ẋ = Ax + bu
y = Cx + Du
nicht sprungfähiges (streng proper) System: Wenn D = 0
Zusammenschaltung von Übertragungsfunktionen: S.24
Umwandeln der Matixdarstellung in die Übertragungsfunktion
G(s) = C(sI − A)−1 B + D
"
#
"
#−1
d
−b
a b
1
inverse einer Matrix:
= ad−cb
−c a
c d
"
# "
# "
#
sI − A −B
X(s)
x0
Rosenbrock Systemmatrix:
=
C
D
U (s)
Y (s)
|
{z
}
Rosenbrock Systemmatrix
Pole und Nullstellen
1. Pole: Pole der einzelnen Elemente der Übertragungsmatrix
Vielfachkeit: Minoren aufstellen: Jede einzelne mögliche Unterdeterminate daraus ergibt sich die
Vielfachheit
2. Übertragungsnullstellen:
bei Quadratischen G(s): det(G(zi )) = 0
bei nicht Quadratischen: rang(G(zi )) < |{z}
max rang(G(s)) mit max
|{z} rang(G(s)): Miniumum aus Ans
s
zahl der Spalten und Anzahl der Zeilen
(a) können gleichen Wert wie Pole haben
(b) nicht quadratische Übertragungsfkt. haben meist keine Übertragungsnullstellen
(c) nicht sprungfähige Syteme mit gleichen Anzahl an Eingangs-, Zustands- und Ausgangsgrößen
(n = q = r) haben keine ÜNS
(d) Systeme mit quadratischen, nicht singulären B,C haben keine ÜNS
(e) minimalphasig: Alle ÜNS haben negativen Realteil, sonst hat es Allpassverhalten
3. invarianten Nullstellen: mit Rosenbrockmatrix
(a) det(R(η)) = 0 für Quadratische
(b) rang(R(η)) < |{z}
max rang(G(s))
s
Es gibt i. A. mehr invariante Nullstellen als ÜNS
(a) Eingangsendkopplungsnullstelle: rang(ηI − A −B ) < n
!
ηI − A
(b) Ausgangsendkopplungsnullstelle: rang
<n
C
1
invariante Nullstellen sind ÜNS, wenn sie mit keinem Eigenwert zusammenfallen oder der Eigenwert, mit dem sie zusammenfallen sowohl steuerbar, als auch beobachtbar ist
Wenn Pole der Übertragungsfunktion Eigenwerte der Matrix A sind, dann ist das System vollständig
steuer- und beobachtbar
Steuer- und Beobachtbarkeit
1. stabilisierbar: kann für einen beliebigen Anfangszustand x0 in nicht unbedingt endlicher Zeit gesteuert werden
Ist genau dann stabilisierbar, wenn alle nicht steuerbaren EW asymptotisch stabil sind: rang(λi ∗
I − A, B) ∀Re(λi ) ≥ 0
2. steuerbar: kann für einen beliebigen Anfangszustand x0 in endlicher Zeit gesteuert werden
Ist genau dann steuerbar, wenn: rang(Qs ) = n mit Qs = [B, AB, A2 B, ..., An−1 B]
Ist genau dann steuerbar, wenn: rang(λi ∗ I − A, B) = n für alle Eigenwerte λi
Eine Paralelschaltung zweier identischer Systeme ist nicht vollständig steuer und beobachtbar
Gilbert (SISO): Eingangsvektor b braucht zwei lin unabh. Zeilen/Spalten für die Steuer- und
Beobachtbrkeit eines zweifachen Eigenwerts
3. erreichbar: für einen beliebigen Endzustand xe kann das System von dem Anfangszustand x0 = 0
in endlicher Zeit in xe überführt werden
4. entdeckbar: Anfangszustand x0 = 0 kann bei einem geg. u(t) aus dem zukünftigen Zeitverlauf y(t)
in nicht unbedingt endlicher Zeit ermittelt werden
!
λi I − A
Wenn alle instabielen EW beobachtbar sind: rang
= n ∀Re(λi ) ≥ 0
C
5. rekonstruierbar: geg. u(t), dann kann aus dem vergangenen Zeitverlauf y(t) über eine endliche
Zeitspanne der Zustand x(te ) = xe eindeutig rekonstruiert werden kann
6. beobachtbar: geg. u(t), dann kann aus dem zukünftigen Zeitverlauf von y(t) über eine endl. Zeit
den Anfangszustand eindeutig ermitteln
C
CA
CA2
Genau dann beobachtbar, wenn: rang(QB ) = n mit QB =
.
..
n−1
CA
!
λi I − A
Genau dann beobachtbar, wenn: rang
= n für alle Eigenwerte λi
C
Strukturelle Analyse linearer Systeme
SA = jeden Eintrag von A, der ungleich 0 ist, zu 1 setzen
Gleiche mit SB und SC
Graphen zeichnen:bij = 1: Kante von uj nach xi (von Spalte nach Zeile)
aij = 1: Kante von xj nach xi (von Spalte nach Zeile)
cij = 1: Kante von xj nach yi (von Spalte nach Zeile)
2
ẋ
SA SB 0
Systemadjazentmatrix: u = 0
0 0
y
SC SD 0
Struckturelle Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit: wenn mindestens ein System existiert, dass steueroder beobachtbar ist
1. struckturell steuerbar, wenn:
• System eingangsverbunden: Es von jeden Eingangsknoten zu jedem Zustandsknoten mindestens einen Pfad gibt
• s − Rang(SA SB ) = n: Einsen in jeder Zeile und Spalte zählen, jede eins muss pro Zeile und
Spalte einmalig sein
2. struckturell beobachtbar, wenn
• System ausgangsverbunden: Es von jeden Zustandsknoten zu jedem Ausgangsknoten mindestens einen Pfad gibt
SA
) = n: Einsen in jeder Zeile und Spalte zählen, jede eins muss pro Zeile und
SC
Spalte einmalig sein, dann Anzahl addieren
• s − Rang(
3. struckturell feste Eigenwerte: Genau dann, wenn entweder:
• Nicht ausgangsverbunden oder nicht eingangsverbunden (Typ 1)
• Im Strukturgraphen gibt es keine Schleifenfamilie der Weite n. Schleifenfamilie: Menge der
geschlossenen Pfade, die keine gemeinsame Knoten enthalten
Stabilität von MIMO
Rückführdifferenzatrix: F (s) = I + Gol = I + G(s)K(s)
falls System vollständg beobachtbar und steuerbar ist (geschlossene und offene Kreis haben keine gemeinn
Q
(s−si )
samen Eigewerte) det(F (s)) = k i=1
n
Q
(s−si )
mit si : Pole des offenen Regelkreises si : Pole des geschlossenen
i=1
Kreises
• Zustandsstabilität: Zustandsvektor x nähert sich immer mehr seinem Gleichgeichtszustand an
– Nyquistkriterium: geschlossene Regelkreis genau dann stabil, wenn: ∆argdet(F (s)) = −(2n+ +
n0 )π mit F (s) = I + Gol = I + G(s)K(s) (von −∞ bis ∞) und n+ : Pole von Gol mit positiven
Realteil, n0 : Pole mit Realteil 0 (Kurve umschließt (2n+ + n0 ) mal den Ursprung gegen den
Uhrzeigersinn)
0
Äquivalnt dazu: ∆argdet(F (s)) = −(n+ + n2 )π für ω von 0 bis ∞ (0 − ∞)
Graphsich: Vektor von 0 bis zu Ortskurve macht über die Zeit von ω den Winkel ∆argdet(F (s)) =
3
−(n+ +
n0
)π
2
arctan( xy )
arctan( xy ) + π
arctan( y ) − π
x
arg(x + iy) =
π
2
π
−
2
undef ined
für x > 0
für x < 0 und y ≥ 0
für x < 0 und y < 0
für x = 0 und y > 0
für x = 0 und y < 0
x = 0 und y = 0
– Gol nicht sprungfähig und E/A-stabil: ρ(Gol (jω)) < 1 ∀ω (Betragsmäßig größter EW kleiner
als 1 für alle ω)
– Gol nicht sprungfähig und E/A-stabil: kGol (jω)k < 1
– Gershgorintherorem: F (s) diagonaldominant und Haubtdiagonalelemente Fii (s) den Ursprung
P
der komplexen Ebene nicht umschlingen (Radius der Kreise:
|Fij (s)|)
i6=j
Oder einfach für jedes Diagonalelement Fii (s)) das Niquistkriterium einzeln anwenden, wenn
jedes stabil, ist das ganze System stabil!
diagonaldominant: Zeilen oder Spaltensumme kleiner als Diagonalelement
• E/A-Stabilität: beschränktes Eingagnsignal ⇒ beschränktes Ausgangssignal (falls Anfangszusand
0 ist)Genau dann, wenn
– asymptotisch stabil ist
Luaponov: Finde Matrix P = P T 0(Alle EW größer 0) und Q = QT 0, sodass gilt:
AT P + P A = −Q
– Alle Lösungen von det(I + G(s)K(s)) = 0 negativen Realteil haben Re(si ) < 0 ∀i ∈ {1, ..., n}
(K(s) ist Reglerstrecke)
Entwurfsverfahren für Zustandsregler
˙ = (A − BK)x + BLω
u(t) = −Kx(t) + Lω(t) =⇒ (x)
Wahl der Vorfiltermatrix: L = (C(BK −A)−1 B)−1 (exisitert, falls System stabil und keine invariante
Nullstelle in 0) Vollständige Modulare Synthese nach Roppenecker
vKi = (A − λKi I)−1 Bpi (pi : frei wählbare Parametervektoren, falls die Vektoren eine Basis bilden gilt:
KvKi = pi oder K = (p1 , ..., pn )(vK1 , ..., vkn )−1 )
für was sind die Parametervektoren gut?:
• Spalten von K zu 0 machen: Verzicht auf eine Messung
• einzelne Elemente von K zu 0 machen: dezentrale Zustandsrückführung
• Stellgrößenausschläge vermindern
• Robustheit erhöhen
• Erhaltung eines Streckeneigenwertes: vKj = vj und pj = 0
Regelung für Störentkopplung ẋ = Ax + Bu + N d (d: Störung) und u = −Kx
4
1. Bestimme vki so, dass gilt: Cvki = 0 (falls sich alle Spaltenvektoren von N(Matrix der Störung)
mit den Vektoren vki darstellen lassen ist eine Störentkopplung möglich, sonst nicht)
2. Bestimme k invariante Nullstellen ηi (k ist Anzahl von lin. unabh. vKi ) Die Nullstellen sind die
Regleungseigenwerte λKi
3. Berechne pi : vKi = (A − λKi I)−1 Bpi
4. Restlichen n − k Eigenwerte mit Parametervorgabe sind frei wählbar (bei denen von A belassen)
5. Filtermatrix K = (p1 , ..., pn )(vK1 , ..., vkn )−1
Enfkopplungsregelung nach Falb-Wolovich
1. Bestimmung der Gesamtdifferenzenordnung δ
Bestimmung von δi : Leite yi so oft ab, bis yi von u abhängig ist
P
Bestimmung von δ: δ =
δi
• δ = n: weiter mit 2
• δ < n:es existieren EW die nicht als Pole von der Übertragungsfkt G auftauchen. Diese
werden in invariante Nullstellen verschoben ⇒ Überprüfe interne Stabilität: R(η) < 0(alle
Rangabfälle der Rosenbrockmatrix haben negativen Realteil), wenn ja dann weiter mit 2,
andernfalls mach Entkopplungsregelung das System instabil
cT1 Aδ1 −1 B
..
(C =
2. Entkopplungsbedingung erfüllt?: det(E) 6= 0 (wenn nein, abbruch) mit E =
.
T δq −1
cq A
B
T
c1
T
c2
. )
.
.
cTb
γ1 · · · 0
. .
..
. . ...
3. Vorfilter: L = E −1 Γ, Γ aus gewünschten Führungsübertragungsfunktionsverhalten: Γ =
0 · · · γq
δP
1 −1
T δ1
T ν
c1 A + ν=0 M1ν c1 A
..
−1
4. Regelmatrix: K = E
Mij ergeben sich aus den Polen der entkoppelten
.
δP
q −1
cTq Aδq +
Mqν cTq Aν
ν=0
γi
ωi (s)
Übertragungsfunktion: yi = s(δi ) +...+M
i1 s+Mi0
Für Stationäre Genauigkeit muss für s = 0 gelten, dass: yi = wi =⇒ γi = Mi0
Nyquist-Verfahren
Aufteilen eines komplexen Gesamtsystems in mehrere kleine, einzelne, lokal steuerbare Systeme:
5
ẋ1
A1 · · · 0
x1
B1 · · · 0
u1
. . .
. . .
.
.
.
. .
. . .. . . + ..
. . .. . .
ẋ = Ax + Bu →
. = .
0 · · · Bn
un
ẋn
0 · · · An
xn
Stabilitätsbedingung:
• Gol,i (s) den Punkt -1 −n+ -mal im Uhrzeigersinn umschlingt (n+ : Anzahl der Pole von Go l mit
positiven Realteil)
• die Rückführmatrix F (s) = I + Gol (s) diagonaldominant ist (Damit Systeme unhanhängig vom
Ausfall einzelner Systeme noch stabil sind)
Vorgehen, wenn D = 0 (System nicht Sprugfähig), G näherungsweise diagonaldominant ist, die Regelstrecke E/A-stabil ist:
• Entwurf der einzelenen SISO Reglern Ki (s)
• Überprüfen ob die Rückführmatrix diagonaldominant ist
• Simulation für das gesamte System
max., min. Verstärkung eines Systems: Eigenwerte von
ren
Relative Gain Error: RGA(G) = G × (G−1 )T
p
eig(GGT ), Richtung aus den Eigenvekto-
#
"
"
#
a
1−a
G11 G12
) =
→ RGA(
mit a =
G21 G22
1−a
a
1
G G
1− G12 G21
11
22
RGA(G) = I, falls G untere oder obere Dreiecksmatrix
zeigt an:
• Vorzeichen eines RGA-Eintrags ändert sich für s = 0 bis s = ∞: G oder ein Subsystem von G hat
eine Nullstelle in der rechten Halbebene
• Feststellen von Diagonaldominanz: kRGA(G) − Iksum (Summe aller Beträge der Einträge) soll bei
der Durchtrittsfrequenz ωC Nahe bei 0 liegen
ωC : |Gol (jω)| schnedet zum ersten mal die Eins von oben
Sensitivitätsfunktion: S = (I + GK)−1 = (I + Gol )−1 und T = (I + GK)− 1GK = (I + Gol )−1 Gol =
Gol (I + Gol )−1 und S + T = I
Bandbreite: |S(jωB )| = √12 (von unten schneiden)
und |T (jωBT )| = √12
Loop-shaping:
• Gutes Folgeverhalten: T (jω) → I oder |Gol (s)| möglichst groß
• Gute Stöunterdrückung: S(jω) → 0
• Gute Rauschunterdrückung: T (jω) → 0 ⇒ |T (jω)| → 0 (für hohe Frequenzen)
6
• Niedriger Energieaufwand: K(jω)S(jω) → 0 ⇒ |K(jω)S(jω)| → 0
• Gewährleistung einer Bandbreite |S(jω)| < 3dB∀ω < ωB : Gutes Folgeverhalten für alle Frequenzen
ω < ωB
• Beschränkung des stationären Folgefehlers (max Amplitude A): lim |e(t)| = lim |S(s)| < A
t→∞
s→0
• Beschränkung des maximalen Regelfehlers M: max S(jω) ≤ M
ω
s
√2
+ω
+ωB
B
M √
M
In Form von Schrankenfunktionen: ωS (s) = s+ω
(oder mit stärkeren Flanken: ωS (s) = ( s+ω
)2 )
BA
B A
|S| soll beschränkt werden: |S(jω)| < |ω1S | ⇒ kωS (jω)s(jω)k∞ < 1 H∞ -Norm: größter Betragsmäßiger
Wert über alle Frequenen
|T | soll beschränkt werden: |T | < |ωS |
fundamentale Performenceschranken:
• ω1S + ω1T ≥ 1
• Pole in Rechter Halbebene: T (p) = 1 und S(p) = 0
• Nullstellen in Rechte HE: T (z) = 0 und S(z) = 1
• Wasserbetteffekt: Sensitivität stiegt für eine Frequenz ⇒ Sie sinkt für eine andere Frequenz
• Grenzen des Sensitifitätspeaks: kωS S(s)k∞ ≥ |ωS (z)| mit z: Nullstelle in RHE
• Stabilitätskriterien: G(s) mit Nz Nullstellen zj und Np Polen pi in der RHE
1. für alle Nullstellen zj : kωS Sk∞ ≥ c1j |ωS (zj )| mit c1j =
2. für alle Pole pi : kωT T k∞ ≥ c2i |ωT (pi )| mit c2i =
Np
Q
|zj +p∗i |
i=1
Np
Q
|zj∗ +pi |
j=1
|zj −pi |
|zj −pi |
≥1
≥1
• Einfluss von Nullstellen Nz in der RHE:
– Nach Einheitssprung wirs das Antwortverhalten Nz -mal die 0 durchqueren
– impliziert High Gain instability
im MIMO-Fall
• ω1S + ω1T ≥ 1
• mit Ausgangsrichtung yZ : für Nullstelle: yz∗ T (z) = 0 und yz∗ S(z) = yz∗ ; für Polstelle: S(p)yP = 0
und T (p)yP = yP
• Grenzen des Sensitifitätspeaks: kωS S(s)k∞ ≥ |ωS (z)| mit z: Nullstelle in RHE
• Für mehr als eine Nullstelle: Skript: Seite 106 unten
• Performanzbeschränkung für die Gewichtungsfunktion:
7
– entweder Pole oder Nullstellen in der RHE: ωB = zj
1
1− M
1−A
für ωB2 =
– entweder Pole oder Nullstellen in der RHE: ωB > pi MMT T−1 für ω =
s
M
+ωB
s+ωB A
s
ωB
+
1
MT
– Pole und Nullstellen: kSk∞ ≥ max c1j und kT k∞ ≥ max c2i
zj
pi
q
∗ |2
cos2 (φ) mit φ = cos−1 (yz∗ yp )
– genau eine Pol und eine Nullstelle: c2 = c1 = sin2 (φ) + |z+p
|z−p|2
– es ist möglich eine Nullstelle in der RHE in einen weniger wichtigen Bereich am Ausgang zu
verschieben
H-unendlich-Regleung:
1. Sammeln aller Störsignale im Vektor ω
2. Abhängigkeiten von z von allen Eingängen (ω und u) (Regler entspricht leeres Feld, d.h. kein Signal
geht durch)
3. Bestimmen von y (EINGANG VON K) durch alle Eingänge
" #
" #
z
ω
=P
4. verallgemeinterte Strecke ist dann:
y
u
mit: z = P11 ω + P12 u und y = P21 ω + P22 u
5. N = P ∗ K = P11 + P12 K(I − P22 K)−1 P21
8
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