5 運動エネルギー、仕事

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運動エネルギー、仕事
前の章では運動方程式から運動量に関連する事項を導いた。この章ではやはり皆にお馴染み
の運動エネルギーに関連することを述べる。
5.1
運動エネルギー
まず一次元を例にとる。運動方程式は
m
d2
x = F,
dt2
m
d
v=F
dt
(5.1)
である。高校時代に学んだことは、質量 m の物体が速度 v で動くとき、その運動エネルギー K
(kinetic energy) は
1
K = mv 2
(5.2)
2
である。(5.2) を t で微分して、(5.1) を代入すると、
dv
dK
= mv
= vF
dt
dt
(5.3)
である。すなわち単位時間あたりの運動エネルギーの増加は vF であり、それは仕事率（単位
時間（１秒）あたりにする仕事）である。(5.3) に dt を掛けると、
dK = vF dt = F
dx
dt = F dx
dt
であるので、力 F を受けて、物体が dx だけ動くと、右辺はその間に物体に対してなされた仕
事である。その仕事が運動エネルギーの増加量と等しい。これは仕事とエネルギー変化の関係
で、皆さんにお馴染みである。
一般的な３次元の場合に移る。運動方程式は
m
d
v=F
dt
(5.4)
である。
速度はベクトル v であるから、その大きさを v とすれば、運動エネルギー K は
1
K = mv 2
2
である。v はベクトルの大きさであるのに対して、運動方程式にはベクトル v が現れるので
ちょっとした工夫が必要である。ピタゴラスの定理によると、
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 = v12 + v22 + v32 =
1
i
vi2
である。ベクトルの演算が現れるところでは、vx の代わりに v1 、vy の代わりに v2 、vz の代わ
りに v3 と書くのが便利である。すると最後の項は v の各成分の二乗をとって、それらの和をと
ることを意味している。
運動方程式 (5.4) を成分で書き表せば、
m
である。したがって今回は
dvi
= Fi
dt
dvi
d
K=m
=
vi
vi Fi
dt
dt
i
i
(5.5)
である。右辺は、二つのベクトル v と F の各成分を掛け合わせて、その和をとることを意味
する。章末での Appendix で示されるように、これはベクトル v と F の内積 v · F に他ならな
い。ゆえに
d
K =v·F
(5.6)
dt
となり、v と F の内積が仕事率である。(5.6) に dt を掛けると、
dK = F · dr.
(5.7)
物体に力 F が掛かって、dr だけ動いたときは、物体には F · dr だけの運動エネルギーの増加
がある。物体に力 F が作用し、dr だけ動いたときに、物体になされる仕事は
F dr cos θ
(θはF と dr がなす角度である）
というお馴染みの法則が出てくる。
問題 1。エネルギーの単位はジュール [J] である。体重 60kg の人が 1m/s の速度で動いている。
運動エネルギーはいくらか。
問題 2。ある物体に力１ニュートン [N] がかかり、45◦ の方向に 10m 動いた。増加したエネル
ギーはいくらか。
問題 3。速度 40km/h で動いている車がブレーキをかけて、道路との摩擦で静止した。摩擦係
数を 0.8 としたとき、エネルギーに関する考察から静止するまでの距離を求めなさい。
問題 4。粒子が x 軸に沿って x = 0 から x = 2 まで動く．粒子には F (x) = 2x3 + 8x の力がか
かっている．ただし x は m で、力は N で測られている．この運動の間に力 F (x) によってなさ
れる仕事はいくらか．
問題 5。1kg の物体に力 F = (1, 2, −1)[N] がかかっている．dr = (1, 1, 0)m だけ物体が動いた
時、物体に対してなされた仕事はいくらか．
2
問題 6。粒子が x − y 面上を原点から x = 2, y = −1 まで動く．その間に F = 3x̂ + 2ŷ の力が
かかっていた．この力が粒子に対してした仕事はいくらか．ただし距離は m で、力は N で測ら
れている．
問題 7。F = (1, 2, −1)[N] がかかっている 1kg の物体が、速度 v = (10, 0, −5)m/sec で動く時、
単位時間の間に物体に対してなされた仕事はいくらか．
5.2
力学的エネルギー保存則
高校時代には力学的エネルギー保存則を学んだ。それによると、運動エネルギーとポテンシャ
ルエネルギーの和は時間によらず一定であった。そのような法則が (5.6) から導かれるか。導
かれるとしたらどのような力 F に対して成り立つか。成り立つような場合を想定しよう。(5.7)
の左辺は物体が点 r から r + dr へ移動したときの運動エネルギーの変化量である。したがって
dK = K(r + dr) − K(r)
である。仕事はポテンシャルエネルギーの開放だとすれば、(5.7) の右辺がポテンシャルエネル
ギー U (r) を用いて、
F · dr = U (r) − U (r + dr)
(5.8)
と書けて、(5.7) は
K(r + dr) − K(r) = U (r) − U (r + dr)
→ K(r + dr) + U (r + dr) = K(r) + U (r)
(5.9)
であり、K + U は物体の位置に依らず一定である。これをエネルギー保存則と呼ぶ。
エネルギー保存則が成り立つ条件は、物体に働く力 F による仕事が (5.8) のように書けるこ
とである。詳しいことは省略するが、この条件は次のようなことを要求する。ある点から始ま
り、また元へ返ってくるサイクル運動において、１周の間にする仕事はゼロであることが条件
である。
重力エネルギー、バネのエネルギー等はポテンシャルエネルギーに分類できるが、摩擦力な
どはポテンシャルエネルギーとしては書けない。
問題 8。1kg の物体が 100m 落下するとき、物体が得るエネルギーはいくらか。
問題 9。摩擦力はポテンシャルエネルギーの形ではかけないことはどうして分かるか。（答え。
１周の間に摩擦力のする仕事はゼロではない。）
3
5.3
衝突に伴うエネルギー保存
まず 2 個の粒子を考えよう。系全体の運動エネルギーは K = m1 v 21 /2 + m2 v 22 /2 であるので、
dK
= v 1 · F 1←2 + v 2 · F 2←1 .
dt
作用ー反作用の法則によると、
dK
= (v 1 − v 2 ) · F 1←2
dt
となるが、右辺がゼロとなるかどうかは分からない。運動エネルギーが保存されることもある
し、保存されないこともある。その理由はエネルギーにはいろいろの形態があり、運動エネル
ギーが全てではないからである。動いている球が静止球と衝突するとしよう。正面衝突すれば、
球 1 は止まり、球２は衝突前の球１と同じ速度で動き出すので、系全体のエネルギーは保存され
ていると考えられる。しかし詳細にみれば、衝突の際に音が出るので、音波の形でエネルギー
の一部が失われ、運動エネルギーは保存されていない。あるいは球が振動を起こすことにより、
熱エネルギーが生じることもある。音波のエネルギー、熱エネルギーを考慮に入れれば、全体
のエネルギーは保存される。運動量の形態は一つしかないので系全体の運動量は保存されるが、
エネルギーには様々な形態があるので運動エネルギーだけに限ることができないので、運動エ
ネルギー保存則は一般には成り立たない。
5.4
様々なエネルギーの形態
エネルギーには様々な形態があっても、それらは同一のものであることがジュールによって
発見された。
問題 10。どのような実験か。
5.4.1
運動エネルギー
速度 vm/sed で動く質量 mkg の物体のもつ運動エネルギーは E = (1/2)mv 2 J である。
5.4.2
熱エネルギー
熱エネルギーも原子、分子などが持つ運動エネルギーであるが、巨視的な運動エネルギーと
比べて微視的なのであらわには見えない。原子、分子が発見される以前にはそれらは熱と呼ば
れたが、ジュールの実験により熱はエネルギーと同じものであることが確かめられた。彼によ
ると、1cal=4.2J である。
１９４８年の国際度量衡会議ではできるだけ cal は用いない、用いる場合は J の値を付記す
る決議がなされた。比熱との関連で、1kg の物体を温度１度上げるのに必要な熱量を QJ とす
れば、比熱は Q J/kg ◦ C であるが、以前はよく cal が用いられた。
4
5.4.3
カロリーエネルギー
しかし食べ物では Cal=1kcal の単位がよく用いられる。一日の成人の標準摂取量は 1800kcal
であるというように。
5.4.4
電気的エネルギー
家庭電器では、1kW の電熱器は、毎秒 1kJ の電気エネルギーが消費され、これだけの熱が発
生する。
問題 11。発生した熱はどこに行くのか。
5.4.5
ポテンシャルエネルギー
1kg の水を 1m だけ持ち上げると、水は mgh = 9.8J のポテンシャルエネルギーをえたこと
（効
になる。逆にその水を 1m 落下させると、9.8J の電気エネルギー、熱エネルギーに変わる。
率が問題にはなるが。）
A
ベクトルの内積
ベクトルの内積を定義しよう。二つのベクトル A, B の内積は A · B と書き、AB cos θ なる
スカラー量であると定義する。ここで θ は A と B のなす角度である。
ベクトルの成分が与えられている場合は、もっと便利な表現がある。
A = A1 x̂ + A2 ŷ + A3 ẑ,
B = B1 x̂ + B2 ŷ + B3 ẑ
に対して内積を計算する：
A · B = (A1 x̂ + A2 ŷ + A3 ẑ) · (B1 x̂ + B2 ŷ + B3 ẑ)
= A1 B1 x̂ · x̂ + A1 B2 x̂ · ŷ + A1 B3 x̂ · ẑ
A2 B1 ŷ · x̂ + A2 B2 ŷ · ŷ + A2 B3 ŷ · ẑ
A3 B1 ẑ · x̂ + A3 B2 ẑ · ŷ + A3 B3 ẑ · ẑ.
(A.1)
x̂·x̂ は長さが１の単位ベクトルの内積であるから、1×1×cos 0 = 1 である。x̂·ŷ = 1×1×cos π/2 =
0 である。したがって
A · B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 =
Ai Bi
(A.2)
i
となり、A と B の各成分の積の和である。
問題 12。A = (1, 2, −2), B = (2, 3, 1) の場合、両ベクトルの内積を求めなさい。また両ベクト
ルの間の角度はいくらか。
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