問題 4.1 のヒント
１. ∫
(1)
1
dx =
ex + e−x
∫
ex
dx と変形し、置換積分法を使う。
e +1
2x
(2) ∼ (5), (7) は 置換積分法
∫
1
dx =
x2 + 2x + 2
(6)
∫
−1
(8)
２.
Sin
∫
∫
x dx =
∫
2
0
1
dx と変形して、置換積分法を使う。
(x + 1)2 + 1
(x)′ Sin−1 x dx とみて、部分積分法を使う。
2
x2 e2x dx =
(1)
∫
x2
0
(
1 e2x
2
)′
dx として、部分積分法を２回使う。
(2) は公式を使う。
∫
∫
π
4
(3)
π
4
3
cos x dx =
0
(1 − sin2 x) cos x dx と変形して、置換積分法を使う。
0
∫ √3
∫ √3
1
+
x
1
x
(4)
dx と変形して、最初の項は公式を使う。
2 dx =
2 dx +
1
+
x
1
+
x
1
+
x2
0
0
0
∫ ′
f (x)
２つ目の項は
dx を使う。
f (x)
∫
√
3
３.
F ′ (x) = f (x) として、定積分を計算し、その後、合成関数の微分を行う。
∫ x+1
(1) 2t = u とおいて置換積分法を使うと、
f (2t) dt = 1 F (2x + 2) − 1 F (−2x)
2
2
−x
が得られる。（これも、導くこと！）
これを x で微分する。合成関数の微分に注意する。
∫
2x
(2) t2 = u とおいて置換積分法を使うと、
x
tf (t2 ) dt = 1 F (4x2 ) − 1 F (x2 )
2
2
が得られる。（これも、導くこと！）
これを x で微分する。合成関数の微分に注意する。

置換積分の計算

統計力学演習問題(2)

平成 24年度 後期日程 数学