52 53 44 45 28 29 60 61 12 13 20 21 36 37 135 9 142 4 15 129 22 124 111 33 118 28 39 105 46 100 51 93 58 88 63 81 70 76 図 6.1b 141 136 21 16 117 112 45 40 57 52 69 64 8 5 128 125 32 29 104 101 92 89 80 77 140 137 20 17 116 113 44 41 56 53 68 65 7 6 127 126 31 30 103 102 91 90 79 78 139 138 19 18 115 114 43 42 55 54 67 66 244 5 253 12 20 229 29 236 36 213 45 220 196 53 205 60 180 69 189 76 84 165 93 172 100 149 109 156 132 117 141 124 図 6.1c 245 252 21 28 37 44 197 204 181 188 85 92 101 108 133 140 11 6 235 230 219 214 59 54 75 70 171 166 155 150 123 118 251 246 27 22 43 38 203 198 187 182 91 86 107 102 139 134 10 7 234 231 218 215 58 55 74 71 170 167 154 151 122 119 250 247 26 23 42 39 202 199 186 183 90 87 106 103 138 135 ３４ 8 9 232 233 216 217 56 57 72 73 168 169 152 153 120 121 248 249 24 25 40 41 200 201 184 185 88 89 104 105 136 137 4 m次の特殊な相結魔方陣について 次数が 8 の倍数の場合には，図 6.1a，図 6.1c のように作り方は明快であるが，次数が 8 の倍 数でない場合には，図 6.1b のように作り方が明快ではない． 図 6.1b の作り方について補足しておく．上 2 行の太数字の部分を如何に決めるかが鍵になる． 相結性を保つように，左から順に (1,12)(2,11)(3,10)(4,9)(5,8)(6,7) を上下に配置し，行の定和 性を保たせると，図 6.1b の上 2 行の配置になる．左 2 列の配置についても同様の考察を行う． 図 6.1c の 16 方陣に関して，定和の個数について， 1. 16 方陣の定和 2056 を与えるものが，行和，列和，汎斜和の 64 組 2. 8 方陣の定和 1028 を与えるものが，行和，列和，汎斜和の合計 256 組 3. 相結定和 514(256 組) 4. 16 方陣全体での，4 方向の山の形が与える定和 2056(合計 64 組) 5. 16 方陣全体での，4 方向の 2 連山の形が与える定和 2056(合計 64 組) 6. 16 方陣全体での，4 方向の 4 連山の形が与える定和 2056(合計 64 組) 1+256+2+255+14+243+13+244+5+252+6+251+10+247+9+248, 16+17+239+242+3+30+228+253+12+21+235+246+7+26+232+249 など 7. 16 方陣全体での，横長と縦長のジグザグにとった 16 数の和 2056(32 組) 1+256+15+242+14+243+4+253+5+252+11+246+10+247+8+249, 16+241+2+255+3+254+13+244+12+245+6+251+7+250+9+248 など 8. 8 方陣の広い意味でのフランクリン型が与える定和 1028(合計 448 組) 128+129+146+111+158+99+116+141, 161+192+79+130+115+190+77+84 など 9. 8 方陣の 4 方向 2 連山の形が与える定和 1028(1088 組) 113+112+146+143+126+99+157+132, 65+144+114+191+78+131+125+180 など 10. 8 方陣の横長と縦長のジグザグにとった 8 数の和 1028(256 組) 65+192+161+96+145+112+113+144, 177+80+81+176+97+160+129+128 など 他にも定和を与える図形が存在するが省略する． 参考文献 [1] 阿部楽方：3 種類のすぐれた方陣，別冊数理科学，パズル Ⅱ ，1977 年，サイエンス社 [2] 平山諦，阿部楽方：方陣の研究，1983 年，大阪教育図書 [3] 大森清美：新編魔方陣，1992 年，冨山房 [4] 内田伏一：魔方陣にみる数のしくみ，2004 年，日本評論社 [5] 大森清美：魔方陣の世界，2013 年，日本評論社 ３５
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