2 Diskrete Schwingungssysteme - WWW-Docs for B-TU

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Diskrete Schwingungssysteme
Als diskrete Schwingungssysteme bezeichnet man Schwinger mit endlichem Freiheitsgrad.
Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen für solche Systeme lässt sich durch energetische Betrachtungen stark formalisieren. Interessiert man sich nur für das Bewegungsverhalten eines Massenpunktsystems, erweisen sich die Lagrange’schen Gleichungen zweiter
Art als günstig. Die Bewegung wird dabei zunächst mit verallgemeinerten Koordinaten entsprechend dem Freiheitsgrad beschrieben. Die Trägheitskräfte des d’Alembert’schen Prinzips lassen sich dann auf die kinetische Energie und deren Ableitungen zurückführen, die
eingeprägten Kräfte können zu verallgemeinerten Kräften zusammengeführt werden, die
mit den einzelnen verallgemeinerten Koordinaten assoziiert sind. Es entstehen Vorschriften
für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen als Differentialgleichungen zweiter Ordnung,
deren Zahl dem Freiheitsgrad des Systems entspricht.
Bei konservativen Systemen kann auch der Einfluss der eingeprägten Kräfte mit Hilfe ihres
Potentials auf eine energetische Betrachtung zurückgeführt werden. Durch Einführen der
Lagrange-Funktion als Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie des Systems
wird das weitere Vorgehen vereinheitlicht, es entsteht eine besondere Formulierung der
Lagrange’schen Gleichungen zweiter Art für konservative Systeme. Eine Erweiterung auf
Mehrkörpersysteme erfolgt einfach durch zusätzliche Berücksichtigung der Rotationsenergie und dem Einfluss der eingeprägten Momente.
Die Lagrange’schen Gleichungen zweiter Art führen i. Allg. auf nichtlineare Differentialgleichungen, die nur in seltenen Fällen analytisch lösbar sind. Häufig interessiert man sich jedoch nur für kleine Auslenkungen aus einer Gleichgewichtslage. Diese lassen sich durch
lineare Bewegungsgleichungen beschreiben, die man aus den nichtlinearen Gleichungen
durch Linearisierung aller Terme um die Gleichgewichtslage gewinnt.
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2 Diskrete Schwingungssysteme
2.1 Lagrange’sche Gleichungen zweiter Art
Voraussetzung: Beschreibung des Systems durch verallgemeinerte Koordinaten
y + [y 1, AAA, y f] T entsprechend dem Freiheitsgrad f des Systems in Form
von r k + r k(y).
Prinzip von d’Alembert:
ȍǒmkak * FekǓTdrk + 0 .
k
f
f
T
ȱ
ēr k ȳ
.
e
ȍȧǒmkvk * FkǓ ȍ ēy dyiȧ+ ȍȱȧȍ mkv. Tk ērēyk * ȍ Fek T ērēykȳȧdyi + 0
i
i
iȴ
ȴ i+1Ȳ k
i+1
k Ȳ
k
dr k
+
dt
Z vk +
ȍ ērēyk yi
.
i
i
ēv k
ēr k
. +
ēy i
ēy i
å
ēv T
ēv
ēv
Z ē ǒv Tkv kǓ + k v k ) v Tk k + 2v Tk k
ēy i
ēyi
ēy i
ēy i
.
Z m kv Tk
ƪ
ƫ
ǒ Ǔ
ƪ
ƪ
ƫ
ǒ Ǔ
ēr k
ēr
ēr k
+ d m kv Tk k * m kvTk d
ēy i
ēy i
dt
dt ēy i
ēv
dr k
+ d m kv Tk .k * m kvTk ē
ēy i dt
ēy i
dt
ǒ
+ d ē. 1 m kv Tkv k
dt ēy i 2
Ǔƫ * ēyē ǒ12 mkvTkvkǓ
i
ēT
ēT
+ d .k * k
ēy i
dt ēy i
Z T+
ȍ Tk + ȍ 12 mkvTkvk + ȍ 12 mkv2k
k
Z Qi +
k
ȍ Fek T ērēyk
k
i
verallgemeinerte Kraft zum Freiheitsgrad y i
ȍƪdtd ēyēT * ēyēT * Qiƫdyi + 0 .
f
.
i+1
i
i
kinetische Energie
k
2 Diskrete Schwingungssysteme
Bewegungsgleichungen
(Lagrange’sche Gleichungen zweiter Art)
d ēT. * ēT + Q ,
i
dt ēy i ēy i
i + 1(1)f
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2 Diskrete Schwingungssysteme
2.2 Konservative Schwingungssysteme
Kennzeichen: alle eingeprägten Kräfte haben ein Potential U k(r k) mit
Qi +
ȍ
T
F ek k
ēr k
+*
ēy i
ȍ
k
T
ēU ērk
k
+*
ēr k ēyi
F ek + *ŉU k + *
k
ȍ ēU
+ * ē ȍ U k + * ēU
ēy
ēy
ēy
k
i
i
i
k
d ēT. * ēT + * ēU
ēy i
dt ēy i ēy i
d ēT. * ē (T * U) + 0
dt ēy i ēy i
L :+ T * U Lagrange−Funktion
Bewegungsgleichungen
(Lagrange’sche Gleichungen zweiter Art für konservative Systeme)
d ēL. * ēL + 0 ,
dt ēy i ēy i
i + 1(1)f
Allgemeines Vorgehen zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen für konservative
Mehrkörpersysteme
1)
Beschreiben der Kinematik mit verallgemeinerten Koordinaten y 1AAAy f
2)
Kinetische Energie des Gesamtsystems T +
ȍ Tk
k
3)
h Massenpunkt:
T k + 1 m kv 2k + 1 m kv Tkv k
2
2
h Starrkörper:
T k + 1 m kv TC v Ck ) 1 w TkI Ckw k
k
2
2
Potentielle Energie des Gesamtsystems U +
ȍ Uk
k
h Feder
U k + 1 c ks 2k
2
h Gewichtskraft
U k + m kgzk
4)
Lagrange−Funktion L + T * U
5)
Differentiation ēL , ēL. , d ēL.
ēyi ēyi dt ēy i
6)
Bewegungsgleichungen
sk
ǒ Ǔ
d ēL. * ēL + 0
dt ēy i ēy i
i + 1(1)f
zk
ēU k
ēr k
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2.3 Lineare Bewegungsgleichungen konservativer
Schwingungssysteme
Nichtlineare Bewegungsgleichungen
Lagrange’sche Gleichungen zweiter Art für konservative Systeme
d ēL. * ēL + 0 ,
dt ēy i ēy i
i + 1(1)f
nichtlineare Bewegungsgleichungen
..
.
M(y)y ) k(y, y) + 0
Gleichgewichtslagen
Ansatz:
y(t) + y 0 + const
eingesetzt:
k(y 0, 0) + 0
!
Linearisierung der Bewegungsgleichungen um eine Gleichgewichtslage
y(t) + y 0 ) y(t)
Ansatz:
eingesetzt:
mit |y i(t)| Ơ 1
Taylorreihenentwicklung aller nichtlinearen Funktionen mit folgenden
typischen Vereinfachungen:
Z y 2i [ 0,
.
y iy j [ 0
.
.
.
Z y 2i [ 0, y iy j [ 0, y iy j [ 0,
Z sin y i [ y i , cos y i [ 1
Lineare Bewegungsgleichungen
..
My(t) ) Ky(t) + h(t)
..
y iy j [ 0
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