2016 年度 微分・ベクトル解析演習 第 4 回レポート課題解答例
2016/05/13
1. φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 sin(𝑥𝑧) について点P(1, −2, π) におけるベクトル v (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −2𝒊 + 3𝒋 − 5𝒌 方向へ
の方向微分係数を求めよ．
𝛁φ = {𝑦 sin(xz) + 𝑥𝑦𝑧 cos(𝑥𝑧)}𝒊 + 𝑥 sin(𝑥𝑧)𝒋 + 𝑥 2 𝑦 cos(𝑥𝑧) 𝒌
点 P においては
(𝛁φ)P = (− sin 𝜋 − 2π cos 𝜋)𝒊 + sin(𝜋)𝒋 − 2 cos 𝜋 𝒌
= 2π𝒊 + 2𝒌
よって，𝒗 方向への方向微分係数は
(𝛁φ)P ∙
𝒗
1
= (2π𝒊 + 2𝒌) ∙
(−2𝒊 + 3𝒋 − 5𝒌)
|𝒗|
√38
=
1
√38
(−4𝜋 − 10)
2. φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)2 + (𝑦 + 𝑧)2 + (𝑥 + 𝑧)2 とする．このとき，点P(2, −1,2) において方向微分係数が
最大となる方向とそのときの最大値を求めよ．
𝛁φ = {2(𝑥 + 𝑦) + 2(𝑥 + 𝑧)}𝒊 + {2(𝑥 + 𝑦) + 2(𝑦 + 𝑧)} 𝒋 + {2(𝑦 + 𝑧) + 2(𝑥 + 𝑧)}𝒌
点 P においては
(𝛁φ)P = 10𝒊 + 4𝒋 + 10𝒌
よって，単位ベクトル 𝒖 方向が 𝛁φ の方向と一致したとき方向微分係数
𝑑𝜑
𝑑𝑢
は最大となる．
最大値は
|(𝛁φ)P | = √100 + 16 + 100 = 6√6
3. φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥𝑧 3 − 𝑥 2 𝑦 とするとき，等位面 φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3 上の点P(1,1,1)における単位法線ベクト
ル𝒏を求めよ．
𝛁φ = (4𝑧 3 − 2𝑥𝑦)𝒊 − 𝑥 2 j + 12𝑥𝑧 2 𝒌
点 P においては
(𝛁φ)P = 2𝒊 − 𝒋 + 12𝒌, |(𝛁φ)P | = √4 + 1 + 144 = √149
𝒏 は (𝛁φ)P に平行だから
𝒏=
(𝛁φ)P
1
=
(2𝒊 − 𝒋 + 12𝒌)
|(𝛁φ)P | √149

No.9

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