微分幾何学 I 演習 08-9 所属・学年・番号 氏名 問題 1. m 次元ユークリッド空間 Rm の点 p = (p1 , · · · , pm の近傍 U で定義さ れた C 1 -関数を f とする．点 p におけるベクトルを a = (a1 , · · · , am ) とする． (1) 点 p におけるベクトル a = (a1 , · · · , am ) に対する関数 f の方向微分係数 d f (p + ta)|t=0 dt を，関数 f の点 p における偏微分係数 ∂f (p) (i = 1, 2, · · · , m) ∂xi とベクトル a の成分 a1 , · · · , am をもって表わせ． (2) 点 p における単位ベクトル a = (a1 , · · · , am ) （∥a∥ = 1 なるベクトル） に対して，関数 f の点 p における方向微分係数の絶対値 d f (p + ta)|t=0 dt が最大になる単位ベクトル a = (a1 , · · · , am ) とその最大値，および最小 になる単位ベクトル a = (a1 , · · · , am ) とその最小値をそれぞれ求めよ． 1 問題 2. 3 次元ユークリッド空間 R3 の点 p = (p1 , p2 , p3 ) のまわりで定義され た C ∞ -関数 f を f (x1 , x2 , x3 ) := A(x1 − p1 ) + B(x2 − p2 ) + C(x3 − p3 ) とする． ここで，A, B, C を実定数とする．このとき，次の問いに答えよ． (1) 点 p におけるベクトル a = (a1 , a2 , a3 ) に対する関数 f の方向微分係数 を計算せよ． (2) ベクトル a = (a1 , a2 , a3 ) が点 p におけるすべて単位ベクトルを動く とき，前問の方向微分係数の最大値とその最大値を取るベクトル a = (a1 , a2 , a3 )，および最小値とその最小値を取るベクトル a = (a1 , a2 , a3 ) を，それぞれ求めよ． 問題 3. m 次元ユークリッド空間 Rm の点 p = (p1 , · · · , pm ) のまわりで定義さ れた C ∞ -関数 f を m ∑ 2 2 f (x1 , · · · , xm ) := A1 (x1 − p1 ) + · · · + Am (xm − pm ) = Ai (xi − pi )2 i=1 とする． ここで，Ai (i = 1, · · · , m) を実定数とする．このとき，次の問いに 答えよ． (1) 点 p におけるベクトル a = (a1 , a2 , a3 ) に対する関数 f の方向微分係数 を計算せよ． (2) ベクトル a = (a1 , a2 , a3 ) が点 p におけるすべて単位ベクトルを動く とき，前問の方向微分係数の最大値とその最大値を取るベクトル a = (a1 , a2 , a3 )，および最小値とその最小値を取るベクトル a = (a1 , a2 , a3 ) を，それぞれ求めよ． 2
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