幾何学序論1

幾何学序論１
K.Ichihara
集合族
集合族とは
集合族の和集合・共通部分
集合族の補集合
幾何学序論１
練習問題
市原一裕
2015 年 5 月 11 日（月）2 限
1/7
小テスト
幾何学序論１
K.Ichihara
集合族
集合族とは
集合族の和集合・共通部分
集合族の補集合
1. 集合 X1 と集合 X2 に対して，差集合 X1 − X2 の
定義を書きなさい．
練習問題
2. 集合 N = {3} に対して，冪集合 2N を列挙法であ
らわしなさい．
3. 集合 X ，Y ，Z に対して，
X × (Y ∪ Z) ⊂ (X × Y ) ∪ (X × Z) を示しなさい．
2/7
集合族とは
幾何学序論１
K.Ichihara
定義 1.6.1【集合族（family of sets)】
ある集合 Λ の各要素 λ ∈ Λ に対応して，集合 Aλ が与えら
れているとき，この集合の集まり {Aλ }λ∈Λ を，Λ を添字集
合（index set）とする集合族という．
集合族
集合族とは
集合族の和集合・共通部分
集合族の補集合
練習問題
注意 1.6.1
集合族と添字集合は，なんの関係もない．添字集合は単に
ラベルをつけるだけのもの．
確認：以下では，全体集合 U を一つ定めてあって，
{Aλ }λ∈Λ は，集合 Λ を添字集合とする部分集合族をあ
らわす．
3/7
集合族の和集合・共通部分
定義 1.6.2【集合族の和集合】
集合族 {Aλ }λ∈Λ の和集合とは
∪
幾何学序論１
K.Ichihara
集合族
集合族とは
集合族の和集合・共通部分
集合族の補集合
Aλ := {x ∈ U | ∃λ ∈ Λ s.t. x ∈ Aλ }
練習問題
λ∈Λ
例 1.6.1
Λ = {1, 2} のとき，
∪
Aλ = A1 ∪ A2
λ∈Λ
一般には，Λ は自然数とは限らないので，このように列挙
するような書き方はできない．
定義 1.6.3【集合族の共通部分】
集合族 {Aλ }λ∈Λ の共通部分とは
∩
λ∈Λ
Aλ := {x ∈ U | ∀λ ∈ Λ, x ∈ Aλ }
4/7
集合族の和集合・共通部分の性質
幾何学序論１
K.Ichihara
定理 1.6.1
集合族
集合族とは
全体集合 U の部分集合族 {Aλ }λ∈Λ と U の部分集合 B に対
して，以下が成り立つ．
(
)
∪
∪
1.
Aλ ∪ B =
(Aλ ∪ B)
(
2.
(
3.
(
4.
λ∈Λ
∩
λ∈Λ
∩
λ∈Λ
∪B =
(Aλ ∩ B)
∩
(Aλ ∪ B)
λ∈Λ
)
Aλ
∩
λ∈Λ
)
λ∈Λ
∪
∩B =
Aλ
集合族の補集合
練習問題
λ∈Λ
)
Aλ
集合族の和集合・共通部分
∩B =
∪
(Aλ ∩ B)
λ∈Λ
5/7
集合族の補集合
幾何学序論１
K.Ichihara
集合族
集合族とは
集合族の和集合・共通部分
集合族の補集合
定理 1.6.2
練習問題
全体集合 U の部分集合族 {Aλ }λ∈Λ に対して，次が成り
立つ．
(
)c
∪
∩
1.
Aλ =
(Aλ )c
(
2.
λ∈Λ
∩
λ∈Λ
λ∈Λ
)c
Aλ
=
∪
(Aλ )c
λ∈Λ
6/7
練習問題
幾何学序論１
K.Ichihara
練習問題 1.4.1
[
]
1 1
n ∈ N に対して，An := − ,
⊂ R とするとき，
n n
∪
An ⊂ [−1, 1] = A1 を証明しなさい．
集合族
集合族とは
集合族の和集合・共通部分
集合族の補集合
練習問題
n∈N
練習問題 1.4.2
(
]
1
n ∈ N に対して，An := − , 1 ⊂ R とするとき，
n
∩
An ⊃ [0, 1] を証明しなさい．
n∈N
練習問題 1.4.3
全体集合 U の部分集合族 {Aλ }λ∈Λ と U の部分集合 B に対して，
次を証明しなさい．
(
)
∩
∩
Aλ ∩ B =
(Aλ ∩ B)
λ∈Λ
λ∈Λ
7/7

Download Report