幾何学序論1 K.Ichihara 集合族 集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合 幾何学序論1 練習問題 市原一裕 2015 年 5 月 11 日(月)2 限 1/7 小テスト 幾何学序論1 K.Ichihara 集合族 集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合 1. 集合 X1 と集合 X2 に対して,差集合 X1 − X2 の 定義を書きなさい. 練習問題 2. 集合 N = {3} に対して,冪集合 2N を列挙法であ らわしなさい. 3. 集合 X ,Y ,Z に対して, X × (Y ∪ Z) ⊂ (X × Y ) ∪ (X × Z) を示しなさい. 2/7 集合族とは 幾何学序論1 K.Ichihara 定義 1.6.1【集合族(family of sets)】 ある集合 Λ の各要素 λ ∈ Λ に対応して,集合 Aλ が与えら れているとき,この集合の集まり {Aλ }λ∈Λ を,Λ を添字集 合(index set)とする集合族という. 集合族 集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合 練習問題 注意 1.6.1 集合族と添字集合は,なんの関係もない.添字集合は単に ラベルをつけるだけのもの. 確認:以下では,全体集合 U を一つ定めてあって, {Aλ }λ∈Λ は,集合 Λ を添字集合とする部分集合族をあ らわす. 3/7 集合族の和集合・共通部分 定義 1.6.2【集合族の和集合】 集合族 {Aλ }λ∈Λ の和集合とは ∪ 幾何学序論1 K.Ichihara 集合族 集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合 Aλ := {x ∈ U | ∃λ ∈ Λ s.t. x ∈ Aλ } 練習問題 λ∈Λ 例 1.6.1 Λ = {1, 2} のとき, ∪ Aλ = A1 ∪ A2 λ∈Λ 一般には,Λ は自然数とは限らないので,このように列挙 するような書き方はできない. 定義 1.6.3【集合族の共通部分】 集合族 {Aλ }λ∈Λ の共通部分とは ∩ λ∈Λ Aλ := {x ∈ U | ∀λ ∈ Λ, x ∈ Aλ } 4/7 集合族の和集合・共通部分の性質 幾何学序論1 K.Ichihara 定理 1.6.1 集合族 集合族とは 全体集合 U の部分集合族 {Aλ }λ∈Λ と U の部分集合 B に対 して,以下が成り立つ. ( ) ∪ ∪ 1. Aλ ∪ B = (Aλ ∪ B) ( 2. ( 3. ( 4. λ∈Λ ∩ λ∈Λ ∩ λ∈Λ ∪B = (Aλ ∩ B) ∩ (Aλ ∪ B) λ∈Λ ) Aλ ∩ λ∈Λ ) λ∈Λ ∪ ∩B = Aλ 集合族の補集合 練習問題 λ∈Λ ) Aλ 集合族の和集合・共通部分 ∩B = ∪ (Aλ ∩ B) λ∈Λ 5/7 集合族の補集合 幾何学序論1 K.Ichihara 集合族 集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合 定理 1.6.2 練習問題 全体集合 U の部分集合族 {Aλ }λ∈Λ に対して,次が成り 立つ. ( )c ∪ ∩ 1. Aλ = (Aλ )c ( 2. λ∈Λ ∩ λ∈Λ λ∈Λ )c Aλ = ∪ (Aλ )c λ∈Λ 6/7 練習問題 幾何学序論1 K.Ichihara 練習問題 1.4.1 [ ] 1 1 n ∈ N に対して,An := − , ⊂ R とするとき, n n ∪ An ⊂ [−1, 1] = A1 を証明しなさい. 集合族 集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合 練習問題 n∈N 練習問題 1.4.2 ( ] 1 n ∈ N に対して,An := − , 1 ⊂ R とするとき, n ∩ An ⊃ [0, 1] を証明しなさい. n∈N 練習問題 1.4.3 全体集合 U の部分集合族 {Aλ }λ∈Λ と U の部分集合 B に対して, 次を証明しなさい. ( ) ∩ ∩ Aλ ∩ B = (Aλ ∩ B) λ∈Λ λ∈Λ 7/7
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