測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） 士補受験で必要な単位と数学 士補試験では、現在のところ電卓の持ち込みが禁止されている（ 「士」試験では、会場で統一され た電卓が貸与される）ため、計算問題は全て「手計算」により解答する必要がある。この章に書か れているのは、士補試験に必要かつ最低限の単位や数学に関するものであるため、しっかりと理解 する必要がある。 ２－１．単位と補助単位 単位や補助単位とは、 「量」を数値で表す場合の一定の基準である。例えば 1,000ｍは 1 ㎞であ るが、この時の「ｋ」を補助単位と呼び、後に続く「ｍ」が長さの単位である。つまり、k（キロ） は 1,000 を表している。 もう少し具体的に書くと、2 ㎞は 2（量）と 1,000（k：キロ）のｍ（メートル）つまり、2,000ｍ となる。 測量では距離や角度の観測作業が行われる。ここでは、測量士補試験に出題される単位について 説明する。 （１）距離の単位 測量において、高さや距離は基本的にｍ（メートル）単位で表される。出題される単位は、㎜ か ら ㎞ までの範囲であるが、計算上は ｍ に直しておくと都合のよい事が多い。 また、出題される中でふだん目にする事のない補助単位としては、μ（マイクロ）がある。 1μｍ＝10－６ ｍ＝ 0.000001ｍである。 1ｍ × 1,000 で 1㎞ 1ｍ ÷ 1,000 で 1㎜ 1ｍ ÷ 1,000,000 で 1μｍ （２）角度の単位（度数法） 最も良く用いられる角度の単位として「度」がある。この角度の単位は、円周を 360 等分したう ちの１つの弧の中心に対する角度を「１度」と定義している。簡単に言えば、 「ぐるっと１周すると 360 度」である。 測量では、角度の観測に「度」以下の単位を使用している。度以下は、小数点ではなく「分と秒」 で表し、その大きさは、1 度＝60 分、1 分＝60 秒 となっている。 1 度以下の単位は 60 進法と呼ばれるが、時計の分と秒と同じであると考えれば良い。また、度、 分、秒が記号で書かれる事もあり、その記号は、度（°） 、分（′） 、秒（″）である。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 1 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） 360 分割した中の１つが１° 1°を 60 分割した中の１つが 1′ さらに、 1′を 60 分割した中の１つが 1″ （３）角度の単位（弧度法：ラジアン） 測量では角度の大きさを表す場合、 「度」の他に「ラジアン」単位が用いられる。ラジアンとは弧 度法とも呼ばれ、単位は rad であるが、 「ラジアン」と記載されることが多い。ラジアンは、角度を 度、分、秒 で表す代わりに、 「円弧の長さ」で表している。ところが、円弧の長さは半径の長さに よって異なってしまうため、ラジアンでは半径を１とした場合の円弧の長さを基準として、角度を 表している。 円の周長（円周）の長さは、2πｒ（半径の 2 倍 × 円周率）で表すことができる。いま、半径 １の円の周長を考えると、2πとなる。つまり、360°＝ 2π ラジアン となる。 360° 180° ＝ ＝57.295…度 となる。 このように考えると、 1 ラジアン＝ 2π π ※180°＝ π ラジアンと覚えておくと便利である。 逆に、1°＝ π 180° ≒ 0.01745 ラジアン となる 士補試験では、1 ラジアン ＝ 2×10５″（2,000,000 秒）として問題文中で与え、これをρ″（ロ ー 秒）と表すことが多い。 （４）ギリシャ文字 士補試験やこのテキスト、 測量関係の図書で使用されるギリシャ文字とその読みを次にまとめる。 ＜測量で使用されるギリシャ文字一覧（順不同）＞ 文字 読み α アルファ β ベータ 用法 文字 読み 用法 μ ミュー 単位で使用（マイクロ） π パイ 円周率を表す ρ ロー ρ秒としてラジアンで使用 総和（合計）を表す（大文字） 一般的に角度を表す際に用 いられる文字 γ ガンマ θ シータ Σ シグマ φ ファイ κ カッパ ⊿ デルタ 標準偏差で使用（大文字） ω オメガ δ デルタ 標準偏差で使用 写真測量で使用 ※大文字と記載あるもの以外は、小文字が使用されている。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 2 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） ２－２．士補試験のための数学 （１）度数法（度分秒）の計算 角度は前記のように度、分、秒で表されるが、その計算はどのように行えばよいのであろうか。 以下に角度の計算例をいくつか挙げる。 ① 角度の足し算 例えば、35°31′40″＋ 28°42′30″の計算を例に挙げて考えて見る。 まず度及び分、秒の値どうしを加え(35°＋28°)と(31′＋42′)、 （40″＋30″）と別々に計算 し、これをまとめると、63°73′70″となる。 ここで、小さい秒の値から逆に考える必要がある。まず秒の値 70″は 1′10″である。よって、 63°74′10″。さらに分の値 74′は 1°14′となる。 よって、35°31′40″＋ 28°42′30″＝ 64°14′10″となる。 ＋ ° ′ ″ ° ′ ″ ° ′ ″ 64°14′10″ ② 角度の引き算 例えば、28°42′30″ － 35°31′40″の計算を例に挙げて考えて見る。この場合、一般的な引 き算のように、35°31′40″－ 28°42′30″を考え、不足分に－を付けてやればよい。 先ず秒の位は、40″－ 30″＝ 10″となり、分の位は度の位から「借りて」 1°31′－ 42′＝ 91′－42′＝ 49′、度の位は 34°－28°＝ 6°となる。 ° ′ ″ ° ′ ″ ° ′ ″ －6°49′10″ ※ここで「－」の角度は、一般的に「左回り」を表すことになる（測量では角度は右回りが＋） 。また、場合によって は、－6°49′10″＋ 360°を行い、353°10′50″とする必要がある。つまり、左回りに 6°49′10″と右回りに 353°10′50″は、同じ位置であると言うことである。 ③ 度の単位を度分秒に換算 15.425°を度分秒の単位に換算する場合を例に挙げると次のようなる。 まず、15.425－15°＝ 0.425°、0.425°を分の単位に直すと、0.425×60′＝25.5′。 次に、25.5′－ 25′＝ 0.5′これを秒の単位に直すと、0.5′×60″＝ 30″。 よって、15°＋ 25′＋ 30″となり、15.425°＝ 15°25′30″となる。 ④ 度分秒の単位を度に換算 15°25′30″を度の単位に換算する場合を例に挙げると次のようになる。 まず、30″÷ 60″ ＝ 0.5′（この状態で 分 単位になる）よって、15°25.5′。 次に、25.5′÷ 60″＝ 0.425°（この状態で 度 単位になる）よって、15.425°となる。 ※度数法の単位換算の基本は、 「1°＝ 60′＝ 3600″（60×60） 」を覚えておけばよい。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 3 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） （２）弧度法（ラジアン）の計算 次図のように、角度が正しい方向から 10″ずれた場合、100ｍ先ではどの程度の位置のずれにな るかを考えて見る。 ずれ(ℓ) θ＝10″ 100ｍ ① 度数法を用いた計算 ℓ＝2π ″ 100ｍ ° ＝ 0.0048ｍ ＝ 4.8 ㎜ ② ラジアンを用いた計算 ℓ ＝100ｍ 10″ ρ″ ＝100 10″ 206265″ ＝0.0048ｍ ＝ 4.8 ㎜ となる。 ここで、ρ″＝ (180°/π)× 3600″＝ 206265″としている。 ※士補試験では、ρ″＝ 2×10５ ″と問題文中に与えられる。 上記のように① 度数法を用いた計算では、一旦、半径 100ｍの円の周長を求め、これを比例計算 （10″/360°）で内角 10″の場合の円弧の長さにしている。 弧度法では、半径ｒで角度θ（ラジアン）の円弧の長さは、ｒ×θ（ラジアン）で求められるた め、10″は何ラジアンかを求めるだけで、円弧の長さが求められる。 （３）平方根の計算 「二乗して（同じものを 2 回かけて）A となるものを、A の平方根」と言う。例えば、4 の平方根 は 2×2＝4 であるため、その答えは「2」※となる。また、2×2 は 2２とも表される。平方根は、√ （ルート）の記号を用いて表され、前述の数値を用いると、√4 ＝ 2 となる。 ※正確には、√4＝±2 となり、4 の平方根は 2 と－2 の二つの答えを持つ。 士補試験では平方根の計算が必要となる。平方根が入る計算は、それを開いて（小数点に直して） 計算すればよいため、ここでは平方根の手計算による開き方を記す。 平方根の手計算による開き方としては、① 近似値法と② 分解法の２種類が考えられるが、士補 試験ではその値から、どちらの方法が使いやすいかを考えて用いれば良い。 ① 近似値法 この方法は、 適当に数を合わせて行く方法で、 ルートの計算キーが無い電卓でも良く用いられる。 例えば、√0.0245 を例に挙げて考えると次のようになる。 ・0.2 × 0.2 ＝0.04 ＜大きい…＞ ・0.1 × 0.1 ＝0.01 ＜ちょっと小さい…＞ ・0.15×0.15＝0.0225 ＜ちょっと小さいか…＞ ・0.155×0.155＝0.0240 ＜もう少し･･･＞ ・0.156×0.156＝0.0243 ＜次の数字で…＞ ・0.157×0.157＝0.0246 ＜こんなものか…＞ よって、√0.0245 ≒ 0.157 とすればよい。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 4 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） ② 分解法 分解法とは、ルートの中の数字を分解して正答を求めて行く方法である。ここで、前出の √0.0245 について、考えてみる。 先ず、√0.0245 は、√0.0001×√245 に分けられる。つまり、0.01×√245 に分解され、次に √245 は、7×√5 に分解される。よって、0.01×7×√5 ＝ 0.01×7×2.23607 ＝ 0.157 となる。 ここで、√5 の値であるが、士補試験の問題冊子の最後のページには、関数表として平方根の値 が、1～100 まで掲載されている。これを用いて求めればよい。ただし、問題文中に平方根の値が記 されている場合は、その値を用いる必要がある。 （４）相似形と比例式 「２つの図形が相似形」とは、どちらか一方の図形を一定の割合で拡大または縮小すると、もう 一方の図形と合同（ピッタリと重なる）になることを言う。 例えば次のような三角形を考えると、三角形ＡとＢは相似形であると言える。 Ａ Ｂ Ｂ Ａ ここで三角形の相似条件は、次の通りである。 ・２角が等しい。 ・３辺の比が等しい。 ・２辺の比とその挟む角が等しい。 ｘ のように分数で表したものは「比の値」と呼ばれる。 また比例式とは、ｘ：ｙと表され、 ｙ これはｘに対するｙの割合を表し、この割合がａに対するｂの割合と等しい場合は（２つの図形 が相似形の場合は） 、 ｘ：ｙ＝ ａ：ｂ ｘ ａ 、 ＝ と表される事になる。 ｙ ｂ 例えば、前図の三角形に数値を入れ、不明な辺の長さ ｘを計算すると次のようになる。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 5 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） ｘｍ この場合、 次のように比例式を組み立てて計算すればよい。 3.2ｍ：3.0ｍ＝1.5ｍ：ｘ ｍ Ａ 1.5ｍ ここで、ｘを求めるには、次のように内と内、外と外を掛 け、ｘに対する一次式を組み立て、これを解けば良い。 3.2ｍ 3.2ｍ：3.0ｍ＝1.5ｍ：ｘ ｍ Ｂ 3.2ｍ×ｘ＝ 3.0ｍ×1.5ｍ よって、ｘ＝ 3.0ｍ （ . . ） . ＝1.406 ｍ 前のように比例式でも計算できるが※、次の ように比の値でも計算することができる。 12.0ｍ Ｂ . ｍ ｘｍ . ｍ Ａ ｘｍ ＝ . ｍ ここで、ｘを求めるには、 「たすき掛け」を行い、ｘに対する一次式を組 み立てれば良い。 18.0ｍ 35.0ｍ . ｍ . ｍ 35.0ｍ× ｘｍ＝(12.0ｍ×18.0ｍ) よって、ｘ＝ （ ｘｍ ＝ . . ｍ . ） . ＝6.171 ｍ ※どちらか好きな方法を用いれば良い。 ◆ 試験問題にチャレンジ ◆ １．比例計算：H24-No14（改） 傾斜が一定な斜面上の点Ａと点Ｂの標高を測定したところ、それぞれ 72.8ｍ、68.6ｍであった。 また、点Ａ、Ｂ間の水平距離は 78ｍであった。 このとき、点Ａ、Ｂ間を結ぶ直線と標高 70ｍの線が交わる場所は、点Ａから何 ｍ の地点か求め よ。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 6 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） ＜解 答＞ 先ず、問題文を図に描くと次のようになる。 Ａ 標高 70.0ｍの位置 ｈ 標高 72.8ｍ Ｂ 78.0-Ⅹ Ⅹ 78.0 ｍ 標高 68.6ｍ ここで、点Ａ～Ｂを結ぶ線上で標高 70.0ｍの等高線の位置を考えると、２つの三角形の相似より、 次の比例式が組み立てられる。 ＡＢ間の高低差は、72.8ｍ－68.6ｍ＝4.2ｍ、図中のｈは、72.8ｍ － 70.0ｍ ＝ 2.8ｍ よって、 4.2ｍ ： 78.0ｍ ＝ 2.8ｍ ： ｘ となり、これを解くと、 78.0 2.8 ＝4.2ｘ よって、 ｘ＝ 218.4 ＝ 52.0ｍ 4.2 となり、Ａ点から、 52.0ｍの位置に標高 70.0ｍの線があると言える。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 7 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） （５）三角関数（三角比）の基礎 ｃ ｂ θ ① 三角関数の表し方 左図のような直角三角形を考えた場合、各辺（a,b,c） の長さの比は、三角形の大きさに関係なく、角θの大き さによって決定される。 これにより、各辺の比において、次のように名称が付 けられている。 ａ：隣辺 ｂ：斜辺 ｃ：対辺 とすると、 ａ sin θ ＝ 対辺 ｃ ＝ 斜辺 ｂ cos θ ＝ 隣辺 ａ ＝ 斜辺 ｂ tan θ ＝ 対辺 ｃ ＝ 隣辺 ａ と表す事が出来る。 これらを、角θの「三角比」と呼ぶ。 また、これらの逆数（分数で表わした時に分母と分子を入れ替えたもの）は次のように表わされ る（逆三角関数） 。 １ 斜辺 ｂ ＝ ＝ ＝ sin －１ sinθ 対辺 ｃ １ 斜辺 ｂ ＝ ＝ ＝ cos －１ cosθ 隣辺 a １ 隣辺 a ＝ ＝ ＝ tan －１ tanθ 対辺 ｃ ②三角関数表の引き方 士補試験では電卓の持ち込みが禁止されているため、三角関数の値が必要な場合は、問題冊子の 最後のページにある三角関数表から値を求める必要がある。 三角関数表は、次のように sin、cos、tan について、0 度～90 度までの値が掲載されている。 tan 0.00000 0.01746 0.03492 0.05241 0.06993 0.08749 … … ＜三角関数表（例）＞ sin cos 0.00000 1.00000 0.01745 0.99985 0.03490 0.99939 0.05234 0.99863 0.06976 0.99756 0.08716 0.99619 … … 度 0 1 2 3 4 5 ※三角関数表については、このテキストの最後にも掲載されている。 ここに掲載されている三角関数は表から求めればよいが、小数点が入った場合、特に度数法の三 角関数の値の求め方について以下に記す。 例として、sin 15°25′30″の値を求めると次のようになる。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 8 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） 先ず、三角関数表の sin15°と sin16°の値を見ると、次の通りである。 度 15 16 sin 0.25882 0.27564 つまり、sin 15°25′30″は、0.25882 から 0.27564 の間にあると言う事に なり、内挿法（ないそうほう）を用いてこの値を求める事になる。 内挿法によって値を求めるには、次のような計算を行えばよい。 a．sin15°と 16°の値の差を求める 0.27564 － 0.25882 ＝ 0.01682 （1°違えば、0.01682 違うと言うこと） b．sin 15°25′30″を 度の単位に直す 30″÷3600 ＋ 25′÷60 ＋ 15°＝ 0.0083 ＋0.417 ＋15 ＝ 15.4253° c．比例計算を行う（内挿法） 0.01682：ｘ ＝1°：0.4253° よって、ｘ＝ （ . . ） ＝0.007154 d．sin 15°25′30″の値を求める。 sin15°が 0.25882 であるから、これに 0.007154 を足して、0.25882＋0.007154 ＝ 0.26597 となる。 このようにして、sin、cos、tan の各値を求めればよい。 また逆三角関数※の計算が必要な場合には、その値を次のように求めればよい。 ※逆三角関数は、三角関数のように角度→数値への変換ではなく、数値→角度への変換関数と考えれば良い。つまり、 sinθ＝ｘは、θ（度）をｘ（数値）へ。sin－１ｘ ＝θは、ｘ（数値）をθ（度）へと言う事である。 例として、sin－１ 0.26597 を求めるには、前記の a～d までの計算を逆に行って、求める事になる。 0.26597－0.25882 ＝ 0.007154 （0.25882＝sin15°は、三角関数表から求める） 比例計算により、0.01682：0.007154 ＝1°：ｘ° これを求めると、ｘ＝ （ . ） . ＝0.42532° これを直すと、0°25′31″となる。 よって、sin－１ 0.26597 ＝ 15°＋ 0°25′31″＝ 15°25′31″となる。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 9 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） ③三角関数の利用例（１） 次図のような一様な傾斜を持つ土地の２点間斜距離を測定し、S＝38.236ｍ を得た。この土地の 傾斜角を 15°とすると、水平距離及び２点間の高低差を求めよ。 B 斜距離 S＝38.236ｍ 高低差 H 15° A 水平距離 L 水平距離 L の計算 cos θ ＝ L より、 L＝38.236 cos15 ＝36.933m 38.236 高低差 H の計算 sin θ ＝ H より、 H＝38.236 sin15 ＝9.896m 38.236 又は、先に求めた水平距離 H を用いて、 tan θ ＝ H H より、H＝36.933 tan15 ＝ 9.896m ＝ 36.933 L と、求めることができる。 ④三角関数の利用例（２） 次図のような一様な傾斜を持つ土地の AB 点間の高低差 H＝9.896ｍ、また、AB 点間の水平距離 L= 36.933m を得た。傾斜角及び斜距離を求めよ。 B 斜距離 S＝？ｍ 高低差 H=9.896m ？° A 水平距離 tan θ ＝ L=36.933m H 9.896 より、tanθ＝ ＝ 0.26794 θ＝ tan－１ 0.26794＝ 14.9995 L 36.933 よって、傾斜角は 15°となる。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 10 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」（Ver1.0） 次に、斜距離の計算であるが、これはピタゴラス（三平方）の定理を用いて計算すればよい。 ＜ピタゴラス（三平方）の定理＞ ａ ｂ 左図のような直角三角形を考えた場合、斜辺ａは、次の ように求める事ができる。 ａ＝ ｂ２＋ｃ２ ｃ よって、問題の斜距離は、 S＝ 9.896 ２＋36.933 ２ ＝ 38.236ｍ となる。 ⑤覚えておくと便利な公式 前記のピタゴラスの定理もそうであるが、以下に、覚えておくと便利な公式として「正弦定理」 、 「余弦定理」 、 「ヘロンの公式」について記す。 ａ．正弦定理 三角形ＡＢＣにおいて、それぞれの対辺の長さを ａ，ｂ，ｃとすると、次の関係が成り立つ。 A ｃ B ａ ｂ ｃ ＝ ＝ ＝２Ｒ sin Ａ sinＢ sinＣ ｂ C ａ ※ Ｒ：三角形の外接円の半径 ｂ．余弦定理：二辺夾角 前出の三角形ＡＢＣにおいて、次の関係が成り立つ。 ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃ cosＡ ２ ２ ２ cosＢ ２ ２ ２ cos Ｃ ｂ ＝ｃ ＋ａ －２ｃａ ｃ ＝ａ ＋ｂ －２ａｂ ｃ．ヘロンの公式 A ｃ B 三角形の三辺の長さが解ると、面積が求められる。 ａ＋ｂ＋ｃ Ｓ＝ ２ ｂ ａ C Ａ＝ Ｓ（Ｓ－ａ）（Ｓ－ｂ ）（Ｓ－ｃ） ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 11 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」 （Ver1.0） ２－３．誤差について 測量のような観測されたデータから、真の値（真値）を得られる事はない。得られるのは、計測 された最も確からしい値（最確値）である。最確値には「誤差」が必ず含まれているため、これを 常に念頭に置いて観測作業を行う必要がある。 真値と最確値の関係を式で表すと、 （真値）＝ （最確値）±（誤差）となる。 （１）誤差の種類 ①定誤差 ・個人誤差：観測者が目盛を大きめに読んだりするような誤差（癖） 。 ・器械誤差：調整不完全な器械を用いたために生じるような誤差。これは、器械の選定や観測方法 によってある程度補正することができる。 ・自然誤差：理論的誤差とも呼ばれ、温度差による伸縮や光の屈折、地球表面の曲率などによるも ので、理論計算で除去できる誤差。 測量作業の観測者には、 「定誤差」を無くすことが要求される。 ②不定誤差 原因不明の誤差。不定誤差の特徴としては、 「小さい誤差ほどより多く現れる。 」 「正負の誤差が 同程度現れる。 」 「きわめて大きい誤差は現れない」と言う、誤差の３法則がある。観測回数を増や すと真値に近づく。 ③過 誤 観測者の不注意や技術の未熟さによって引き起こされる誤差。過失とも言われる。 （２）精度 測量作業ではその作業内容に応じて精度が要求される。精度とは、観測作業の「正確さ」の事で あり、観測作業により一定の精度が確保されない場合は、再度測量作業を行う必要がある。 作業規程の準則には、各観測作業における誤差の制限（精度）が記載されている。 例を挙げると、作業規程の準則による水準測量の精度は次のように定められている。 区 分 項 目 往復観測の較差 備 考 1 級水準測量 2 級水準測量 3 級水準測量 4 級水準測量 2.5√S mm 5.0√S mm 10.0√S mm 20.0√S mm S は観測距離（片道・Km 単位）とする。 ※較差（かくさ）とは、観測作業における最大値と最小値の差（正確さ：精度）を言う。 （３）最確値 最確値とは最も確からしい値の事であり、真値に最も近い値を指す。つまり、測量のように観測 された値からは、真値を求める事ができないため、最確値≒真値として扱っている。士補試験にお いては、問題文に「値を求めよ。 」ではなく、 「最確値を求めよ。 」と出題される。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 12 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」 （Ver1.0） ２－４．重量と最確値 最確値を求めるには、一般的には「算術平均」でよい。算術平均とは一般的に「平均」と呼ばれ ているものであり、 「全ての値の合計をその値の数で割る」事によって求められる値である。 では、ＡＢ間の距離をＸは２回、Ｙは５回観測した場合、ＡＢ間の距離の最確値はどのように求 めれば良いのであろうか。この場合、２回観測したＸよりも、５回観測したＹの方が信用度が高い と考えられる。この信用度の事を「重量（じゅうりょう） 」と呼び、ＡＢ間の距離の最確値を求める には、この重量を考えた平均を行う必要がある。 （１）重量 重量（信用度）とは、前記したように「測定値の信用の度合」であり、重量が大きいほど、その 観測結果に信用があると言える。 以下に、士補試験に出題される「観測回数による重量」 、 「路線長による重量」 「標準偏差による重 量」について解説する。 ① 観測回数による重量（角度や距離） 角の観測や距離の観測など、同じ目標(範囲)に対して観測回数を変えて観測した場合、1 回 より 2 回、2 回より 3 回…と、観測回数を増やしその平均値を求めれば、観測精度が良くなる と言える。このため、観測回数を増やした時に得られる観測値は「重量が大きい＝精度が良い」 と考えることができる。 これより重量と観測回数の関係は、 「重量（Ｐ）は観測回数（ｎ）に比例する」ことになり、 次の式で表される。 Ｐ1 ：Ｐ 2 ＝ ｎ 1 ：ｎ 2 重量の大きい測定値 角度の観測は観測回数が多いほど重量が大きい。信用度の高いデータと言える ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 13 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」 （Ver1.0） TS ﾌﾟﾘｽﾞﾑ 重量の大きい測定値 距離の観測は観測回数が多いほど重量が大きい。信用度の高いデータと言える。 ② 路線長による重量（高低差） 水準測量のように、いくつかの異なる路線から高低差を求め標高の最確値を計算する場合に は、その路線長が長くなればなるほど誤差の累積が多くなり、観測データ中に誤差が多く含ま れると考えられる。このため短い路線長の観測データには大きな重量、長いものには小さい重 量を与える必要がある。 つまり重量と路線長の関係は、 「重量（Ｐ）は、路線長（Ｓ）に反比例する」となり、以下の 式で表される。 １ １ Ｐ1 ：Ｐ2 ＝ ： Ｓ1 Ｓ2 路線長の長い観測 路線長の短い観測 重量の大きい測定値 水準測量は観測回数が少ない（路線長が短い）ほど、重量が大きい。信用度の高いデータと言える。 ③ 標準偏差による重量 標準偏差とは、ある範囲を繰返し測定した場合の測定精度を表すものである。標準偏差は、 残差の二乗和を測定回数で除した（割った）ものの平方根で求められる。標準偏差の詳細な解 説は２－５に記してあるが、このため測定回数が多いほど標準偏差は小さく、精度は高くなる。 標準偏差と重量の関係は、 「重量（Ｐ）は、標準偏差（ｍ）の 2 乗に反比例する」となり、以下 の式で表される。 １ １ Ｐ1 ：Ｐ2 ＝ 2 ： 2 ｍ1 ｍ2 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 14 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」 （Ver1.0） （２）重量平均法 数回に分けて観測された観測値の最確値を求める場合、全て同じ重量で観測された場合は、その 最確値は先に記したように算術平均（平均）を行えばよい。しかし、各観測値がそれぞれ異なる重 量で観測された場合には、その重量の大きい観測値を他の観測値より「信用がある」と考えた平均 方法、すなわち「重量平均法による最確値の計算」を行う必要がある。 重量平均法による最確値の計算は以下のとおりである。 ａ・Ｐ ＋ａ2・Ｐ2＋･･･＋ａｎ・Ｐｎ （最確値）＝ 1 1 Ｐ1＋Ｐ2＋･･･＋Ｐｎ ここで、 ａ1 、ａ2 、･･･ 、ａｎ Ｐ1 、Ｐ2 、･･･ 、Ｐｎ 1、2、･･･、ｎ 回目 の観測値 1、2、･･･、ｎ 回目 の観測値の重量 ＜例 題＞ TS を用いて、同じ場所の水平角を、Ａは２回、Ｂは３回観測し、表の結果を得た。この水平角の 最確値を求めよ。 回数 観測値 1 30°06′00″ 2 30°05′59″ 1 30°06′05″ 2 30°06′03″ 3 30°05′58″ Ａ Ｂ ＜解 答＞ 観測回数を重量と考え、次のように重量平均を行い最確値を求めればよい。 Ａの重量＝２、Ｂの重量＝３ よって、 （最確値）＝ (60 2＋59 2）＋(65 3＋63 3＋58 3） 2＋2＋3＋3＋3 238 ＋558 ＝ 30 05 ＋ ＝ 30 05 61 ＝30 06 01 13 30 05 ＋ となる。 ここで前記の計算の考え方は次のようである。 ・士補試験では電卓の持ち込みが禁止されているため、全て手計算で行う必要がある。 ・手計算を行い易いように、先ず共通項について考える。 ・各観測値に共通項をつくるため、30°06′05″を 30°05′65″のように変換する。 ・その後、共通項（30°05′）を前に出し、それ以外の部分で計算を行う。 この計算の考え方は、士補試験の計算問題には必要なため、しっかりと理解する必要がある。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 15 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」 （Ver1.0） ２－５．勾配の計算 勾配とは、基準に対する斜面の度合いを数値で表すものである。一般的に「勾配が大きい」とは、 傾斜の急な斜面を指し、 「勾配が小さい」とは傾斜の緩い斜面を指す。 （１）盛（切）土と法面 堤防を造る場合など、土を盛ったり、切り取ったりする事を、 「盛土（もりど） 」 、 「切土（きりど） 」 と呼ぶ。また、このように盛土や切土を行った場合の斜面のことを「法面（のりめん） 」と呼んでい る。 法面 盛土 切土 法面 （２）勾配の表し方 建設業での代表的な勾配の表し方は４種類ほどあり、次表のようにそれぞれ目的によって使い分 けるのが一般的である。ここでは、代表的な勾配の表し方について記す。 ＜勾配の表し方と適用＞ 名 称 表 現 １：0.5 使用目的 １ 土の盛・切面や擁壁などで 使用 法(のり)勾配 0.5 （高さ１に対する水平距離を比で表す） 1/250 分 数 1ｍ 河川の勾配などで使用 250ｍ （高さ 1ｍに対する水平距離の比） ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 16 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」 （Ver1.0） 1.5％ パーセント （百分率） 1.5ｍ 道路の勾配などで使用 100ｍ （水平距離 100ｍに対する高さの比） 2‰ パーミル （千分率） 2ｍ 1000ｍ 鉄道や下水道の勾配など で使用 （水平距離 1000ｍに対する高さの比） （３）勾配の計算 以下に、士補試験で必要な法勾配及びパーセント勾配の計算について、例を挙げて説明する。 どちらの計算についても、図を描いてから計算することが大切である。 ①法勾配の計算 次図のように、法勾配 1：1.5 で、高さ 2.8ｍの盛土を行う場合、その勾配部の水平距離は何メー トル必要かを考える。 1:1.5 2.8ｍ ？ｍ 法勾配の 1:1.5 とは、高さ 1 に対する水平距離 1.5 を表している。このため、比例計算により次 のように求める事ができる。 1:1.5 ＝ 2.8：？ より ？＝1.5×2.8 ＝ 4.2ｍ よって、勾配部の水平距離は、4.2ｍ 必要となる。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 17 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O 測量士補試験 重要事項 はじめに「士補受験で必要な単位と数学」 （Ver1.0） ②パーセント勾配の計算 次図のように標高 50ｍの地点から、標高 70.4ｍの地点まで、水平距離 314ｍの道路がある。この 道路勾配はいくらかを考える。 標高 70.4m ？％ 標高 50.0m 314ｍ 道路勾配は、パーセント（百分率）で表される。パーセント勾配は、水平距離 100ｍにつきいく つ上っているかを表すものである。また、２地点間の高低差（標高差）は、20.4ｍとなるため、次 のように比例計算により求める事ができる。 20.4：314 ＝？：100 より ？＝ (20.4×100)÷ 314 ＝ 6.5ｍ よって、100ｍで 6.5ｍ上がるため、6.5％ 勾配となる。 ～ http://www.kinomise.com/sokuryo/ 18 ～ 測量士・測量士補 試験対策 WEB © Matsubara P.O
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